资源简介

第5章 一次函数 章末重难点复习（4个知识点+11种题型）
【苏科版2024】
【题型归纳】
【考点1 函数的概念】 4
【考点2 函数自变量的取值范围】 5
【考点3 一次函数的概念】 5
【考点4 一次函数图象的判定】 6
【考点5 求一次函数解析式】 7
【考点6 一次函数与一元一次方程，不等式】 8
【考点7 一次函数的性质】 9
【考点8 正比例函数的定义】 11
【考点9 一次函数的应用—行程问题】 12
【考点10 一次函数的应用—方案最优化问题】 14
【考点11 一次函数综合】 16
一、要点梳理
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]
概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数. 当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像 一条直线
性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
一次函数表达式的确定 求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
要点诠释：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.
要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　
方程（组）、不等式问题 函 数 问 题
从“数”的角度看 从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
二、题型精讲
【考点1 函数的概念】
例1.如下平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】函数是对于x的任意取值，y都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断．
【详解】解：由图象可知，选项A、B、C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
选项D图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
所以选项D中的曲线表示y是x的函数，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解函数的定义，结合数形结合解题是关键．
【变式1】下列变量之间是函数关系的有（ ）
①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】①正方形的周长C与边长a，由正方形的周长公式列出关系式C=4a；
②矩形的周长C与宽a，由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量；
③圆的面积S与半径R，由圆的面积公式列出关系式S=；
④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义判定．
【详解】解：①由正方形的周长公式列出关系式C=4a，其中a，C是变量，4是常量， C与是a的函数；
②由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量，所以C与a不是函数关系；
③由圆的面积公式列出关系式S=，其中R，S是变量， S是R的函数；
④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义可得，y是x函数．
综上所述，是函数的有3个．
故选B．
【点睛】主要考查函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握函数的定义.
【考点2 函数自变量的取值范围】
例2.已知函数，则自变量的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件解答．
【详解】解：函数自变量的取值范围是故选：C．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，涉及二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＝3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2
【答案】C
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零列不等式组求解．
【详解】解：由题意得： 3﹣x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≤3且x≠2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数、分母不能为零列出不等式组是解答本题的关键．
【考点3 一次函数的概念】
例3.下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用一次函数的定义进行判断即可选择．
【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题关键．
【变式3】有下列函数：①； ②； ③； ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有________________，是一次函数的有___________________（填代号即可）.
【答案】 ①③ ①③④⑤.
【分析】根据正比例函数与一次函数的定义对各个选项进行判断即可.
【详解】解：①是一次函数，也是正比例函数；
②不是一次函数；
③是一次函数，也是正比例函数；
④是一次函数，但不是正比例函数；
⑤是一次函数，但不是正比例函数；
⑥自变量次数是2，故不是一次函数；
故是正比例函数的有①③；是一次函数的有①③④⑤.
故答案为①③；①③④⑤.
【点睛】本题主要考查正比例函数与一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【考点4 一次函数图象的判定】
例4.若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图像是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、四象限，可以得到和的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图像经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】一次函数的图像经过第一、二、四象限，
，，，，
一次函数图像第一、二、三象限，故选：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式4】如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m、n的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：①当，过一，三象限，m，n同号，同正时过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；
②当时，过二，四象限，m，n异号，则过一，三，四象限或一，二，四象限．
观察图象，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当时，函数的图象经过第二、三、四象限．
【考点5 求一次函数解析式】
例5.已知一次函数的图象经过点A（－2，3）和点B（4，－1），则这个一次函数的解析式为_____．
【答案】
【分析】将两点坐标代入到一次函数中，利用待定系数法求一次函数解析式．
【详解】解：把点A（-2，3）和点B（4，-1）代入y=kx+b得
，解得，所以一次函数的解析式为．故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
【变式5】不论取何值，点都在某一条直线上，则这条直线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查求一次函数解析式，设，，根据点坐标中横纵坐标的关系求解即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，，
由得，，
∴，
即不论取何值，点都在某一条直线上，
故答案为：．
【考点6 一次函数与一元一次方程，不等式】
例6.两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两条直线的图象的交点来求解．
【详解】解：∵两直线和的图象相交于点，，，
∴，∴，
∴的解是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了两条直线的交点，观察图象得到交点的坐标是解答读取v．
【变式6】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键．先求出点，可得一次函数解析式为，进而得到直线与x轴交于点，然后观察图象可得当时，直线位于x轴上方，且位于直线的下方，或两直线相交，即可求解．
【详解】解：∵函数和的图象相交于点，
∴，解得：，
∴点，
把点代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴直线与x轴交于点，
观察图象得：当时，直线位于x轴上方，且位于直线的下方或两直线相交，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
【考点7 一次函数的性质】
例7.已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方．
【分析】（1）根据函数y随x的增大而增大解答即可；
（2）根据函数图象经过第二、三、四象限解答即可；
（3）根据函数图象与y轴的交点在x轴上方解答即可．
【答案】解：（1）∵y随x的增大而增大
∴2a+4＞0
∴a＞﹣2
（2）∵图象经过第二、三、四象限
∴2a+4＜0，3﹣b＜0
∴a＜﹣2，b＞3
（3）∵图象与y 轴的交点在x轴上方
∴3﹣b＞0
∴b＜3
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：
直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；
k＞0时，直线必经过一、三象限；
k＜0时，直线必经过二、四象限；
b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
b＝0时，直线过原点；
b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【变式7】已知一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），求：
（1）m，n是什么数时，y随x的增大而减小？
（2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？
（3）若函数图象经过二、三、四象限，求m，n的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），当m+2＜0时y随x的增大而减小，即可解答．
（2）根据一次函数是正比例函数的定义即可解答．
（3）根据一次函数的性质列出不等式组：，即可求得答案．
【答案】解：（1）由题意得：m+2＜0，∴m＜﹣2
∴当m＜﹣2且n为任意实数时，y随x的增大而减小．
（2）由题意得：m+2≠0且3﹣n＝0，∴m≠﹣2且n＝3∴当m≠﹣2且n＝3时函数的图象过原点．
（3）由题意可得：，解之得：，
∴当m＜﹣2且n＞3时，函数的图象过二、三、四象限．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，难度不大，关键是掌握在一次函数y＝kx+b中，k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
【考点8 正比例函数的定义】
例8.已知y+2和x成正比例，当x＝2时，y＝4，则y与x之间的函数关系式是　 　．
【分析】根据题意，把y+2看成一个整体，设y+2＝kx，再根据x＝2时，y＝4，代入即可求出k值，求出k代入整理即可得到函数解析式．
【答案】解：设函数解析式为y+2＝kx，
∴2k＝4+2，
解得：k＝3，
∴y+2＝3x，
即y＝3x﹣2．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，是近年中考的热点之一，需要熟练掌握．
【变式8】（泰州市海陵学校八年级期末）已知与成正比例，且时．
(1)试求与之间的函数表达式；
(2)若点在这个函数图象上，求的值．
(1)；
(2)
【分析】（1）由题意可设，把条件代入可求得与的函数关系式；
（2）把代入函数解析式可求得答案．
（1）
与成正比例，
可设，
当时，，
，解得，
，
与的函数关系式为；
（2）
当时，代入函数解析式可得，
解得．
．
【点睛】本题主要考查待定系数法的应用，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键
【考点9 一次函数的应用—行程问题】
例9.已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：
（1）求甲的速度为多少米/分？
（2）求乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式？
（3）在甲到达地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距米？
【答案】（1）100米/分；（2）；（3）乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米．
【分析】（1）由图象可直接进行求解；（2）先设出乙减慢速度后的函数解析式，再利用待定系数法求解即可；（3）根据题意甲、乙相距50米时有两种情况，然后进行分类求解即可．
【详解】解：（1）由图象得：甲的速度为：600÷6=100（米/分）；答：甲的速度为100米/分；
（2）设乙减慢速度后的函数解析式为，由图象可把点和代入得：
，解得：，∴乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式为；
（3）当x=2时，，，∴当x=2时不符合题意，
由题意可知，当甲、乙相距50米时，则有，
①若，即，解得：；
②若，即，解得：；
综上所述，当乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据图象中提供的信息分情况讨论求解问题．
【变式9】快、慢两车分别从A，B两地沿同一路线匀速行驶，快车到达 B 地后立即按原路原速返回A 地(快车掉头的时间忽略不计)，慢车在快车出发1小时后出发，到达 A 地后停止行驶，快、慢两车距A 地的路程y(千米)与快车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)直接写出慢车的行驶速度，并在图中( )内填上正确的数：
(2)求图中线段所在直线的函数解析式；
(3)直接写出快车出发后几小时两车相距的路程为 100千米．
【答案】(1)240
(2)
(3)小时或小时或小时
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
（1）慢车的行驶速度为，括号内的数为，
（2）快车的速度是，快车回到甲地的时间是，可得点的坐标是，再用待定系数法可得所在直线的函数解析式；
（3）设快车出发后小时两车相距的路程为 100千米，进行分类讨论，列出方程求解即可．
【详解】（1）慢车的行驶速度为，
，
图中( )内的数是120；
（2）快车的速度是：，
快车回到甲地的时间是：，
点的坐标是，
设所在直线的函数解析式为，
把点和点代入得：
，
解得，
所在直线的函数解析式；
（3）设所在直线的函数解析式为，将代入得：
，解得：，
所在直线的函数解析式，
设快车出发后小时两车相距的路程为 100千米．
两车第一次相遇前相距的路程为 100千米时，根据题意得：
，解得：，
两车第一次相遇后且快车到达B地前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得：
，解得：，
快车返回A地且两车第二次相遇前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得：
，解得：，
时,两车相距,而，
∴快车与慢车第二次相遇后不存在相距100km的情况，
快车出发后小时或小时或小时两车相距的路程为 100千米．
【考点10 一次函数的应用—方案最优化问题】
例10.2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元．
(1)求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？
(2)牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)15元；5元
(2)牡丹花伞66个，花环头饰34个；1330 元
【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式．
（1）设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元，根据题意列不等式利用一次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元．
根据题意，得 ，解得
答：牡丹花伞和花环头饰的采购价分别是 15元和5元．
（2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元．
根据题意，得 ，解得
∵m为整数，
获得的利润

∵p随m的增大而增大，
∴当 时，p 最大，最大值为 1 330．
当牡丹花伞进货66个，花环头饰进货134个时，能获得利润最大，此时最大利润是1330 元．
【变式10】为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/袋） m
售价（元/袋） 20 13
已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．
（1）求m的值．
（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围．
（3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）10；（2）该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；（3）应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．
【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答；（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】（1）依题意得：解得：，经检验是原分式方程的解．
（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，根据题意得，
，解得：，
∵x是正整数，，∴共有7种方案．
（3）设总利润为W，则
①当时，，W随x的增大而增大，所以，当时，W有最大值，
即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋；
②当时，，（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，W随x的增大而减小，所以，当时，W有最大值，
即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．
【考点11 一次函数综合】
例11.如图，平面直角坐标系xOy中，：交x轴于A，交y轴于B．另一直线：交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知≌．
（1）求解析式．
（2）P，Q分别在线段AB和CD上，且，当轴时，P、Q两点的坐标．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由解析式求出与轴的交点的坐标，根据全等条件求出两点坐标，将点坐标代入解析式中求出的值，回代入解析式即可；
（2）当轴时，连接PQ，交y轴于点H，过Q作轴于点M，过P作轴于点N，可得，，，；设P点坐标为，代入求得P点坐标，轴，有相同的纵坐标，进而求解点坐标即可．
【小问1详解】
解：的坐标分别为
将坐标代入得
解得
∴的坐标分别为
∵
∴
∴，
将两点坐标代入解析式得
解得
∴的解析式为：．
【小问2详解】
解：如图当轴时，连接PQ，交y轴于点H，过Q作轴于点M，过P作轴于点N
在和中
∵
∴
∴，
∴
设P点坐标为，代入的解析式中得
解得
∴点坐标为
把代入中得
解得
∴点坐标为
∴两点的坐标分别为，．
【变式11】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒．
①若△NPH的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，4），E（﹣1.5，2）；（2）①当t=1或2时，△NPH的面积为1；②有最小值，P（﹣2，2）．
【分析】（1）分别令x与y等于0，即可求出点A与点B的坐标，由四边形AOCD为矩形，可知：CD∥x轴，进而可知：D、C、E三点的纵坐标相同，由点C为OB的中点，可求点C的坐标，然后将点C的纵坐标代入直线y=x+4即可求直线AB与CD交点E的坐标；
（2）①分两种情况讨论，第一种情况：当0＜t＜2时；第二种情况：当2＜t≤6时；
②由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而可得：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+2，然后根据两点之间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，然后求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标
【详解】（1）∵直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴令x=0得：y=4，
令y=0得：x=-3，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵点C为OB的中点，
∴OC=2，
∴C（0，2），
∵四边形AOCD为矩形，
∴OA=CD=3，OC=AD=2，CD∥OA（x轴），
∴D、C、E三点的纵坐标相同，
∴点E的纵坐标为2，将y=2代入直线y=x+4得：x=-1.5，
∴E（-1.5，2）；
（2）①分两种情况讨论：
第一种情况当0≤t＜1.5时，如图1，
根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，
∴NH=3-2t，
∵S△NPH=PH NH，且△NPH的面积为1，
∴×2×（3-2t）=1，
解得：t=1；
第二种情况：当1.5≤t≤3时，如图2，
根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，
∴AH=3-t，
∴HN=AN-AH=t-（3-t）=2t-3，
∵S△NPH=PH NH，且△NPH的面积为1，
∴×2×（2t-3）=1，
解得：t=2；
∴当t=1或2时，存在△NPH的面积为1；
②BP+PH+HQ有最小值，
连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图3，
∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+2有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM=2OA=6，OM=OB=4，
∴Q（-6，-4），
设直线CQ的关系式为：y=kx+b，
将C（0，2）和Q（-6，-4）分别代入上式得：
，
解得：，
∴直线CQ的关系式为：y=x+2，
令y=0得：x=-2，
∴H（-2，0），
∵PH∥y轴，
∴P（-2，2）．
【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，一次函数与x轴、y轴交点的求法，及利用线段公理求最值问题等，解（2）中①题的关键是：分两种情况进行讨论，解（2）中②题的关键是：利用两点之间线段最短，解决最值问题．第5章 一次函数 章末重难点复习（4个知识点+11种题型）
【苏科版2024】
【题型归纳】
【考点1 函数的概念】 4
【考点2 函数自变量的取值范围】 4
【考点3 一次函数的概念】 4
【考点4 一次函数图象的判定】 4
【考点5 求一次函数解析式】 5
【考点6 一次函数与一元一次方程，不等式】 5
【考点7 一次函数的性质】 6
【考点8 正比例函数的定义】 7
【考点9 一次函数的应用—行程问题】 7
【考点10 一次函数的应用—方案最优化问题】 8
【考点11 一次函数综合】 10
一、要点梳理
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]
概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数. 当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像 一条直线
性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
一次函数表达式的确定 求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
要点诠释：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.
要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　
方程（组）、不等式问题 函 数 问 题
从“数”的角度看 从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
二、典型例题
【考点1 函数的概念】
例1.如下平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】下列变量之间是函数关系的有（ ）
①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点2 函数自变量的取值范围】
例2.已知函数，则自变量的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
【变式2】函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＝3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2
【考点3 一次函数的概念】
例3.下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】有下列函数：①； ②； ③； ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有________________，是一次函数的有___________________（填代号即可）.
【考点4 一次函数图象的判定】
例4.若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图像是( )
A． B． C． D．
【变式4】如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点5 求一次函数解析式】
例5.已知一次函数的图象经过点A（－2，3）和点B（4，－1），则这个一次函数的解析式为__________________．
【变式5】不论取何值，点都在某一条直线上，则这条直线的解析式为 ．
【考点6 一次函数与一元一次方程，不等式】
例6.两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．
【变式6】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ．
【考点7 一次函数的性质】
例7.已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方．
【变式7】已知一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），求：
（1）m，n是什么数时，y随x的增大而减小？
（2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？
（3）若函数图象经过二、三、四象限，求m，n的取值范围．
【考点8 正比例函数的定义】
例8.已知y+2和x成正比例，当x＝2时，y＝4，则y与x之间的函数关系式是　 　．
【变式8】（泰州市海陵学校八年级期末）已知与成正比例，且时．
(1)试求与之间的函数表达式；
(2)若点在这个函数图象上，求的值．
【考点9 一次函数的应用—行程问题】
例9.已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题：
（1）求甲的速度为多少米/分？
（2）求乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式？
（3）在甲到达地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距米？
【变式9】快、慢两车分别从A，B两地沿同一路线匀速行驶，快车到达 B 地后立即按原路原速返回A 地(快车掉头的时间忽略不计)，慢车在快车出发1小时后出发，到达 A 地后停止行驶，快、慢两车距A 地的路程y(千米)与快车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)直接写出慢车的行驶速度，并在图中( )内填上正确的数：
(2)求图中线段所在直线的函数解析式；
(3)直接写出快车出发后几小时两车相距的路程为 100千米．
【考点10 一次函数的应用—方案最优化问题】
例10.2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元．
(1)求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？
(2)牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【变式10】为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/袋） m
售价（元/袋） 20 13
已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．
（1）求m的值．
（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围．
（3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？
【考点11 一次函数综合】
例11.如图，平面直角坐标系xOy中，：交x轴于A，交y轴于B．另一直线：交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知≌．
（1）求解析式．
（2）P，Q分别在线段AB和CD上，且，当轴时，P、Q两点的坐标．
【变式11】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒．
①若△NPH的面积为1，求t的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

展开更多......

收起↑