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7.6用锐角三角函数解决问题（3个知识点+4种题型）
【苏科版2024】
【题型归纳】
【题型1 锐角三角函数的应用-坡度坡比问题】 1
【题型2 锐角三角函数的应用-仰角俯角问题】 4
【题型3 锐角三角函数的应用-方位角问题】 10
【题型4 锐角三角函数的应用-实物建模问题】 13
一、知识梳理
知识点1．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡．
知识点2．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
知识点3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
二、题型精讲
【题型1 锐角三角函数的应用-坡度坡比问题】
例1.如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，）
【变式1】如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．
(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；
(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【题型2 锐角三角函数的应用-仰角俯角问题】
例2.如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）
（1）求点到点的水平距离的长；
（2）求楼的高度．
【变式2-1】我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【变式2-2】如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．
(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；
(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【题型3 锐角三角函数的应用-方位角问题】
例3.如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）
(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
【变式3】在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）；
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，）
【题型4 锐角三角函数的应用-实物建模问题】
例4.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BCOE．
①填空：∠BAO＝_______°．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
【变式4】“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，．
(1)如图③，A处离地面多高？
(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为，求此时的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，）7.6用锐角三角函数解决问题（3个知识点+4种题型）
【苏科版2024】
【题型归纳】
【题型1 锐角三角函数的应用-坡度坡比问题】 1
【题型2 锐角三角函数的应用-仰角俯角问题】 4
【题型3 锐角三角函数的应用-方位角问题】 10
【题型4 锐角三角函数的应用-实物建模问题】 13
一、知识梳理
知识点1．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡．
知识点2．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
知识点3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
二、题型精讲
【题型1 锐角三角函数的应用-坡度坡比问题】
例1.如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，）
【答案】8米
【分析】过点F作FH⊥AD于H，根据坡度的概念分别求出AE、BE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：过点F作FH⊥AD于H，则四边形FHEB为矩形，∴FH＝BE，BF＝HE，
∵斜坡AB的坡比为，∴BE：AE＝12：5，设BE＝12x米，则AE＝5x米，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，即262＝（12x）2＋（5x）2，解得：x1＝2，x2＝ 2（舍去），
则AE＝10米，BE＝FH＝24米，在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，
∴AH＝≈（米），∴BF＝HE＝AH AE＝18 10＝8（米），答：BF至少是8米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式1】如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．
(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；
(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【答案】(1)7.0
(2)建筑物高约为米
【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再证，推出，代入数值即可求解；
（2）过点作，垂足为，利用矩形的性质求出，，，解可得，进而得出，再解，列等式求出，则．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
∴设，则，
由勾股定理得：，即，
解得，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
由题意，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴米；
则平台的长为，
（2）解：过点作，垂足为．
在矩形中，
，，
∴．
在矩形中，
，，
在中，，
∴，
，
，
解得：，
（米），
即建筑物高约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
【题型2 锐角三角函数的应用-仰角俯角问题】
例2.如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）
（1）求点到点的水平距离的长；
（2）求楼的高度．
【答案】（1）米；（2）楼的高度为米．
【分析】（1）由的坡度，可得 设 则 由勾股定理可得 再列方程 解方程可得答案；
（2）如图，过作于 先证明四边形是矩形，可得 设 证明 可得 由 建立方程，再解方程检验即可得到答案．
【详解】解：（1） 的坡度，
设 则
（2）如图，过作于
四边形是矩形，
设
由
解得：
经检验：符合题意，
所以：建筑物的高为：米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．
【变式2-1】我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【答案】古槐的高度约为13米
【分析】过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根据锐角三角函数求出AM=12米，进而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根据锐角三角函数求出EN=32.08米，即可求出答案．
【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，
由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，
在中，∠EAM=26.6°，
∴，
∴米，
∴BH=AM=12米，
∵BD=20，
∴DH=BDBH=8米，
∴CN=8米，
在中，∠ECN=76°，
∴，
∴米，
∴（米），
即古槐的高度约为13米．
【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
【变式2-2】如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．
(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；
(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【答案】(1)7.0
(2)建筑物高约为米
【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再证，推出，代入数值即可求解；
（2）过点作，垂足为，利用矩形的性质求出，，，解可得，进而得出，再解，列等式求出，则．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
∴设，则，
由勾股定理得：，即，
解得，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
由题意，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴米；
则平台的长为，
（2）解：过点作，垂足为．
在矩形中，
，，
∴．
在矩形中，
，，
在中，，
∴，
，
，
解得：，
（米），
即建筑物高约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
【题型3 锐角三角函数的应用-方位角问题】
例3.如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）
(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
【答案】(1)167.79米
(2)能，理由见解析
【分析】（1）过点M作，交AC的延长线于D，设．解，得，解，得，进而可得，解方程即可；
（2）作，交l于点F．解求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可．
（1）
解：过点M作，交AC的延长线于D，设．
∵在中，，
又∵在中，，
∴，
∵，
∴．
∴（米）．
即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）
解：作，交l于点F．
在中，有：（米），
∴．
∴该轮船能行至码头靠岸．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式3】在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）；
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，）
【答案】(1)AC=200海里，AD=200(-1)海里
(2)无触礁的危险
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE=x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，求出DF的长，再与100比较即可得到答案．
（1）如图，作CE⊥AB于E，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE tan60°=x，在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，∴AE＋BE＝x＋x＝100（+1），解得：x＝100．∴AC＝2x＝200海里．∵∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=75°，∴∠ACB=∠ADC=75°，∵∠BAC=∠CAD，∴△ABC∽△ACD∴，∴，∴AD=200(-1)
（2）在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y＋y＝200，解得：y＝100（ 1），∴DF＝y=×100（ 1）≈126.8（海里），∵126.8＞100，∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【题型4 锐角三角函数的应用-实物建模问题】
例4.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BCOE．
①填空：∠BAO＝_______°．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
【答案】（1）①160；②27.0cm；（2）∠ABC＝33.2°．
【分析】（1）①过点A作AGBC，根据平行线的性质解答便可；②过点A作AF⊥BC于点F，解直角三角形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD使得结果；（2）过点点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，求出CM，再解直角三角形求得∠MBC便可．
【详解】解：（1）①过点A作AGBC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，
∵BCOE，∴AGOE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°，故答案为：160；
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB sin∠ABF＝30×sin70°≈28.2（cm），
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27.0（cm）；
（2）作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，
则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝35cm，CD＝8cm，
∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），
∴sin∠MBC＝，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．
【点睛】此题主要考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据图形的特点构造直角三角形，根据三角函数的定义即可求解．
【变式4】“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，．
(1)如图③，A处离地面多高？
(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为，求此时的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，先证明，在中，再根据即可求解；
（2）过点B作于点E，过点B作于点F，则可得四边形是矩形，即有，，根据，，可得，即有，在中，，根据即可求解．
（1）
解：连接，图，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，
，
即A处离地面；
（2）
解：过点B作于点E，过点B作于点F，图②，
根据题意有：，则可得四边形是矩形，
即有，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴ ．
答：的长度约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，明确题意，找准对应关系，灵活运用三角函数是解答本题的关键．

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