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2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义
第19章实数高频考点分类复习
考点01：算术平方根与平方根
1. （2023-24闵行区七年级下期中）的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．
2. （2023-24闵行区七年级下期中）计算：_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】．
故答案为：．
3. （2023-24金山区七年级下期中）下列运算正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先分别求解每个选项中的算术平方根，再判断即可．
【详解】解：没有意义，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，正确，故C符合题意；D不符合题意
故选C
4. （2023-24闵行区七年级下期中）下列运算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意；
B、，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算正确，符合题意；
D、，故选项D计算错误，不符合题意．
故选：C．
5. （2024年黄浦区七年级下期中）若，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：，
∴，
即的平方根是．
6. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）已知是实数，且，求的整数部分．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键；
首先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后代入求出算出平方根，观察分析该结果是介于哪两个相邻的正整数之间，取其较小的整数值为整数部分．
【详解】根据题意得：
，
，
，
，
，
把代入中得
，
，
，
整数部分为：2．
考点02：立方根
7. 的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．
8. （2023-24金山区七年级下期中）实数a的立方根是3，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：∵实数a的立方根是3，
∴，
故答案为：
9. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根是非负数
【答案】B
【解析】
【分析】根据立方根的定义和性质，逐项分析即可．
【详解】解：A、一个数的立方根有1个，故原说法错误，该选项不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号选项，正确，该选项符合题意；
C、负数有立方根，但负数没有平方根，故原说法错误，该选项不符合题意；
D、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故原说法错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根，掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解题的关键．
10.下列语句正确的是（　　）
A．负数没有立方根 B．的立方根是
C．立方根等于本身的数只有 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可．
【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根，
∴选项A不符合题意；
∵64的立方根是4，
∴选项B不符合题意；
∵立方根等于本身的数有和0，
∴选项C不符合题意；
∴，
∴选项D符合题意，
故选：D．
11、（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，根据与互为相反数，得出，求出，代入，求出结果即可．
【详解】解：由题可得．
解得．
．
的平方根是，
的平方根是．
12. （2024年黄浦区七年级下期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可．
【详解】解：当输入x为36时，，
是有理数，， 是无理数，
∴当输入为36时，输出的值是．
故答案为：．
13.已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】6
【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分，
，，
，，
又，
∴，
的整数部分，
当，，时，，
的算术平方根为6．
考点03：无理数
14. （2023-24金山区七年级下期中）下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的概念，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：A． 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．，整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意．
故选D．
15. 下列实数中：3.1416，，，，0，，，（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】解：题中给出的数，属于无理数的有：，，，
∴无理数的个数为：3个，
故选：B．
16. （2024年黄浦区七年级下期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有___________个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
【详解】解：3.1416，，是有理数；
，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个）是无理数．
故答案为：4．
17.在下列说法中：
①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数；
③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数；
错误的序号是 ．
【答案】①③/③①
【分析】本题考查实数、有理数、无理数，根据实数的分类逐项判断即可．
【详解】解：无理数包括开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数等，故①错误；
实数包括无理数、有理数，因此无理数都是实数，故②正确；
两个无理数的和不一定是无理数，如，故③错误；
循环小数是有理数，故④正确；
综上可知，错误的序号是①③，
故答案为：①③．
18.下列说法中，正确的是（ ）
A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数
C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义解答即可．
【详解】A、有理数是整数和分数，故本选项错误，不符合题意；
B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误，不符合题意；
C、无理数不可以写成分数的形式，故本选项错误，不符合题意；
D、无理数是无限不循环小数，故本选项正确，符合题意；
故选：D
19．已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键．
估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，、为最接近的正整数，
∴，，
∴
故选：C．
20．已知为整数，当最小时， ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，估算的大小，根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即更接近
∴
∴
故答案为：．
考点04：实数与数轴
21．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可．
【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意；
B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意；
C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意；
D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意；
故选：D．
22.下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数
【答案】C
【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．
【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．
23. （2024年黄浦区七年级下期中）已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意列得：，
则两点间距离为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了数轴表示两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离等于较大的数字减去减小的数字，根据题意列出正确的算式是解本题的关键．
24. （2023-24杨浦区七年级下期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 _________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键；
根据点C和点B关于点A成中心对称，可得点A是的中点，据此求解即可．
【详解】解：点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，
又点C和点B关于点A成中心对称，
，
解得：，
故答案为： ．
25. （2023-24闵行区七年级下期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴、两点间的距离，首先根据数轴上点A到原点的距离为2，则点A对应的数是，再根据数轴上到点A的距离为进一步得到对应的点．
【详解】解：∵数轴上点A到原点的距离为2，
∴点A对应的数是．
当点A对应的数是2时，则数轴上到点A的距离为的点是，
当点A对应的数是时，则数轴上到点A的距离为的点是，
∴在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有4个，
故答案为：4．
26．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，掌握勾股定理是解题的关键．
先根据勾股定理求得的长，再结合数轴即可解答．
【详解】解：如图：，则，
∵A点表示，
∴M点表示的数为： ．
故答案为：．
27. 我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题：
（1）如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．
（2）如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______．
（3）如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹）
【答案】（1）
（2）；
（3）所画正方形见解析；点P见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与无理数；
（1）由勾股定理即可求解；
（2）由勾股定理得，由画图知，则由即可得A、B两点表示的数；
（3）由，即可画出面积为5的正方形；在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点，那么点P表示的数即为所求．
【小问1详解】
解：由勾股定理得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴由勾股定理得，
由画图知，
∴，
∴A点表示的数为；B点表示的数为；
故答案为：；；
【小问3详解】
解：∵，
∴所画正方形的边长为，其面积为5；
如图，在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点，
∵，
∴，
∴
RN5点P表示的数为．
考点05：实数的绝对值
28.化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选：B．
29. 计算________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
30.实数的绝对值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案．
【详解】解：实数的绝对值为．
故答案为：．
31.的相反数是 ，绝对值是 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据正数的绝对值是它本身，可得一个正数的绝对值．
【详解】解：的相反数是；
的绝对值是．
故答案为：，．
32.如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．a B．b C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质．
先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，，
．
故答案为：B．
考点06：实数的大小比较
33. （2023-24学嘉定区七年级下期中）比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】先比较出4与的大小，再根据两个负数比较大小．
【详解】解：∵16＜17，
∴4＜，
∴﹣4＞﹣，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次根式大小的比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方法．比较两个负数，绝对值大的反而小
34. （2023-24金山区七年级下期中）比较大小：________（填“”或“=”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知两个负数相比较，绝对值大的其值反而小是解题的关键．
根据负数比较大小的法则解答即可．
【详解】解： ，
，
故答案为：
35. （2023-24闵行区七年级下期中）比较大小：_______(填“＞”、“=”或“＜”) ．
【答案】＜
【解析】
【分析】先对二次根式进行变形，再比较大小即可．
【详解】解：，，
∵，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解答此题的关键．
36.（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据平方大的正实数也大解答即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
37.为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可．
【详解】解：，，
在中，，
，，
在中，，
，在上且，
，
在中，，
．
故答案为：．
38.阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题：
(1)比较大小：________；（填“”“”或“”）
(2)已知，且，若，试比较和的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数以及整式比较大小，解题的关键是掌握作差法比较大小的方法和依据．
（1）运用作差法进行比较大小即可，即计算，再比较和的大小；
（2）运用作差法进行比较大小即可，计算，然后发现的符号即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
故答案为：<
（2），，
，
，
，
，
．
考点07：实数的运算
39. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是实数的混合运算：二次根式性质、完全平方公式、零指数幂，解题关键是熟练掌握实数的相关运算．
根据二次根式性质、完全平方公式、零指数幂进行运算即可．
【详解】解：原式
．
40. 计算：|﹣|++（+1）．
【答案】
【解析】
【分析】先去绝对值符号、计算立方根和乘法，再计算加减可得．
【详解】解：原式=．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的性质、立方根的定义和乘法分配律．
41. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算括号内的乘法，再计算除法即可
【详解】解：
42. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】先逆用积的乘方，再运用平方差公式进行计算即可
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式的运用，积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方的逆用，平方差公式是解题的关键．
43. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式和二次根式的混合运算，根据完全平方公式去括号后再合并即可
【详解】解：
44. 计算：.
【答案】4-
【解析】
【分析】先去根式和计算0次方，再相加即可.
【详解】
=3-+1
=4-.
【点睛】考查了二次根式的运算，解题关键抓住进行计算.
45. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】首先去括号，然后合并同类二次根式即可.
【详解】解：原式.
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
46. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减可得．
【详解】解：原式
考点08：实数的估计与近似数
47. 的整数部分是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法求出的取值范围即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分是，
故答案为：．
48. （2023-24杨浦区七年级下期中）的小数部分是，计算__________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合与运算，无理数的估算，先判断出，进而得出，根据二次根式的性质进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
故答案为：
49. （2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ）
A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可．
【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，
∴个正方形的边长为米，
∵，
∴．
故选B．
50. （2023-24金山区七年级下期中）下列说法正确的是（ ）
A. 负数没有方根；
B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应；
C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；
D. 近似数0.0360有3个有效数字．
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平方根和立方根，实数与数轴，有效数字，根据相关知识逐项判断即可
【详解】解：A、负数有立方根，故选项A说法错误，不符合题意；
B、数轴上的每一个点都与一个实数相对应，故选项B说法错误，不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，1和，故选项C说法错误，不符合题意；
D、近似数0.0360有3个有效数字,说法正确，符合题意．
故选：D
51.把圆周率精确到，其近似值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是求一个数的近似值，掌握四舍五入法是解决此题的关键．把万分位上的数字5四舍五入即可．
【详解】解：．
故答案为：．
52.近似值精确到 位．
【答案】十
【分析】本题考查判断近似值的精确数位，将科学记数法还原，确定数字8所在的数位即可．
【详解】解：，8是十位数字，
∴近似值精确到十位；
故答案为：十．
53.下列由四舍五入法得到近似值，各精确到哪一位：
⑴ 0.0233 ；
⑵ 3.10 ；
⑶ 4.50万 ；
⑷ 3.04×104 ；
【答案】 万分位； 百分位； 百位； 百位
【详解】解：（1） 0.0233精确到万分位；
（2） 3.10精确到百分位；
（3） 4.50万精确到百位；
（4） 3.04×104精确到百位；
考点09：科学记数法
54．用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的计算，正确确定的值是关键．
科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
55．用科学记数法表示，并保留三个有效数字： ．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．也考查了有效数字．
【详解】解：
故答案为：．
56．国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为______
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解：67313万．
57.2024年11月10日7时30分，雅迪2024锡山宛山湖马拉松在映月湖畔鸣枪开跑．据统计，本赛事总计51717人报名．用科学记数法将51717精确到千位的近似值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了近似值和科学记数法，先将原数精确到千位，再用科学记数法表示为（其中，n为整数）的形式即可求解．
【详解】解：51717精确到千位是52000，
．
故答案为：．
58.《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似值是 ．（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值，也考查了近似值．
【详解】解：数731017改写成精确到万位的近似值是万，
万，
故答案为：．
考点10：综合解答题
59．本学期第八章《实数》中学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】
（1）探索定义：填写下表
1 16 81 …
…
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____；
（2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____；
【拓展应用】
（3）①计算：_____；②比较大小：_____．
【答案】（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4）
【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键．
（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表；
（2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可；
（3）根据定义求一个数的四次方根；
（4）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可．
【详解】解：（1），，；表格中数据依次为：，，；
类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）①∵
∴的四次方根是；
②0的四次方根是0；
③没有四次方根；
类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
故答案为为：①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
（3）①；
故答案为：；
②，
∴．
故答案为：．
60. （2023-24金山区七年级下期中）阅读理解题
在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即，
如图1．
在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2
下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题．
例如：求代数式的最小值．
解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即．
当时，即点A在点B的左边时，，如图3：
当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4；
当时，即点A在点C的右边时，，如图5；
由此可知，当时，有最小值3．
问题：请你模仿上述研究方法：
（1）求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围．
（2）求代数式的最小值是________．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键．
（1）由对应的数为，对应的数为，表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可；
（2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，可得表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可．
【小问1详解】
解：如图，对应的数为，对应的数为，
∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，
∴当时，；
当时，如图，
∴，
当时，如图，
∴，
综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：．
【小问2详解】
如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，
∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，
当重合时，即时，
∴，
当时，如图，
，
当时，如图，
∴，
当时，如图，
∴，
当时，如图，
∴，
综上：当时，的最小值为．2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义
第19章实数高频考点分类复习
考点01：算术平方根与平方根
1. （2023-24闵行区七年级下期中）的平方根是____．
2. （2023-24闵行区七年级下期中）计算：_____________．
3. （2023-24金山区七年级下期中）下列运算正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
4. （2023-24闵行区七年级下期中）下列运算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
5. （2024年黄浦区七年级下期中）若，求的平方根．
6. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）已知是实数，且，求的整数部分．
考点02：立方根
7. 的平方根是____．
8. （2023-24金山区七年级下期中）实数a的立方根是3，那么________．
9. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 一个数的立方根是非负数
10.下列语句正确的是（　　）
A．负数没有立方根 B．的立方根是
C．立方根等于本身的数只有 D．
11. （2024年黄浦区七年级下期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________．
12.（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根．
13.已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根．
考点03：无理数
14. （2023-24金山区七年级下期中）下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
15. 下列实数中：3.1416，，，，0，，，（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
16. （2024年黄浦区七年级下期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有___________个．
17.在下列说法中：
①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数；
③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数；
错误的序号是 ．
18.下列说法中，正确的是（ ）
A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数
C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数
19．已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
20．已知为整数，当最小时， ．
考点04：实数与数轴
21．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
22.下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数
23. （2024年黄浦区七年级下期中）已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________．
24. （2023-24杨浦区七年级下期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 _________________．
25. （2023-24闵行区七年级下期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有______个．
26．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ．
27. 我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题：
（1）如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．
（2）如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______．
（3）如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹）
考点05：实数的绝对值
28.化简的值为（ ）
A． B． C． D．
29. 计算________．
30.实数的绝对值为 ．
31.的相反数是 ，绝对值是 ．
32.如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．a B．b C． D．
考点06：实数的大小比较
33. （2023-24学嘉定区七年级下期中）比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）．
34. （2023-24金山区七年级下期中）比较大小：________（填“”或“=”或“”）．
35. （2023-24闵行区七年级下期中）比较大小：_______(填“＞”、“=”或“＜”) ．
36.（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）．
37.为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”）
38.阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题：
(1)比较大小：________；（填“”“”或“”）
(2)已知，且，若，试比较和的大小．
考点07：实数的运算
39. 计算：．
40. 计算：|﹣|++（+1）．
41. 计算：
42. 计算： ．
43. 计算：
44. 计算：.
45. 计算：
46. 计算：
考点08：实数的估计与近似数
47. 的整数部分是________．
48. （2023-24杨浦区七年级下期中）的小数部分是，计算__________________．
49. （2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ）
A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间
50. （2023-24金山区七年级下期中）下列说法正确的是（ ）
A. 负数没有方根；
B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应；
C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；
D. 近似数0.0360有3个有效数字．
51.把圆周率精确到，其近似值为 ．
52.近似值精确到 位．
53.下列由四舍五入法得到近似值，各精确到哪一位：
⑴ 0.0233 ；
⑵ 3.10 ；
⑶ 4.50万 ；
⑷ 3.04×104 ；
考点09：科学记数法
54．用科学记数法表示为 ．
55．用科学记数法表示，并保留三个有效数字： ．
56．国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为______
57.2024年11月10日7时30分，雅迪2024锡山宛山湖马拉松在映月湖畔鸣枪开跑．据统计，本赛事总计51717人报名．用科学记数法将51717精确到千位的近似值是 ．
58.《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似值是 ．（用科学记数法表示）
考点10：综合解答题
59．本学期第八章《实数》中学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】
（1）探索定义：填写下表
1 16 81 …
…
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____；
（2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____；
【拓展应用】
（3）①计算：_____；②比较大小：_____．
60. （2023-24金山区七年级下期中）阅读理解题
在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即，
如图1．
在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2
下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题．
例如：求代数式的最小值．
解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即．
当时，即点A在点B的左边时，，如图3：
当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4；
当时，即点A在点C的右边时，，如图5；
由此可知，当时，有最小值3．
问题：请你模仿上述研究方法：
（1）求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围．
（2）求代数式的最小值是________．

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