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第7章 三角函数
7.2 三角函数概念
7.2.2 同角三角函数关系（第1课时）
▍教学目标
能根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式．
掌握同角三角函数的基本关系式，并能根据一个角的三角函数值，求其他三角函数值．
灵活运用同角三角函数的基本关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力．
已知一个角的三角函数值，求其他三角函数值时，进一步树立分类讨论的思想．
数学抽象：同角三角函数的基本关系式． 逻辑推理：根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式． 数学运算：根据一个角的三角函数值，求其他三角函数值．
▍情境设置
【问题1】 任意角的三个三角函数的定义？
[学生活动] ，，．
【问题2】 角的终边与单位圆的交点坐标是什么？
[学生活动] 由于，所以，，因此交点坐标为．
【思考】 一个角的三个三角函数值之间有什么关系呢？你能得出它们之间的关系吗？
▍概念的建构与探究
【问题3】 通过填空你能猜想出一个更一般的式子吗？ ______； ______； ______； ______； ______； ______；
[学生活动] 由于每个式子和均为，猜想对于任意的角，都有．
___，____； ____，____；
___，____； ___，___．
[学生活动] 猜想对于任意的角，都有．
[教师引导] 通过观察分析，我们得到了同角三角函数的两个基本关系：，．
【问题4】 上述两个等式是我们归纳猜想得到的，对于它的正确性还需要我们严格的推理证明，你能用我们上节课所学知识进行证明吗？
[学生活动] 小组讨论得出证明上述等式的方法，并进行方法展示：（教师进行点拨形成严格的证明过程） 方法一： 设角与单位圆交与点，则点坐标为， 由的长为，得：， 再由正切函数的定义可知时， 即时，； 方法二： 根据三角函数的定义有，，， 因为，所以； 当时，即时，； 方法三： 利用三角函数线及勾股定理可知：，即， 再由正切函数的定义可知时，即时，；
形成知识 同角三角函数的基本关系： 平方关系：； 商数关系：（，）； 语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于，商等于同角的正切．
【问题5】 我们对“同角”是怎样理解的？这两个关系式中的角有没有范围的限制？
[学生活动] 关系式是同一个角的三个三角函数值之间的关系，平方关系中的角是任意角；商数关系中的角，．
▍知识的运用与升华
【例题1】 已知，并且是第二象限角，求，的值．
[解析] 由得． 又∵是第二象限角，∴ ∴，∴．
【例题2】 已知，求，的值．
[解析] 由，得，又， 所以，解得， 又由知是第一或第三象限角． 若是第一象限角，则，， 若是第三象限角，则，．
方法归纳 给值求值一般步骤：一抄条件；二标范围；三写公式． 当角的范围不明确时要注意分类讨论．
▍课堂反馈
已知，求，的值．
已知，则的值为（ ）．
如果是第二象限的角，下列各式中成立的是（ ）
▍课堂总结
【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 同角三角函数的基本关系： 平方关系：； 商数关系：（，）． 给值求值一般步骤：一抄条件；二标范围；三写公式． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合思想、分类讨论思想．第7章 三角函数
7.2 三角函数概念
7.2.2 同角三角函数关系（第2课时）
▍教学目标
会利用同角三角函数的基本关系式对三角函数式进行化简．
会利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明．
掌握证明恒等式的一般步骤．
数学抽象：理解同角三角函数的基本关系式． 数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 逻辑推理：从多个角度证明三角恒等式．
▍复习回顾
[教师引导] 同角三角函数的基本关系： 平方关系：； 商数关系：（，）； 语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于，商等于同角的正切．
给值求值问题的一般步骤：一抄条件；二标范围；三写公式．
本节课我们将继续研究同角三角函数的基本关系的简单应用：三角函数式的化简及三角恒等式的证明．
▍典例精讲
题型一：化简三角函数式
【例题1】 化简，其中是第二象限角．
[解析] 因为其中是第二象限角，所以， 于是 ．
方法归纳 所谓三角函数式的化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽量简单，能求值的一定要求值，解题技巧有： 切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简； 对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的； 对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．
【变式】 化简．
[解析] 原式．
题型二：证明三角恒等式
【例题2】 求证：．
[处理建议] 小组讨论，教师提炼汇总各种方法，并做适当补充．
[解析] 证法1：因为， 所以． 证法2：因为， 又，，所以． 证法3： 证法4： ．
方法归纳 证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消去等式两边差异来促成统一的过程： 证明恒等式常用的思路是： 从一边证到另一边，一般由繁到简； 左右开弓，即证左边、右边都等于第三者； 比较法（作差，作比法）． 常用的技巧有： 巧用“”的代换； 化切为弦； 多项式运算技巧的应用（分解因式）． 解决此类问题要有整体代换思想．
▍课堂反馈
求证：．
[解析] 同【例题2】证明略．
求证：．
[解析] 右边 左边， 所以等式成立．
已知，求的值．
[解析] 方法一：由化简得， 所以． 方法二：由化简得， 则，否则，与矛盾； 则，则．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．
知识框图 三角函数式的化简解题技巧有： 切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简； 对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的； 对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的． 证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消去等式两边差异来促成统一的过程： 证明恒等式常用的思路是： 从一边证到另一边，一般由繁到简； 左右开弓，即证左边、右边都等于第三者； 比较法（作差，作比法）． 常用的技巧有： 巧用“”的代换； 化切为弦； 多项式运算技巧的应用（分解因式）． 解决此类问题要有整体代换思想．

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