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第7章 三角函数
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.1 三角函数的周期性
▍教学目标
通过从生活中周而复始的现象出发，从特殊到一般，抽象概括出周期函数形式化定义．
选取正例与反例，运用逻辑推理，加深对周期函数和最小正周期的本质认识而促进概念的学习．
体会从特殊函数到一般函数、从正弦函数周期再到求一般周期函数的周期上，从特殊到一般的研究策略．
数学抽象：用数学语言表示函数周期性． 逻辑推理：加深对周期函数和最小正周期的本质认识． 直观想象：利用函数图象来研究函数性质．
▍情境设置
【问题1】 这是一张课程表，一个学期150多天，为什么只列出了7天的课程？下周一的这个时候呢，下下周一呢？
某某中学2020--2021学年第一学期高一（8）班课程表时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日上 午1生物语文政治数学体育休息休息2政治数学英语数学数学3物理数学英语政治语文4语文政治数学英语语文下 午5数学英语物理生物物理6数学英语体育语文政治7英语物理生物体锻生物8自习生物语文物理英语
[学生活动] 每周的课程都是一样的，重复出现，所以只列出了七天的课程．下周一这个时候是数学课，下下周一的这个时候还是数学课．
[教师引导] 生活中存在周而复始的现象，数学源于生活，这体现了应用数学解决现实问题．
【问题2】 现实生活中还有哪些周而复始的现象？
[学生活动] 举例：一年四季交替变化，日出日落，寒来暑往等． 举例：每日作息规律，匀速圆周运动，天体运行，摩天轮等．
▍概念的建构与探究
【问题3】 如何用数学的方法来刻画现实世界中周而复始的现象？以摩天轮为例．
[教师引导] 已知摩天轮做逆时针匀速转动，每分钟转一圈．随着时间的变化，摩天轮上点到地面的距离发生变化，对于特定的时间，点到地面的距离是唯一确定的，你打算用哪个数学概念刻画？
[学生活动] 我们需要构造一个函数来刻画．
[教师引导] 哪个量是自变量？哪个量是因变量？
[学生活动] 在任何一个确定的时刻，点与地面的距离是唯一确定的，因此距离是关于的函数．
[教师引导] 每转一圈后，摩天轮又回到原来的位置，如何用函数关系来刻画这一周而复始的现象？
[学生活动] 自变量的值每增加，距离会重复出现，便有．
【问题4】 我们再看数学中的例子，以循环小数为例，谁能同样构造函数来刻画这个循环小数周而复始的现象？
[教师引导] 这里是否存在两个量，一个量引起另一个量的变化？ ，这里的分位是，百分位是，千分位是，万分位是，小数点后面第位是？小数点后面第位是？ 在这一过程中，你找到了那两个变量了吗？
[学生活动] 小数点后的第位的数字作为这个函数的函数值，记作．
[教师引导] 你能否写出这个函数的解析式？
[学生活动] 可写成分段函数的形式，．
[教师引导] 如何用函数的关系式来刻画循环小数，出现周而复始的现象？
[学生活动] ，循环小数的循环节的长度为，自变量每增加，函数值会重复出现．
【问题5】 摩天轮上点到地面的距离呈现周而复始的现象，这给我们似曾相识的感觉，当初我们定义正弦函数就是类似这个背景，正弦函数是如何定义的？选用哪条有向线段表示正弦线？
[学生活动] 正弦函数是以角为变量，角的终边与单位圆的交点纵坐标为函数值的函数，选用有向线段表示正弦线．
[教师引导] 逆时针方向转动一圈，正弦函数值重复出现，如何用数学表达式刻画这一规律？
[学生活动] 即自变量增加，正弦函数值会重复出现，即正弦线的长度和符号均没有发生变化，用式子来描述，，，这也是正弦函数的诱导公式，可以抽象成一般函数的形式：．
[教师引导] 角继续逆时针方向转动或顺时针方向转动，正弦函数值重复出现，如何用数学关系式刻画这一规律？
[学生活动] 当自变量的值每增加整数倍时，正弦值会重复出现，即可以抽象成一般函数的形式．
【问题6】 能否给出你能否给出周期函数的定义？
[学生活动] 一般地，对于函数，如果存在一个，满足，那么函数就叫作周期函数，叫作这个函数的周期．
【问题7】 你认为这个函数的周期具有怎样的要求？
[学生活动] 是非零常数，若为零，则任何一个函数都是周期函数，如果所有函数都是周期函数，研究周期函数失去意义，因此是非零常数，不随的变化而变化．
【问题8】 对中的有无要求？是否只要有一个满足即可？是否无数个满足即可？
[学生活动] 不是．举一个反例即可．正弦函数，，，但对，，因此并不是函数的周期．同理，无数个满足，但并不是函数的周期．
形成知识 周期函数的定义： 设函数的定义域为．如果存在一个非零的常数，使得对于任意的，都有，并且，那么函数就叫作周期函数，非零常数叫作这个函数的周期．
【问题9】 正弦函数周期是多少？
[学生活动] ，，，…以及，，，…都是正弦函数的周期．周期函数的周期不唯一．
【问题10】 如果从中选取一个作为代表，你会选取谁呢？
[学生活动] 选取其中最小的正数作为代表；选取最大的负数为代表．
形成知识 最小正周期的定义： 对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作的最小正周期．
▍知识的运用与升华
【例题1】 周期函数，的最小正周期是什么？为什么？
[学生活动] 由诱导公式易知，是正弦函数的一个周期．下面用反证法证明是它的最小正周期． 假设，且是正弦函数的周期，则对任意实数，都有，即， 令，得，即，即，根据余弦函数的定义， 当时，，这说明是不可能的． 于是周期函数，的最小正周期是．
下面用反证法证明是它的最小正周期． 假设，且是正弦函数的周期，则对任意实数，都有，即，令，得． 又，故，从而对任意实数，都有成立，与矛盾，故正弦函数没有比小的正周期． 于是周期函数，的最小正周期是．
【变式】 周期函数，的最小正周期是什么？
[解析] 周期函数，的最小正周期是．
【例题2】 求下列函数的周期：
； ．
[解析] 设周期为，则，即对任意实数都成立，也就是对任意实数都成立，其中，由的周期是，可知使得对任意实数都成立的的最小正值为，可知，即，所以的最小正周期是． 设周期为，则，即对任意实数都成立，也就是对任意实数都成立，其中，由的周期是，可知使得对任意实数都成立的的最小正值为，可知，即，所以的最小正周期是．
【问题11】 你能归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
[学生活动] 这些函数的周期与解析式中前的系数有关，对于函，的最小正周期都是．
【问题12】 你认为上述函数，周期的方法，能否推广到求一般函数的周期上去？即命题“如果函数的周期是，那么函数等于”是否成立？
[学生活动] 设非零常数为的周期，则，即对任意实数都成立．也就是对任意实数都成立，其中，由于的最小正周期是，可知，即，所以函数的周期等于．
▍课堂反馈
判断下列说法是否正确，并简述理由： 时，，则一定不是的周期； 时，，则一定是的周期．
[解析] 正确，因为对任意，都有成立，才是的周期，而时，，所以一定不是的周期． 不正确，因为在时等式成立，并不能保证对任意，都成立，如当时，就不成立．
求下列函数的周期：
； ．
[答案]
已知作周期性运动的钟摆的高度（单位：mm）与时间（单位：s）之间的函数关系如图所示． 求该函数的周期； 求s时钟摆的高度．
[答案] 由图象可知，该函数的周期为s． 设，由函数的周期为s， 可知．所以s时钟摆的高度为mm．
▍课堂总结
【问题13】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．

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