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第7章 三角函数
7.4 三角函数应用
▍教学目标
会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题．
通过三角函数刻画周期性变化现象的实例，体会三角函数在表达和解决实际问题中的作用．
通过建立三角函数模型解决实际问题，培养学生数学建模的核心素养．借助实际问题求解，提升学生数学运算的核心素养．
数学抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题． 数据分析：通过观察、分析已知数据，建立三角函数模型． 数学建模：在具体问题情境中，利用三角函数的周期性解决实际问题． 数学运算：实际问题求解．
▍情境设置
【问题1】 在大自然和我们的日常生活中存在着许多周期性的现象:潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换等． 数学源于生活，你能举出其他周期性现象的例子吗？ 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
[学生活动] 匀速圆周运动、简谐运动、人的情绪、体力、智力等心理、生理状况． 三角函数模型．
▍概念的探究与建构
【问题2】 如图点为做简谐运动的物体运动的平衡位置，取向右的方向为物体运动位移的正方向，已知其振幅为cm，周期为s，当物体向右运动到达点处开始计时，求物体相对平衡位置的位移（cm）与运动时间（s）之间的函数关系，并求物体在s时的位置． 请回忆一下简谐运动的位移与时间的函数关系，可用哪一类函数来描述？ 针对这个问题，你所选择的具体的函数形式是什么？ 根据问题提供的条件，请你求出相应的、、之值．
[学生活动] 三角函数． ． 学生在纸上运算．
【问题3】 当物体向右运动到达最大位移处开始计时，求物体相对平衡位置的位移（cm）与运动时间（s）之间的函数关系，并求物体在s时的位置．
形成知识 函数，，中参数的物理意义：
【思考】 如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是（　　） 该质点的振动周期为 该质点的振幅为 该质点在和时的振动速度最大 该质点在和时的加速度为零
[学生活动] 由图象及简谐运动的有关知识知，，当及时，，故排除选项A，B，C．
形成知识 当或时，应先用诱导公式将的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相．如函数的初相不是．
▍知识的运用与升华
题型一：三角函数模型在物理中的应用
【例题1】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是． 画出它的图象； 回答以下问题： ①小球开始摆动（即），离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？
[解析] 周期（s）． 列表：
描点画图： ①小球开始摆动（即），离开平衡位置为cm． ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是cm． ③小球来回摆动一次需要s（即周期）．
方法归纳 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．
题型二：三角函数在实际生活中的应用
【问题4】 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤是什么？
[教师引导] 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
[教师引导] 三角函数模型的建立程序如图所示：
【例题2】 如图一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现（图中点）时开始计算时间． 将点距离水面的高度表示为时间的函数； 求点第一次到达最高点需要多长时间？
[教师引导] 从对模拟图形的观察中找出决定点竖直高度变化的直接相关的量，并在图形中表示出来． 用什么工具来刻画角的变化？ 怎样建立直角坐标系？角的方向如何确定？ 点相对于水面的高度变化是一个周期变化吗？若是，周期是多少？ 竖直高度与时间的模拟函数关系式的具体形式是什么？并求出该函数表达式．
[解析] 如图，建立直角坐标系，设角（）是以为始边，为终边的角，每秒钟所转过的弧度为， 又水轮的半径为m，圆心距离水面m， 所以． 当时，，得，即． 故所求的函数表达式为． 令，得． 取，得．故点第一次到达最高点需要s．
方法归纳 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： 认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论； 建立三角函数模型，将实际问题数学化； 利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； 根据实际问题的意义，得出实际问题的解； 将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
▍课堂反馈
商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数（），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（　　）
[解析] 由，， 知函数的增区间为，． 当时，，而，故选C．
一弹簧振子的位移与时间的函数关系式为（，），若弹簧振子运动的振幅为，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________．
[解析] 由题意得，，，则， 故所求函数的解析式为．
3． 某动物种群数量1月1日低至，7月1日高至，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化． 求出种群数量关于时间的函数解析式；（其中以年初以来经过的月份数为计量单位） 画出种群数量关于时间变化的草图．
[解析] 设表示该曲线的函数为（，，），由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月， 故振幅，，． 又因为7月1日种群数量达到最高，所以（）． 又因为，所以． 故种群数量关于时间的函数解析式为． 种群数量关于时间变化的草图如图所示：
▍课堂总结
【问题5】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 函数，，中参数的物理意义： 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： 认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论； 建立三角函数模型，将实际问题数学化； 利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； 根据实际问题的意义，得出实际问题的解； 将所得结论返回、转译成实际问题的答案． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数学建模、数学运算、特殊到一般……

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