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第7章 三角函数
小结与复习
▍教学目标
理解并掌握任意角与弧度制．
掌握同角三角函数基本关系和诱导公式的应用．
理解并掌握三角函数的图象与性质．
理解并掌握三角函数的图象变换问题．
逻辑推理：同角三角函数基本关系和诱导公式的应用． 数学运算：三角函数化简求值． 直观想象：由图象研究三角函数的性质及图象变换．
▍复习回顾
[教师引导] 扇形的弧长及面积公式：　　　　；　　　　．
同角三角函数的基本关系式：，　　　　．
诱导公式： 公式一：　　　，　　　，　　　，其中． 公式二：　　　，　　　，　　　． 公式三：　　　，　　　，　　　． 公式四：　　　，　　　，　　　． 公式五：　　　，　　　　． 公式六：　　　　，　　　　．
正弦、余弦、正切函数的图象和性质： 函数图象定义域值域周期性奇偶性单调性对称轴方程对称中心坐标
函数的图象： 表示一个振动量的有关概念： （，）振幅周期频率相位初相
函数的图象经变换得到（，）的图象的步骤如下：
[处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式： 这一章我们学习了角与弧度、三角函数概念、三角函数的图象和性质，请你谈谈对这一章相关知识点的理解． 让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图．
▍典例精讲
题型一：同角三角函数基本关系式和诱导公式
【例题1】 已知，且角在第四象限，计算： ； （）．
[解析] 因为，所以，． 又角在第四象限，所以． ． ．
【变式1】 已知，求：
； ； ．
[解析] 因为，所以 因为，所以 因为， 所以．
【变式2】 已知（），则的值是__________； 已知，则__________．
[解析] 因为， ， 所以． 因为， 所以．
方法归纳 同角三角函数基本关系的应用： 已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直接求解或解方程（组）求解． 已知正切，求含正弦、余弦的齐次式； 齐次式为分式时，分子分母同除以或，化成正切后代入． 齐次式为整式时，分母看成，利用代入，再通过分子分母同除以或化切． 用诱导公式化简求值的方法： 对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成，，，（或，）的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简． 解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．
题型二：三角函数的图象及变换
【例题2】 已知函数（，，）的图象上的一个最低点为，周期为． 求的解析式； 将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后再将所得的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，写出函数的解析式．
[解析] 由题可知，所以． 又，所以．由的最低点为，得． 因为，所以． 所以．所以．所以． ， 所以．
【变式3】 将(2)改为将的图象沿轴向右平移个单位，再将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，写出函数的解析式．
[解析] ， 所以．
方法归纳 由图象或部分图象确定解析式中的参数： ：由最大值、最小值来确定． ：通过求周期来确定． ：利用已知点列方程求出． 函数的图象变换到（，）图象的两种方法：
题型三：三角函数的性质
【例题3】 已知函数． 求的定义域与最小正周期； 讨论在区间上的单调性．
[解析] 的定义域为． ． 所以的最小正周期． 令， 则函数的单调递增区间是，． 由， 得，． 设，， 易知．故当时，在区间上单调递增，在上单调递减．
方法归纳 三角函数的两条性质： 周期性：函数和的最小正周期为，的最小正周期为． 奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为或，而偶函数一般可化为的形式． 求三角函数值域（最值）的方法： 利用，的有界性． 从的形式逐步分析的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． 换元法：把或看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题．
▍课堂反馈
已知，，则等于（　　）
[答案] D
[解析] 因为， 所以，所以． 因为，所以．
要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　）
向左平移个单位 向左平移个单位
向右平移个单位 向右平移个单位
[答案] B
[解析] 因为，所以只需把函数的图象向左平移个单位即可得到的图象，故选B．
已知函数，下列说法错误的是（　　）
函数的最小正周期是
函数是偶函数
函数的图象关于点中心对称
函数在上是增函数
[答案] D
[解析] 因为，所以函数是偶函数， 且最小正周期，故A，B正确； 由（），得（），当时，，所以函数的图象关于点中心对称，故C正确； 当时，，所以函数在上是减函数，故D错．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．

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