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八年级上册数学专题复习：整式的乘法
知识结构思维导图
类型一：单项式乘单项式（基础）
学习目标：掌握单项式乘法法则，能熟练进行系数相乘、同底数幂相乘运算。
【例题1】计算：
(1) 3x ·5x (2) -2a b·4ab (3) (3x y) ·(-2xy )
【对应练习】请计算：
1. 4a·5a =
2. -3x y·2xy =
3. (2m n) ·(-3mn ) =
4. 0.5a b·(-4ab )·(-2b) =
类型二：单项式乘多项式（基础）
学习目标：掌握单项式与多项式相乘的法则，能熟练运用乘法分配律进行计算。
【例题2】计算：
2x·(3x - 4x + 5) (2) -3a b·(2ab - 5a + b ) (3) (x - 2y)·4xy
【对应练习】请计算：
1. 3a·(2a - a + 4) =
2. -2x ·(3x - 5y + 1) =
3. (4x y - 3xy )·(-2xy) =
4. 0.5m·(2m - 4m + 6) =
类型三：多项式乘多项式（核心）
学习目标：掌握多项式乘法法则，能进行二项式乘二项式、二项式乘三项式等运算。
【例题3】计算：
(x + 3)(x - 4) (2) (2a - b)(3a + 2b) (3) (x + 2)(x - 3x + 5)
【对应练习】请计算：
1. (x + 5)(x - 3) =
2. (2m - 3n)(m + 4n) =
3. (a - 2)(a + 3a - 1) =
4. (3x - 2y)(2x + 5y - 1) =
类型四：乘法公式应用（重点）
学习目标：掌握平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式简化计算。
【例题4】运用乘法公式计算：
(x + 7)(x - 7) (2) (2a + 3) (3) (3x - 2y)
【对应练习】请运用公式计算：
1. (x + 6)(x - 6) =
2. (3a - 4)(3a + 4) =
3. (2m + 5) =
4. (4x - 3y) =
类型五：几何直观题型（数形结合）
学习目标：通过几何图形理解整式乘法的本质，建立代数与几何的联系。
【例题5】13．（2025七下·藤县月考）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道．
（1）用含a、b的式子表示剩余草坪的面积；
（2）若，，求剩余草坪的面积．
【对应练习】深圳高级中学准备开展五育融合的特色课程，计划在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形菜园子，四周铺设地砖（阴影部分）．
（1）求铺设地砖的面积；（用含、的式子表示，结果化为最简）
（2）若，，铺设地砖的成本为80元平方米，则完成铺设地砖需要多少元？
类型六：综合应用与探究（能力提升）
学习目标：综合运用整式乘法解决复杂问题，培养数学推理和探究能力。
【例题6】探究题：观察下列等式，发现规律：
(x - 1)(x + 1) = x - 1
(x - 1)(x + x + 1) = x - 1
(x - 1)(x + x + x + 1) = x - 1
(1) 根据规律，写出 (x - 1)(x + x + x + x + 1) 的结果
(2) 计算：2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1
【对应练习】综合应用题：
已知 (x + a)(x + b) = x + 5x + 6，求 a + b 和 ab 的值。
若 3 = 4，3 = 5，求 3x+y+2 的值。
3. 一个长方体的长、宽、高分别是 (x+2)、(x-1)、(x+3)，求体积表达式并展开。
巩固练习
一、计算题
1．计算：
（1） ． （2） ．
2．简便计算：
（1）(-2019)2+2 018×(-2020) （2）20232-4046×2022+20222
计算：
计算：(5a+3b-2c )(5a-3b+6c)．
5．计算：
①
②
二、解答题
6．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关．
7．（2024八上·长春高新技术产业开发期末）图①是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是　 　（填、或）．
（2）观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系式．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
8． 阅读下列文字，并解决问题．
已知 ， 求 的值．
分析： 考虑到满足 的 的可能值较多， 不可以逐一代入求解， 故考虑整体思想， 将 整体代入．
解：
将 代入，
请你用上述方法解决下面的问题：
已知 ， 求 的值．
9．阅读材料后解决问题．
小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
计算：
（1）
（2）．
答案解析与解题思路
类型一：单项式乘单项式
例题1解析：
(1) 3x ·5x = (3×5)·(x ·x ) = 15x
(2) -2a b·4ab = (-2×4)·(a ·a)·(b·b ) = -8a b
(3) (3x y) ·(-2xy ) = 9x y ·(-2xy ) = -18x y
对应练习答案：
1. 20a
2. -6x y
3. 8m n ·(-3mn ) = -24m n
4. 0.5a b·(-4ab )·(-2b) = [0.5×(-4)×(-2)]·(a ·a)·(b·b ·b) = 4a b
关键点：
单项式乘法遵循：①系数相乘；②同底数幂相乘，指数相加；③只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的因式。
类型二：单项式乘多项式
例题2解析：
(1) 2x·(3x - 4x + 5) = 2x·3x - 2x·4x + 2x·5 = 6x - 8x + 10x
(2) -3a b·(2ab - 5a + b ) = -6a b + 15a b - 3a b
(3) (x - 2y)·4xy = 4x y - 8xy
对应练习答案：
1. 6a - 3a + 12a
2. -6x + 10x y - 2x
3. -8x y + 6x y
4. m - 2m + 3m
关键点：
单项式乘多项式的本质是乘法分配律的应用：m(a+b+c) = ma + mb + mc。注意符号处理，特别是负号。
类型三：多项式乘多项式
例题3解析：
(1) (x + 3)(x - 4) = x·x + x·(-4) + 3·x + 3·(-4) = x - 4x + 3x - 12 = x - x - 12
(2) (2a - b)(3a + 2b) = 6a + 4ab - 3ab - 2b = 6a + ab - 2b
(3) (x + 2)(x - 3x + 5) = x - 3x + 5x + 2x - 6x + 10 = x - x - x + 10
对应练习答案：
1. x + 2x - 15
2. 2m + 5mn - 12n
3. a + a - 7a + 2
4. 6x + 11xy - 3x - 10y + 2y
关键点：
多项式乘法是"分配律的连续应用"，确保每一项都与另一多项式的每一项相乘，合并同类项时注意符号。
类型四：乘法公式应用
例题4解析：
(1) (x + 7)(x - 7) = x - 7 = x - 49 （平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b ）
(2) (2a + 3) = (2a) + 2·(2a)·3 + 3 = 4a + 12a + 9 （完全平方公式：(a+b) =a +2ab+b ）
(3) (3x - 2y) = (3x) - 2·(3x)·(2y) + (2y) = 9x - 12xy + 4y （完全平方公式：(a-b) =a -2ab+b ）
对应练习答案：
1. x - 36
2. 9a - 16
3. 4m + 20m + 25
4. 16x - 24xy + 9y
关键点：
平方差公式：结构为(a+b)(a-b)=a -b ；完全平方公式：结构为(a±b) =a ±2ab+b 。识别公式结构是关键。
类型五：几何直观题型
例题5【答案】（1）解：由题意得剩余草坪的面积为
答：剩余草坪的面积为平方米．
（2）解：当，时，原式，
∴剩余草坪的面积是260平方米．
对应练习答案：
（1）解：铺设地砖的面积表示为：
平方米，
故铺设地砖的面积为平方米；
（2）解：当，时，
原式，
则(元)．
答：完成铺设地砖需要4800元．
关键点：
几何图形将多项式乘法可视化，体现了数形结合思想。通过面积的不同计算方法，验证代数恒等式。
类型六：综合应用与探究
例题6解析：
(1) 根据规律：(x-1)(x +x +x +x+1) = x - 1
(2) 观察 2 +2 +2 +2 +2+1，可看作 x=2, n=5 的情况
根据公式：(x-1)(x +x +x +x +x+1) = x - 1
所以 x +x +x +x +x+1 = (x -1)/(x-1)
当 x=2 时，原式 = (2 -1)/(2-1) = (64-1)/1 = 63
对应练习答案：
1. 由 (x+a)(x+b) = x +(a+b)x+ab = x +5x+6，得 a+b=5，ab=6
2. 3x+y+2 = 3 ·3 ·3 = 4×5×9 = 180
3. 体积 V = (x+2)(x-1)(x+3)
先算 (x+2)(x-1) = x +x-2
再算 (x +x-2)(x+3) = x +3x +x +3x-2x-6 = x +4x +x-6
关键点：
综合题考查知识迁移能力和数学探究思维。观察规律、灵活运用公式、整体代换是解决此类问题的关键。
综合训练答案
1．【答案】（1）解：（x+2y）（x-2y）=x2-（2y）2=x2-4y2.
（2）解：（ab+3c）（ab-3c）=（ab）2-（3c）2=a2b2-9c2.
【解析】【分析】（1）通过观察可以发现符合平方差公式，所以可以利用平方差公式计算。
（2）通过观察可以发现符合平方差公式，所以可以利用平方差公式计算。
2．【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式=20232-2×2023×2022+20222=(2023-2022)2=1.
【解析】【分析】（1）将2018变成2019-1，2020变成2019+1，构成平方差形式计算；
（2）4046=2×2023，原式是完全平方式的形式，直接套用公式即可求解.
3．【答案】解：
．
【解析】【分析】把(x+3y）和（x-3y)分别看作一个整体，利用完全平方公式转换，去括号后合并同类项，即可化简.
4．【答案】解：原式=(5a+3b+2c-4c )(5a-3b+2c+4c)
=[(5a+2c)+(3b-4c)][(5a+2c)-(3b-4c)]
=(5a+2c)2-(3b-4c)2
=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2
=25a2+20ac-12c2-9b2+24bc.
【解析】【分析】先利用配方法将式子变形为(5a+3b+2c-4c )(5a-3b+2c+4c)，比较两个因式，将两个因式中符号相同的项与符号相反的项分别结合在一起，然后利用平方差公式计算，进而再利用完全平方公式计算，最后合并同类项即可得答案.
5．【答案】解：①
．
②
．
【解析】【分析】①添一个，从而和凑成平方差，然后再连续运用平方差公式进行计算即可．
②添加，然后根据平方差公式进行计算即可．
6．【答案】（1）解：∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S阴影＝(a＋b)2 4ab；
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形，
∴S阴影＝MN2 4ab＝(a＋b)2 4ab，
即S阴影＝(a＋b)2 4ab＝a2 2ab＋b2。
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x 2b，
m＝S1 S2＝2b 2b＋bx （a 2b＋x）b 3b b＝4b2＋bx （ab 2b2＋bx） 3b2＝4b2＋bx ab＋2b2 bx 3b2＝3b2 ab
∴S与x无关．
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形 4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积。然后任选一种列出等量关系式即可；
（2）先证明四边形ABCD是正方形，然后利用公式S阴影＝S正方形 4S基本图形，将字母代入变形计算即可；
（3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1 S2，即可证明m与x无关．
（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S阴影＝(a＋b)2 4ab；
②∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF＝a b，
∴S阴影＝EH2＝(a b)2；
∴（a＋b）2 4ab＝（a b）2．
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，
∴四边形EFGH是正方形，
∴S阴影＝MN2 4ab＝(a＋b)2 4ab，
即S阴影＝(a＋b)2 4ab＝a2 2ab＋b2．
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x 2b，
m＝S1 S2
＝2b 2b＋bx （a 2b＋x）b 3b b
＝4b2＋bx （ab 2b2＋bx） 3b2
＝4b2＋bx ab＋2b2 bx 3b2
＝3b2 ab
∴S与x无关．
7．【答案】（1）
（2）解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
．
【解析】【解答】解：（1）由图形可知：空白部分的面积．
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到空白部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形面积，进而计算即可得到代数式；
（2）根据图②得到大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，进而根据整式的混合运算即可求解；
（3）由（2）可得：，进而根据整式的混合运算进行计算即可求解。
（1）解：由图形可知：空白部分的面积．
故答案为：；
（2）解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
8．【答案】解：
将 代入，原式
【解析】【分析】先把（2a3b2-3a2b+4a）·(-2b)根据单项式乘多项式的法则，展开，变形为：-4a3b3+6a2b2-8ab .再根据积的乘方的逆运算把它变形为：-4（ab）3+6（ab）2-8ab， 进而把ab=3整体代入，求出代数式的值即可.
9．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）根据小明的方法，将原式乘（2-1），再利用平方差公式计算即可；
（2）根据小明的方法，将原式乘，再利用平方差公式计算即可.

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