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2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
第11章整式的乘除高频考点分类复习
考点01：幂的运算
考点02：整式乘法运算
考点03：乘法公式
考点04：利用乘法公式变形求值
考点05：整式乘法与乘法公式的几何表示
考点06：整式的除法
考点07：整式的乘除的混合运算与化简求值
考点08：新定义问题
考点09：综合提升
考点01：幂的运算
1. 计算：__________．
2. 计算：_________．
3. 计算：______．
4. 计算的结果是______．
5. 计算：________．
6. 计算：______．
7. 化简的结果是（　　）
A. B.
C. D.
8. 若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则下列关系中正确的是（ ）
A. b＞c＞a B. a＞c＞b C. a＞b＞c D. a＜b＜c
10. 计算：．
11. 计算：
12.计算：
(1)；
(2)．
考点02：整式乘法运算
13.计算的结果是_______
14. 计算：______________．
15. 计算：_______．
16. 已知，那么______．
17.若，则 ．
18. 的计算结果是（ ）
A. B.
C. D.
19.已知：无论取何值时，都成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20. 计算：
21. 计算：
22. 计算：．
考点03：乘法公式
23. 下列算式中，可用完全平方公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
24. 下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
25. 计算：_________．
26. 计算：．
27. 计算____________________．
28. 如果是一个完全平方式，那么的值是______．
考点04：利用乘法公式变形求值
29. 已知，，那么的值为______．
30. 已知，，则______．
31. 已知，．则________．
32. 已知，，求的值．
33.已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
34．已知且，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
35.已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
36. 如果，那么的值为______．
37.完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，求的值．
解：，
，
，
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
类比应用：
（3）若，求的值．
考点05：整式乘法与乘法公式的几何表示
38. 图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A. ab B. C. D.
39. 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．
（1）观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________；
（2）观察图2，试猜想式子之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值．
考点06：整式的除法
40. 计算：______．
41. 已知，，求的值为______．
42. 计算：_____．
43 如果，那么__________．
44. 计算：________．
45. 已知一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为________．
46. 计算：．
47.计算：（1）
（2）计算：．
（3）计算：．
（4）计算：．
考点07：整式的乘除的混合运算与化简求值
48. 计算：
（1）；
（2）．
49. 计算：．
50. 计算：．
51. 计算：．
52. 先化简，再求值：，其中．
53.化简求值：，其中，．
54.先化简，再求值：，其中．
55.先化简，再求值：，其中，．
56.先化简，再求值：，其中，．
考点08：新定义问题
57．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若运算的结果为810，则t的值是多少？
58．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
59.规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，且，求的值．
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ．
60.如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)_____；若，则_____；
(2)已知，，，若，则的值是_____；
(3)若，．
①求的值；
②求的值．
考点09：综合提升
61. 如图，农场打算把一块正方形空地分割成4块方形田地，并计划在两块边长分别为a、b的正方形空地上种树（图中的阴影部分）和，用作鱼塘的两块长方形的面积之和记作．
（1）根据题意填空：
① （用含字母a、b的代数式表示）；
②比较与的大小： ；
（2）如果，且平方米，求这块正方形空地的面积．
62．现有若干个长与宽分别为，的小长方形，用这样的两个小长方形，拼成如图1所示的图形，用这样的四个小长方形拼成如图2所示的图形．
(1)请认真观察图形，通过图形面积割补的方法，写出图1和图2所蕴含的关于，的关系式．（用含有，的式子表示）
图1表示：________；
图2表示：________；
(2)根据上面的思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形，设，正方形，正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分的面积．
63.【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______．
【应用】根据图②所得的公式，若，，则______．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．
64.用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）．
(1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值．
(2)如图2，若的长度为，的长度为．
①当______，______时，，的值有无数组；
②当______，______时，，的值不存在．2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
第11章整式的乘除高频考点分类复习
考点01：幂的运算
考点02：整式乘法运算
考点03：乘法公式
考点04：利用乘法公式变形求值
考点05：整式乘法与乘法公式的几何表示
考点06：整式的除法
考点07：整式的乘除的混合运算与化简求值
考点08：新定义问题
考点09：综合提升
考点01：幂的运算
1. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查是同底数幂的乘法运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则．先确定符号，再利用同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
2. 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了单项式乘单项式的乘法法则，熟记单项式乘单项式的乘法法则是解题的关键．
根据单项式乘单项式乘法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3. 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方与幂的乘方，运用相关运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
4. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握整式的乘方运算是关键．
根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为： ．
5. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；把原式化为即可求解．
【详解】解：，
故答案为：
6. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，积的乘方的逆用，解题的关键是掌握相关知识．将所求式子变形为，再利用积的乘方的逆用求解即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
7. 化简的结果是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法以及幂的乘方运算知识点，解题的关键是掌握同底数幂乘法法则，为正整数）以及幂的乘方法则（m，n为正整数）．先将转化为以3为底的幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则进行计算．
【详解】解：因为，所以，
根据幂的乘方法则，可得，
，
故选C．
8. 若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则．
根据，，列出等式即可解答．
【详解】解：，
，
∵，、均为正整数，
∴，
故选：D．
9. 已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则下列关系中正确的是（ ）
A. b＞c＞a B. a＞c＞b C. a＞b＞c D. a＜b＜c
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵a=8131=3124，b=2741=3123，c=961=3122，
∴a＞b＞c．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
10. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了整式的合运算能力，关键是能准确进行积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方和合并同类项的计算．先计算积的乘方、同底数幂相乘和幂的乘方，再合并同类项．
【详解】解：
11. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘（除），合并同类项，根据幂的乘方等于底数不变，指数相乘计算，再根据同底数幂相乘（相除），底数不变，指数相加（减），最后合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
12.计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题主要考查积的乘方及其逆运算，幂的乘方的运算，掌握其运算法则是关键．
（1）根据积的乘方的逆运算计算即可；
（2）先算积的乘方，幂的乘方的结果，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
考点02：整式乘法运算
13.计算的结果是_______
【分析】此题考查了整式的混合运算，原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可求出值．
【详解】解：，
14. 计算：______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式的乘法．直接根据多项式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
16. 已知，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．先计算出，再根据，可得，，求出、，即可求解．
【详解】解：，
，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
17.若，则 ．
【答案】0
【详解】解：∵，
，
∴
．
故答案为：．
18. 的计算结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式．
【详解】解：
．
故选：D．
19.已知：无论取何值时，都成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
∴，
∴，
，，
．
故选：B．
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式展开，再合并同类项即可．
【详解】解：
【点睛】此题考了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
21. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式、多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项即可．
【详解】解：原式
.
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是注意去括号、合并同类项，以及公式的运用．
22. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后合并即可．
【详解】
．
考点03：乘法公式
23. 下列算式中，可用完全平方公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的特征：；
根据完全平方公式逐个判断即可．
【详解】解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确；
故选：D．
24. 下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，
先根据整式乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可．
【详解】解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意；
因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意；
因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意；
因为运用完全平方公式，所以D符合题意．
故选：D．
25. 计算：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平方差．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
利用平方差公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
26. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，先利用平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可．
详解】解：
．
27. 计算____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完 全平方公式是解题的关键；先将原式变形为，再利用完全平方公式展开得到；然后再次利用完全平方公式展开，从而得到结果．
【详解】原式
故答案为：
28. 如果是一个完全平方式，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
考点04：利用乘法公式变形求值
29. 已知，，那么的值为______．
【答案】26
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用完全平方公式进行变形，再代入即可．
【详解】解：
．
故答案为：26．
30. 已知，，则______．
【答案】13
【解析】
【分析】根据和的平方等于平方和加积的2倍，可得答案．
【详解】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2=25，
∴a2+b2=25-2ab，
∵
∴a2+b2=25-2×6=25-12=13
故答案为13．
【点睛】本题考查了完全平方公式，先凑成要求的完全平方公式的形式，再求解即可．
31. 已知，．则________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式、解二元一次方程组，利用平方差公式因式分解是解题的关键．由变形得，结合可得，再利用二元一次方程组解得、的值，即可解答．
【详解】解：，
，
又，
，
，
解得：，
．
故答案为：7．
32. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题先求出，再根据完全平方公式拓展公式，进行作答，即可求解；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
33.已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
得：，
∴，
故选：．
34．已知且，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
35.已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
将代入，得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
因此，代数式的值是，
故选：D．
36. 如果，那么的值为______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题考查因式分解、非负数性质、代数式求值，根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方式的非负性求得x、y值，进而代值求解即可．
【详解】解：由得，
即，
∵，，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
37.完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，求的值．
解：，
，
，
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
类比应用：
（3）若，求的值．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解；
（2）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解；
（3）模仿题干解题过程，根据完全平方公式变形即可求解；
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴
∵，
∴
∴．
考点05：整式乘法与乘法公式的几何表示
38. 图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A. ab B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2．
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．
故选C．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
39. 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．
（1）观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________；
（2）观察图2，试猜想式子之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键．
（1）根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差；
（2）正方形可以直接用边长的平方求解，也可用阴影正方形的面积加上四个小长方形的面积，由此解答即可；
（3）先求得，再利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可．
【小问1详解】
由图可知
正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为；
故答案为：；
【小问2详解】
，理由如下：
由图可知：
正方形的面积为，也等于4个长为m，宽为n的长方形与边长为的阴影部分正方形面积的和，即为，
故得到
小问3详解】
，
又
由（2）得：
考点06：整式的除法
40. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式除法，根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：
41. 已知，，求的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．逆运用同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识进行求解．
【详解】解：，，
，
故答案为：
42. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
43 如果，那么__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查单项式除以单项式，积的乘方，代入求值，先根据积的乘方运算除数，然后根据单项式除以单项式法则得到，，求出a，b的值，然后代入解题即可．
【详解】∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
44. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握积的乘方法则：先把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．先根据积的乘方法则计算，再算单项式的除法即可得到结果．
【详解】
故答案为：
45. 已知一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为，
∴另一边长为：．
故答案为：．
46. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，单项式除以单项式，根据相应的运算法则先计算同底数幂的乘法，再计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可．
【详解】解：
；
47.计算：（1）
（2）计算：．
（3）计算：．
（4）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
（4）原式．
考点07：整式的乘除的混合运算与化简求值
48. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是根据整式的计算法则进行化简．
（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可；
（2）先根据完全平方公式和多项是乘多项式的计算方法进行计算，再合并同类项计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
49. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式和运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与单项式的除法法则和平方差公式计算，再去括号合并同类项．
【详解】解：
．
50. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可，熟练掌握有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
51. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据完全平方公式、平方差公式和积的乘方、单项式除以单项式计算即可．
【详解】解：
．
52. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【解析】
【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算括号内单项式除以单项式和括号外积的乘方，然后计算单项式乘以多项式，然后利用平方和绝对值的非负性求出x，y的值，然后将x，y的值代入化简后的式子中即可求解．
【详解】
∵
∴，
∴，
∴原式．
53.化简求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项化简，再计算多项式除以单项式得到最终化简的结果，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
54.先化简，再求值：，其中．
【答案】．
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，
先根据完全平方公式和平方差公式展开，再根据整式的加减法计算，然后代入求值即可．
【详解】解：原式
．
当时，
原式．
55.先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式，多项式除以单项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：
，
把，代入得：原式．
56.先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，再求解，，代入计算即可.
【详解】解：
；
∵．
∴，．
∴，，
∴原式．
考点08：新定义问题
57．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若运算的结果为810，则t的值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据新定义进行计算，得出，将已知式子的值代入进行计算即可求解；
（3）根据新定义，列出方程，根据同底数幂的以及幂的乘方运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：当，，时，
；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【点睛】本题考查了幂的乘法与同底数幂的乘法，理解新定义，掌握幂的乘法与同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
58．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【答案】(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)证明见解析
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
（4）设，，
则，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
59.规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，且，求的值．
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：3；
（2）解：∵，，且，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴ ．
故答案为：3．
60.如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)_____；若，则_____；
(2)已知，，，若，则的值是_____；
(3)若，．
①求的值；
②求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案；
（3）①根据新定义得到，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此再进一步计算即可．②由，可得，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：4；；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，
∴
．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵
．
考点09：综合提升
61. 如图，农场打算把一块正方形空地分割成4块方形田地，并计划在两块边长分别为a、b的正方形空地上种树（图中的阴影部分）和，用作鱼塘的两块长方形的面积之和记作．
（1）根据题意填空：
① （用含字母a、b的代数式表示）；
②比较与的大小： ；
（2）如果，且平方米，求这块正方形空地的面积．
【答案】（1）①；②
（2）1024平方米．
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算以及代数式大小比较的知识点，解题的关键是根据图形准确表示出各部分面积，并熟练运用整式运算法则进行计算和比较。
（1）①根据图形中长方形面积公式，找到鱼塘两块长方形的长和宽，从而得出的代数式；②将与作差，通过完全平方公式判断差的正负，进而比较大小。
（2）根据已知条件得到化简求得，再根据平方米，求解出a, b的值，再计算正方形空地的面积。
【小问1详解】
①．
故答案为：．
②
故答案为：．
【小问2详解】
由，得，即
将的两边同时除以，得
分解因式，得，
解得（舍去）或，
∴这块正方形空地的面积为
平方米
62．现有若干个长与宽分别为，的小长方形，用这样的两个小长方形，拼成如图1所示的图形，用这样的四个小长方形拼成如图2所示的图形．
(1)请认真观察图形，通过图形面积割补的方法，写出图1和图2所蕴含的关于，的关系式．（用含有，的式子表示）
图1表示：________；
图2表示：________；
(2)根据上面的思路与方法，解决下列问题：
①若，，求的值；
②如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形，设，正方形，正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)，
(2)①12；②．
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
（1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为，正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（2）①将根据完全平方公式用含有，的式子表示出来，然后代入求值即可．
②根据，，，，可以利用代入求值即可．
【详解】（1）解：图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：；
（2）①解：，
，，
；
②解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
阴影．
即图中阴影部分的面积为．
63.【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______．
【应用】根据图②所得的公式，若，，则______．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．
【答案】类比探究：；应用：90；拓展：12
【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
类比探究：由题意知，；
应用：将，代入，计算求解即可；
拓展：由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可．
【详解】类比探究：由题意知，，
故答案为：；
应用：，
故答案为：90；
拓展：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得，，
∴种草区域的面积和为，
∴种草区域的面积和为12．
64.用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）．
(1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值．
(2)如图2，若的长度为，的长度为．
①当______，______时，，的值有无数组；
②当______，______时，，的值不存在．
【答案】(1)
(2)①4，12；②，
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的边长与、之间的关系是关键．讨论方程组的解情况是本题的难点．
（1）由图1中空白部分面积大长方形面积阴影部分面积个小长方形面积，可得，再结合完全平方公式可得，即可得；
（2）由长方形的长和宽可列出关于、的方程组，解关于、即可解答．
【详解】（1）解：由图可知：，，
，，
，
（负值舍去）；
（2）解：①，
，的值有无数组；
，，
，；
②，
，的值不存在．
，，
，；
故答案为：4，12；，．

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