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2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
期末复习满分冲刺讲义（提高篇）
考点01：整式的概念
考点02：整式的加减
考点03：整式的乘法
考点04：乘法公式
考点05：整式的除法
考点06：因式分解
考点07：分式的意义及其性质
考点08：分式的运算
考点09：分式方程
考点10：图形的平移与旋转
考点11：轴对称与中心对称
考点12：综合压轴
考点01：整式的概念
1. 单项式 系数是________，
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 的系数是； B. 是单项式；
C. 整式的一次项系数是3； D. 的次数为2．
3．下列说法正确的是（　　）
A．的系数是2，次数是7 B．若的次数是5，则m＝5
C．0不是单项式 D．若是单项式，则m＝0或x＝0
4. 已知和是同类项，则的值是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
5. 将整式按字母降幂排列，结果为________．
考点02：整式的加减
6．下列去括号或添括号：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知一个整式与的和等于，则这个整式是（　　）
A． B． C． D．
8.计算：
(1)；
(2)．
9．如果代数式的值与字母x所取的值无关，试求代数式的值．
10.先化简，再求值：其中，．
考点03：整式的乘法
11. 下列运算中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
12. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
13.数学课上，老师讲了单项式乘以整式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（ ）
A． B． C． D．1
14．若，则m的值为（ ）．
A． B．4 C． D．10
15. 计算：______．
16.计算：_______．
17.已知，，，则，，的大小关系是 ．
18.若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为___
19.计算：．
20.计算
(1)；
(2)．
21.计算：
(1)；
(2)．
考点04：乘法公式
22．下列各式中能用平方差公式的计算的是（　　）
A． B．
C． D．
23．若，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
24．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25. 如果是一个完全平方式，那么的值是____．
26．如图，两个正方形的边长分别为，已知，．则图中阴影部分的面积为 ．
27．先化简，再求值：，其中．
考点05：整式的除法
28. 计算： ________．
29. 计算：______．
30．先化简再求值：求代数式的值，其中．
考点06：因式分解
31. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
32. 一个整式可因式分解为，那么这个整式是______．
33. 已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为_____．
34. 因式分解：_______．
35. 因式分解：
36. 因式分解：
37. 因式分解：
38. 因式分解：．
考点07：分式的意义及其性质
39. 当______时，分式无意义．
40. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
A B. C. D.
41. 下列约分结果正确的是（　　）
A. B.
C. D.
42. 下列分式中是最简分式的为（ ）
A. B. C. D.
43. 如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍
C. 扩大为原来的2倍 D. 缩小为原来的
考点08：分式的运算
44. 将分式表示成不含有分母的形式：______．
45. 计算：___________．
46. 若，则______．
47. 化简：．
48. 化简：并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值．
49. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝4．
50. 先化简，再解答下列问题：
（1）当时，求代数式的值．
（2）原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由．
考点09：分式方程
51. 下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
52. 若解分式方程产生增根，则k的值为________．
53. 解方程：
54. 解方程：．
55. 进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用11天时间完成5400米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“是的，我们加固1200米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”根据对话，求该驻军原来每天加固河堤多少米？
56. 某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？
57. 2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？
58. 某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．
59. 今年，我市某学校举办了为贫困生捐赠书包活动.该学校用2000元在某商店购进一批学生书包，随后发现书包数量不够，于是又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批的3倍，每个书包比第一批购买时贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）该学校第一批购进的学生书包每个多少元？
（2）如果该商店第一批、第二批学生书包每个的进价分别是68元、70元，售给该学校的这些学生书包，该商店盈利多少元？
考点10：图形的平移与旋转
60.如图所示，把直角梯形沿方向平移到梯形，，，，则阴影部分的面积为 cm2．

61. 如图，将周长为17的沿平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是________．
62. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么________°．
63. 如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到．
（1）当点与点重合时，线段的长度为______；（直接写出答案）
（2）设，用含和的代数式表示的面积．
64. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则_________．
65. 在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
（1）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形；
（2）画出三角形关于点D成中心对称三角形；
（3）三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
考点11：轴对称与中心对称
66. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
67. 平行四边形、等边三角形、正方形、圆、长方形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的个数有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
68. 如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为______．
69. 如图，点、分别在三角形的边、上，把三角形沿直线翻折后得三角形．如果，那么的度数为_______．
70. 在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的；
（2）如果点A与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心点O，并画出关于点O成中心对称的；
（3）画出关于直线l成轴对称的图形．
71. 如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形
（1）在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形；
（2）在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写）
考点12：综合压轴
72.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
73.阅读理解：
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？
设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=．
（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；
（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．
74.如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在处，顶点D落在处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边与边重合，若，求_______，_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边落在内部，若，设，，求与之间的数量关系，并直接写出，的取值范围．
75.如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”（本题中所有角都是大于且小于的角）
图1 图2 图3
（1）若和互为“互优角”，当时，则________；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着对折，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，则的度数为________；
（3）再将纸片沿着对折（点在线段或上），使点落在．
①如图2，若点，，在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数（对折时，线段落在内部）；
②若与互为“互优角”，则与应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
期末复习满分冲刺讲义（提高篇）
考点01：整式的概念
考点02：整式的加减
考点03：整式的乘法
考点04：乘法公式
考点05：整式的除法
考点06：因式分解
考点07：分式的意义及其性质
考点08：分式的运算
考点09：分式方程
考点10：图形的平移与旋转
考点11：轴对称与中心对称
考点12：综合压轴
考点01：整式的概念
1. 单项式 系数是________，
【答案】
【解析】
【分析】利用单项式系数的定义求解即可．
【详解】单项式的系数是．
故答案为．
【点睛】本题考查了单项式的定义，解题的关键是熟记单项式系数的定义．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 的系数是； B. 是单项式；
C. 整式的一次项系数是3； D. 的次数为2．
【答案】D
【解析】
【分析】利用整式次数与项数定义以及单项式的次数与系数定义分别判断即可．
【详解】解：A、单项式的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、不是整式，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、整式的一次项系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、的次数为2，原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了整式，单项式，熟练掌握整式和单项式的相关定义是解本题的关键．
3．下列说法正确的是（　　）
A．的系数是2，次数是7 B．若的次数是5，则m＝5
C．0不是单项式 D．若是单项式，则m＝0或x＝0
【答案】D
【分析】根据单项式及其系数、次数的定义判断即可；
【解析】解：A．的系数是，次数是4，故此选项不合题意；
B．若的次数是5，则m＝3，故此选项不合题意；
C．0是单项式，故此选项不合题意；
D．若是单项式，则m＝0或x＝0，故此选项符合题意．
故选：D．
4. 已知和是同类项，则的值是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由和是同类项，可知相同字母的指数相同，据此列式求出和的值，然后代入计算即可.
【详解】由题意得，
3m=6，n=2，
∴m=2，
∴
故选A.
【点睛】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键,所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，根据相同字母的指数相同列方程（或方程组）求解即可.
5. 将整式按字母降幂排列，结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的降幂排列的定义，掌握降幂排列的定义是关键．
根据降幂排列的定义，我们把整式的各项按照的指数从大到小的顺序排列起来即可．
【详解】解：整式按字母降幂排列是．
故答案为：．
考点02：整式的加减
6．下列去括号或添括号：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据添括号和去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】解：①，故本选项正确；
②，故本选项错误；
③，故本选项错误；
④，故本选项正确；
其中正确的有①④；
故选：B．
【点睛】本题考查的是去括号和添括号，添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号内的各项都不改变符号，若括号前是“—”，添括号后，括号内的各项都改变符号；去括号时，若括号前是“+”，去括号后，括号内的各项都不改变符号，若括号前是“—”，去括号后，括号内的各项都改变符号．
7．已知一个整式与的和等于，则这个整式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的加减运算互逆的关系即可得．
【解析】解：由题意得：这个整式是：
，
故选：A．
8.计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数加减运算法则成为解题的关键．
（1）先去括号、然后合并同类项即可解答；
（2）先去括号、然后合并同类项即可解答．
【详解】（1）解：；
．
（2）解：．
=
=．
9．如果代数式的值与字母x所取的值无关，试求代数式的值．
【答案】
【分析】去括号后合并得出，根据已知得出2-2b=0，a+3=0，求出b=1，a=-3，把求值的代数式整理后代入求出即可．
【解析】解：
=
=，
∵代数式的值与字母x所取的值无关，
∴2-2b=0，a+3=0，
b=1，a=-3，
∴
=
=
=
=
=．
10.先化简，再求值：其中，．
【答案】，．
【分析】本题考查的知识点是整式的加减—化简求值、含乘方的有理数混合运算，解题关键是熟练掌握合并同类项．
去括号，合并同类项把所求式子化简，再将，的值代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
将，代入可得原式．
考点03：整式的乘法
11. 下列运算中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法等知识，根据运算法则计算后即可得到答案．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意．
故选：B
12. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
13.数学课上，老师讲了单项式乘以整式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是单项式乘整式，熟知单项式与整式相乘就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键．
根据题意列出算式，然后化简求解即可．
【详解】解：∵
∴
．
故选：A．
14．若，则m的值为（ ）．
A． B．4 C． D．10
【答案】B
【分析】本题整式乘以整式法则，把展开得，得出，即可得m的值．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
15. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方计算即可；
【详解】解：原式=
故答案为： ．
16.计算：_______．
【答案】25
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：25．
17.已知，，，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方运算对各式变形，变成底数相同的形式．
根据幂的乘方的逆运算变形得到，，进而比较求解即可．
【详解】解：∵，，，
∵
∴
∴．
故答案为：．
18.若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为___
【分析】利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解．
【详解】解：
，
结果中不含有项，
，
解得 ，
【点睛】本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则．
19.计算：．
【答案】
【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键．
先进行积的乘方，幂的乘方运算，同底数幂乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：
．
20.计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查幂的运算：
（1）原式先计算同底数幂的乘法和积的乘方与幂的乘方，然后再合并即可；
（2）原式先把变形为，然后根据同底数乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
21.计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．
（1）根据积的乘方运算法则和平方差公式进行计算即可；
（2）根据整式乘整式运算法则，整式除以单项式运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
考点04：乘法公式
22．下列各式中能用平方差公式的计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两个数的和乘以这两个数的差的标准去判断解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：A. ，式子中有四个不同的数，不符合公式要求的只有两个相同的数，不符合题意；
B. ，都是差，没有两个数的和，不符合题意；
C. ，符合要求；
D. 都是两个数的和的形式，不符合要求；
故选：C．
23．若，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式的展开和方程组的方法，代数式求值，熟练掌握解方程组的方法是关键．
先用完全平方公式展开，再用方程组的方法解出，代入原式即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
故选:C．
24．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
得：，
∴，
故选：．
25. 如果是一个完全平方式，那么的值是____．
【答案】4或
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征判断即可确定出的值．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
解得：或4．
故答案为：或4．
26．如图，两个正方形的边长分别为，已知，．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据代入计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
．
故答案为：．
27．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先利用平方差公式和整式乘整式法则化简整式，再将代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式
.
；.
当时
．
考点05：整式的除法
28. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法以及幂的乘方等知识点，解题的关键是准确掌握并运用幂的运算法则．
先根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算整个式子．
【详解】
故答案为：．
29. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式除以单项式，
根据整式除以单项式，用整式的每一项除以单项式，再把所得的结果相加，计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
30．先化简再求值：求代数式的值，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根据完全平方公式，整式乘以整式计算括号内的，然后计算单项式除以单项式，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
考点06：因式分解
31. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解的意义，把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A. ，原选项不是因式分解，则A不符合题意；
B. 是乘法运算，则B不符合题意；
C. 符合因式分解的定义，则C符合题意；
D. 等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：C．
32. 一个整式可因式分解为，那么这个整式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解和整式乘整式，根据整式乘整式的法则计算即可得出答案．
【详解】解：
，
所以这个整式是，
故答案为：．
33. 已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可．
【详解】解：由题意可得，
则，，
∵m、p，q都为整数，
∴，或，，
则或，
故答案为：．
34. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，原式后三项结合后写成完全平方，然后再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
35. 因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取负号，然后根据十字相乘法因式分解即可．
【详解】解∶原式
故答案为∶．
36. 因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先根据完全平方公式进行因式分解，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解∶原式
37. 因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
．
38. 因式分解：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可．
【详解】解：原式
考点07：分式的意义及其性质
39. 当______时，分式无意义．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式无意义的条件，先根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，
解得．
故答案为：．
40. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由表格可知，当时分式无意义，
∴不合题意；
∵当时，分式的值为，
∴不符合题意，符合题意，
故选：．
41. 下列约分结果正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了约分，约去分式分子与分母的公因式即可，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是整式的，必须先分解因式．
【详解】解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意．
B、，不符合题意．
C、，符合题意．
D、，不符合题意．
故选：C．
42. 下列分式中是最简分式的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简分式，分式的化简过程，理解最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意；
B、，故原式不是最简分式，不符合题意；
C、，故原式是最简分式，符合题意；
D、，故原式不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
43. 如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍
C. 扩大为原来的2倍 D. 缩小为原来的
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；
先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可．
【详解】解：将和都扩大为原来的2倍，得，
故分式值缩小为原来的，
故选：A．
考点08：分式的运算
44. 将分式表示成不含有分母的形式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的意义进行变形即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
45. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的乘方；
根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，结合分式的乘方法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
46. 若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
47. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，加减乘除混合运算，解题的关键是先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行约分计算．
先对括号内式子通分计算，再把除法运算转变为乘法运算，最后约分化简．
【详解】原式
48. 化简：并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值．
【答案】；当时，值为25，当时，值为
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的利用分配律进行简便运算是解本题的关键，
先把能够分解因式的地方分解因式，再利用分配律计算乘法，再合并即可，然后从选取一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答．
【详解】解：原式
，
∵当是，分式无意义，
∴x可以取2和，
当时，原式；
当时，原式．
49. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝4．
【答案】原式，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
50. 先化简，再解答下列问题：
（1）当时，求代数式的值．
（2）原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）能，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可；
（2）令原代数式的值等于，求出a的值，代入原式进行检验即可．
【小问1详解】
解：
，
当时，原式；
【小问2详解】
解：能，
由（1）知，原代数式为，
令，
解得，
经检验，符合题意．
考点09：分式方程
51. 下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案．
【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程，
故选：A．
52. 若解分式方程产生增根，则k的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
x的系数化为1，得，
∵分式方程产生增根，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
53. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后再进行检验，进而得出答案．
【详解】解：，
在方程两边同乘以，得：
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原分式方程的解．
54. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，最后注意验根，即可作答．
【详解】解：
经检验：是原分式方程的解
55. 进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用11天时间完成5400米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“是的，我们加固1200米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”根据对话，求该驻军原来每天加固河堤多少米？
【答案】该地驻军原来每天加固米
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．设该地驻军原来每天加固米，根据“用11天完成米长的大坝加固任务”，列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设该地驻军原来每天加固米，根据题意，得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，符合题意．
答：该地驻军原来每天加固米．
56. 某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？
【答案】实际每天修建144米
【解析】
【分析】设原计划每天修路x米，实际每天修路米，根据题意可得等量关系：原计划修米所用的天数实际修米所用的天数天，根据等量关系，列出方程即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意不要忘记检验．
【详解】设原计划一天修建x米，实际一天修建为
解得：
经检验为原方程的根
实际每天修建：米
答：实际每天修建144米
57. 2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？
【答案】A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，利用“用1300元购买的A款套装数量比用3000元购买的B款套装数量少20套”再建立方程求解即可．
【详解】解∶ 设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是该分式方程的解，
∴，
答∶ A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元．
58. 某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．
【答案】原计划每天铺设管道9米．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间+铺设的时间天，列方程求解即可．
详解】解：原计划每天铺设管道x米；
列方程：，
解得，
经检验 是原方程的解且符合题意；
答：原计划每天铺设管道9 米．
59. 今年，我市某学校举办了为贫困生捐赠书包活动.该学校用2000元在某商店购进一批学生书包，随后发现书包数量不够，于是又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批的3倍，每个书包比第一批购买时贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）该学校第一批购进的学生书包每个多少元？
（2）如果该商店第一批、第二批学生书包每个的进价分别是68元、70元，售给该学校的这些学生书包，该商店盈利多少元？
【答案】（1）该学校第一批购进的学生书包每个80元
（2）该商店共盈利元
【解析】
【分析】（1）设该学校第一批购进的学生书包每个元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）结合题意，利用有理数四则混合运算列式计算即可．
【小问1详解】
解：设该学校第一批购进的学生书包每个元，根据题意列方程：
解得
经检验是原分式方程的解
答：该学校第一批购进的学生书包每个80元.
【小问2详解】
第一批书包数量：.
第二批书包售价为80+4=84元，
第二批书包数量：
该商店共盈利：（元）
或（元）．
【点睛】题目主要考查分式方程及有理数混合运算的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键．
考点10：图形的平移与旋转
60.如图所示，把直角梯形沿方向平移到梯形，，，，则阴影部分的面积为 cm2．

【答案】42
【分析】根据平移的性质得，则，由于，所以，然后根据梯形的面积公式计算．
【详解】解：直角梯形沿方向平移到梯形，
，
，
，
．
故答案为：42．
【点睛】本题考查了直角梯形，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
61. 如图，将周长为17的沿平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质． 由平移可知四边形的周长，根据平移可知．再进一步求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
则
；
故答案为．
62. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得出，求出，即可得出结果．
【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到，
又，
故答案为：．
63. 如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到．
（1）当点与点重合时，线段的长度为______；（直接写出答案）
（2）设，用含和的代数式表示的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：∵将绕点D顺时针旋转得到，
∴，
∵点E与点B重合，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵将绕点D顺时针旋转得到，
∴，，
∴的面积．
64. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则_________．
【答案】50
【解析】
【分析】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一）．
过点A作于F，先根据旋转的性质得，由三角形的外角定理得，进而可求出，然后根据等腰三角形的性质得，据此可求出旋转角的度数．
【详解】解：过点A作于F，
根据旋转的性质得：旋转角为，
，
，
，
，
，
，
．
．
故答案为：50．
65. 在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
（1）如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形；
（2）画出三角形关于点D成中心对称三角形；
（3）三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）是，画图见详解
【解析】
【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；
（2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得；
（3）连接两组对应点即可得．
【小问1详解】
如图所示，即为所求．
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
【小问3详解】
如图所示，与是关于点成中心对称，
故答案为：是．
考点11：轴对称与中心对称
66. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．根据概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
67. 平行四边形、等边三角形、正方形、圆、长方形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的个数有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
正方形、长方形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：A．
68. 如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，
先根据折叠的性质得，再根据正方形的性质得，即可得出答案．
【详解】解：根据折叠的性质得．
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
故答案为：．
69. 如图，点、分别在三角形的边、上，把三角形沿直线翻折后得三角形．如果，那么的度数为_______．
【答案】##20度
【解析】
【分析】本题考查折叠性质，熟练掌握折叠的性质是解答的关键．由折叠性质得，先根据已知求得，进而根据平角定义求解即可．
【详解】解：由折叠性质得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
70. 在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的；
（2）如果点A与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心点O，并画出关于点O成中心对称的；
（3）画出关于直线l成轴对称的图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画平移图形，画中心对称图形和画轴对称图形：
（1）根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接即可；
（2）由中心对称图形的性质可得O是的中点，据此确定点O的位置，再连接并延长到使得，同理作出 ，再顺次连接；
（3）根据轴对称图形的特点，找到A、B、C对应点的位置，描出并顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，点O和即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，即为所求．
71. 如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形
（1）在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形；
（2）在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出图形即可；
（2）结合网格的特点，画出与三角形成轴对称的其它格点三角形和相应的对称轴即可．
【小问1详解】
解：如图所示，三角形关于直线l成轴对称的三角形即为所求：
【小问2详解】
解：如图所示，格点三角形和对称轴即为所求：
或或或
（答案不唯一，言之成理即可）
考点12：综合压轴
72.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）②；（2）；（3），当时，该式的值为整数
【分析】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
（2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式；
（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
【详解】解：（1）①；②；③；④；
∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；
故答案为：②；
（2）原式；
（3）原式
；
根据题意得：原式；
当原式的值为整数时，应该是2的因数，
∴或或或
解得：或或或，
∵且且且，
∴当时，该式的值为整数．
【点睛】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”．解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．
73.阅读理解：
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？
设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=．
（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；
（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．
【答案】（1），；（2）．
【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.
【详解】解：(1)∵，
∴，
解得：.
(2)设分式=
将等式的右边通分得：=，
由=，
得，
解得.
所以=.
74.如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在处，顶点D落在处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边与边重合，若，求_______，_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边落在内部，若，设，，求与之间的数量关系，并直接写出，的取值范围．
【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°
【分析】（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=∠A′BD=60°；
（2）由折叠的性质得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的关系，再结合BD在∠1内部，可得各自的范围．
【详解】解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，
∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
∴∠2=∠DBE=∠A′BD=60°，
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（2）由折叠的性质可得：
∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，
∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，
∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，
∴2β-α=100°，
∴α=2β-100°，
∵BD在∠1内部，
∴0°＜α＜40°，
∴0°＜2β-100°＜40°，
∴50°＜β＜70°．
【点睛】本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题.
75.如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”（本题中所有角都是大于且小于的角）
图1 图2 图3
（1）若和互为“互优角”，当时，则________；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着对折，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，则的度数为________；
（3）再将纸片沿着对折（点在线段或上），使点落在．
①如图2，若点，，在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数（对折时，线段落在内部）；
②若与互为“互优角”，则与应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
【答案】（1）30°或150°；（2）40°或80°；（3）①∠EPF=80°；②∠BPE+∠CPF的度数为60°或100°或140°．
【分析】（1）按照“互优角”的定义写出式子，解方程即求出∠2；
（2）由∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°=180°即可求；
（3）①由∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC=180°，即可求；
②分三种情况讨论，根据折叠的性质以及平角的性质即可求．
【详解】解：（1）∵∠1和∠2互为“互优角”，∠1=90°，
∴|∠1-∠2|=60°，
∴90°-∠2=60°或90°-∠2=-60°，
解得：∠2=30°或150°，
故答案为：30°或150°；
（2）∵∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”，
当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC-∠EPB′=60°，
∴∠B′PC=∠EPB′+60°，
∵△BEP翻折得△B'EP，
∴∠EPB=∠EPB'，
∵∠EPB+∠EPB'+∠B′PC=180°，
∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°=180°，
解得：∠EPB′=40°；
当∠EPB′＞∠B′PC时，∠EPB′-∠B′PC=60°，
同理可得∠EPB′=80°．
综上所述，∠EPB的值为40°或80°；
故答案为：40°或80°；
（3）①∵点E、C′、P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∵对折时，线段落在内部
∴∠B′PC′＜∠EPF，∠EPF-∠B′PC′=60°=∠B′PF，
∵∠BPE=∠B′PE=∠EPF-60°，∠FPC=∠EPF，
∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC=180°，
∴∠EPF-60°+∠EPF+∠EPF=180°，
解得∠EPF=80°；
②当点F在边CD上时，如图：
显然∠EPF>∠B′PC′，
∵∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠EPF-∠B′P′C=60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2+∠B′P′C，
∴∠EPF-∠B′P′C=∠1+∠2+∠B′P′C-∠B′P′C=∠1+∠2=60°，
即∠BPE+∠CPF=60°；
当点F在边AD上，且当∠EPF>∠B′PC′时，如图：
∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠EPF-∠B′P′C =60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2-∠B′P′C，
∴∠EPF-∠B′P′C =∠1+∠2-2∠B′P′C =60°，
∠1+∠EPF+∠2=∠1+∠1+∠2-∠B′P′C+∠2=2(∠1+∠2) -∠B′P′C=180°，
解得：∠1+∠2=100°，
即∠BPE+∠CPF=100°；
当点F在边AD上，且当∠EPF<∠B′PC′时，如图：
∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠B′P′C-∠EPF =60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2-∠B′P′C，
∴∠B′P′C-∠EPF =∠1+∠2-2∠EPF =60°，
∠1+∠EPF+∠2=180°，
解得：∠1+∠2=140°，
即∠BPE+∠CPF=140°；
故∠BPE+∠CPF的度数为60°或100°或140°．
【点睛】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

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