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17.1三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三点用线段两两连接而成的图形叫作三角形.
2.三角形的三边关系
①公理 三角形任意两边的和大于第三边.
此公理也称为“三角不等式”,其确切意思是：如果三角形的三条边长分别是a、b、c,那么它们必定满足“三角不等式”,即a+b>c、b+c>a、c+a>b，利用不等式的性质，由上述公理可以推出：
②推论 三角形任意两边的差小于第三边.
如果三条线段的长度不满足“三角不等式”,那么它们不能组成一个三角形；如果三条线段的长度满足“三角不等式”,那么它们可以组成一个三角形.
③已知两边求第三边的取值范围：三角形任何一边大于另外两边之差，小于另外两边之和.
④三角形具有稳定性
3.三角形的分类
按角分 按边分
4.三角形的有关线段
（1）三角形的中线
①定义：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线；
AD为中线
①重心：三角形三条中线的交点，三角形的重心一定在三角形内部；
②应用：等底等高的三角形面积相等 AD为中线BD=DC=
（2）三角形的高
①定义：从三角形的一个顶点向对边（所在的直线）画垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高；
②探究不同三角形高的位置
锐角三角形的高都在三角形的内部；
直角三角形有两条高与两条直角边重合；
钝角三角形有两条高在三角形外部。
③根据高的位置分类讨论求角的度数
④利用等积法计算
（3）三角形的角平分线
①定义：三角形的一个内角的平分线和这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线；
②内心：三角形的三条角平分线交于同一点，这个点叫作三角形的内心.
【题型1】判定三条线段能否组成三角形
例1（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4
变式1（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ．
【题型2】已知三角形的两边长求第三边的取值范围
例2（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，，则长度的取值范围是 ．
变式1（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ．
变式2（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ．
【题型3】三角形的概念辨析
例3（22-23七年级下·上海浦东新·月考）下列分类正确的是（ ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
变式1（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
变式2（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型4】三角形有关线段的作图题
例4（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)点到直线的距离是线段_______的长度；
(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
变式1（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空．
(1)画出的边上的高；
(2)过点D画，直线交边于点F；
(3)点A到直线的距离是线段________的长度；
(4)写出图形中面积相等的两个三角形：________．
变式2（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画边上的高；
(2)点到直线的距离是线段______的长度；
(3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．
(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______．
【题型5】有关面积的问题
例5（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是 ．

变式1（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于 ．
变式2（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是
1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9
2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（ ）
A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米
3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）

A．1 B．4 C．7 D．8
4．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6.（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（ ）
A．正 B．负 C．零 D．不能判断
7.(24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是_____

8．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ．
9．（2025·贵州·期末真题）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
10．（25-26八年级上·天津河北·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
11．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
12.（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点画的垂线，垂足为；
(3)过点画的平行线，交于点；
(4)点到直线的距离是线段___________的长度．
13．（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知 的面积是 30，请完成下列问题∶
(1)如图 1， 是 的中线，则 _____ (填“>”、“<”或“=”)
(2)如图 2 ，若 、 分别是 的中线，求四边形 的面积可以用如下方法∶
连接 ，由 得 ，同理，可得 ．
设 ，则 ．
由题意得
可列方程组 ，解得_____；
通过解这个方程组可得四边形 的面积为_____；
(3)如图3， ， ，请直接写出四边形 的面积∶_____．
14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点．
(1)若的周长为．求的周长；
(2)在（1）的情况下，若，求点到的距离．
15.（24-25七年级下·上海·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程．
证明：如图2，过点作于点．
为边上的中线，
① ．
，② ，
．
(1)请将小明横线处的证明过程补充完整．
(2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程．
(3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______．17.1三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三点用线段两两连接组成的图形叫作三角形.
2.三角形的三边关系
①公理 三角形任意两边的和大于第三边.
此公理也称为“三角不等式”,其确切意思是：如果三角形的三条边长分别是a、b、c,那么它们必定满足“三角不等式”,即a+b>c、b+c>a、c+a>b，利用不等式的性质，由上述公理可以推出：
②推论 三角形任意两边的差小于第三边.
如果三条线段的长度不满足“三角不等式”,那么它们不能组成一个三角形；如果三条线段的长度满足“三角不等式”,那么它们可以组成一个三角形.
③已知两边求第三边的取值范围：三角形任何一边大于另外两边之差，小于另外两边之和.
a-c④三角形具有稳定性
3.三角形的分类
按角分 按边分
4.三角形的有关线段
（1）三角形的中线
①定义：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线；
AD为中线
①重心：三角形三条中线的交点，三角形的重心一定在三角形内部；
②应用：等底等高的三角形面积相等 AD为中线BD=DC=
（2）三角形的高
①定义：从三角形的一个顶点向对边（所在的直线）画垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的高；
②探究不同三角形高的位置
锐角三角形的高都在三角形的内部；
直角三角形有两条高与两条直角边重合；
钝角三角形有两条高在三角形外部。
③根据高的位置分类讨论求角的度数
④利用等积法计算
（3）三角形的角平分线
①定义：三角形的一个内角的平分线和这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线；
②内心：三角形的三条角平分线交于同一点，这个点叫作三角形的内心.
【题型1】判定三条线段能否组成三角形
例1（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．判断时只需验证较短两边的和是否大于最长边即可．
【详解】解：A. 1，2，1：较短边之和，等于最长边2，不能组成三角形．
B. 2，7，8：较短边之和，满足条件，能组成三角形．
C. 4，6，11：较短边之和，不能组成三角形．
D. 1.5，2.5，4：较短边之和，等于最长边4，不能组成三角形．
故选B．
变式1（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：共有以下4种取法：
、、；、、；、、；、、．
，不能构成三角形，
，不能构成三角形，
，不能构成三角形，
，能构成三角形，
∴能构成的三角形的个数是1个．
故选：A．
变式2（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可．
【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：．
【题型2】已知三角形的两边长求第三边的取值范围
例2（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，，则长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，即，
故答案为：．
变式1（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
即．
故答案为：．
变式2（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设第三边的长为，
则，即，
∵是“倍长三角形”，则：
①若，则（不符合题意，舍去）；
②若，则；
③若，则；
④若，则（不符合题意，舍去）；
综上所述，第三条边的长为或．
故答案为：或．
【题型3】三角形的概念辨析
例3（22-23七年级下·上海浦东新·月考）下列分类正确的是（ ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的分类即可求解．
【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.
变式1（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的识别．
根据，结合钝角三角形的定义即可判断．
【详解】解：∵，
∴是钝角三角形．
故选：C．
变式2（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意；
②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意；
③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意；
④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意；
⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意；
综上，正确的有②，共1个，
故选：A．
【题型4】三角形有关线段的作图题
例4（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)点到直线的距离是线段_______的长度；
(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)；
(4)，；
【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离．
过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高；
过点作线段，垂足为点，线段即为所求；
点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度；
因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离．
【详解】（1）解：如下图所示，
线段即为边上的高；
（2）解：如下图所示，
（3）解：点到直线的距离是线段的长度，
故答案为：；
（4）解：线段的长度表示点到直线的距离，
故答案为：，；
变式1（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空．
(1)画出的边上的高；
(2)过点D画，直线交边于点F；
(3)点A到直线的距离是线段________的长度；
(4)写出图形中面积相等的两个三角形：________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)和
【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）过点C作交延长线于点E，则即为所求；
（2）根据垂线的画法画图即可；
（3）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（4）根据线段中点的意义得到，在由三角形面积公式得到．
【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求：
（2）解：如图，直线即为所求：
（3）解：∵，
∴点A到直线的距离是线段的长度，
故答案为：；
（4）解：∵点D是边的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴图形中面积相等的两个三角形是：和，
故答案为：和．
变式2（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题：
(1)画边上的高；
(2)点到直线的距离是线段______的长度；
(3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．
(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)中线
(4)30
【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角形的高的定义画图即可；
（2）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（3）由题意可得，则线段是的中线；
（4）由题意可得，则进而可得， ， 则
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：点到直线的距离是线段的长度，
故答案为：；
（3）解：如图，
∴线段是的中线，
故答案为：中线；
（4）解：，
，
故答案为：．
【题型5】有关面积的问题
例5（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是 ．

【答案】4
【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴，，，，
，
∵，
∴，
故答案为：．
变式1（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形中线的性质易求，进而求出，同理得到，即可求解．
【详解】解：连接，
∵是中边上的中线，的面积是8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
变式2（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是
【答案】
【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，，，从而求出，即可得解．
【详解】解：∵，的面积为2，
∴，
∵、分别为、的中点，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9
【答案】D
【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可．
【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形；
C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形；
D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形．
故选D．
2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（ ）
A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的边角关系，
根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度．
【详解】解：
在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米，
所以只有D选项5.4厘米满足此条件．
故选：D．
3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）

A．1 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【分析】直接利用数轴得出三角形的两边长，进而得出第三边取值范围，进而得出答案．
【详解】解：由数轴可得：A到原点距离为3，B到原点距离为4，
∵数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，
∴设该三角形第三边长为x,则x的取值范围是：，
∴该三角形第三边长可能是4．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系，注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
又∵c为最长边
，
故选：C．
5．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可．
【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求；
三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误，
故选：D．
6.（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（ ）
A．正 B．负 C．零 D．不能判断
【答案】B
【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】解：
，
因为为三角形三边长，所以，，
所以原式小于零．
故选：B．
7.(24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是_____

【分析】本题考查了与三角形面积有关的计算，由得出，，求出，再由计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可求出应满足的条件．
【详解】解：由三角形三边关系定理得到：，
．
故答案为：．
9．（2025·贵州·期末真题）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在；
当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·天津河北·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的运用；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．
分顶角为锐角和钝角两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及互补关系求解。
【详解】解：当高在内部时，顶角；当高在外部时，得到顶角的外角，则顶角．
故答案为：或．
11．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）．
【答案】 3 5 7 13 /
【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键．
（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可；
（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可．
【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，；
图③有5个三角形，；
图④有7个三角形，；
∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形．
故答案为：3，5，7，13，．
12.（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点画的垂线，垂足为；
(3)过点画的平行线，交于点；
(4)点到直线的距离是线段___________的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）过点C作交延长线于D，则即为所求；
（2）根据垂线的画法画图即可；
（3）根据平行线的画法画图即可；
（4）可证明，再根据点到直线的距离的定义求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：∵，
∴，
∴点到直线的距离是线段的长度．
13．（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知 的面积是 30，请完成下列问题∶
(1)如图 1， 是 的中线，则 _____ (填“>”、“<”或“=”)
(2)如图 2 ，若 、 分别是 的中线，求四边形 的面积可以用如下方法∶
连接 ，由 得 ，同理，可得 ．
设 ，则 ．
由题意得
可列方程组 ，解得_____；
通过解这个方程组可得四边形 的面积为_____；
(3)如图3， ， ，请直接写出四边形 的面积∶_____．
【答案】(1)=
(2)，
(3)
【分析】主要考查了等底同高的三角形面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比，二元一次方程组的解法．准确理解题干中的方法并正确应用是解题的关键．
（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论；
（2）解方程组求解即可，四边形 的面积为；
（3）利用（2）中的方法，设，，则，，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）解：过点作于点，如图1，
是的边上的中线，
．
，，
．
故答案为：；
（2）解：．
解得：，
四边形的面积为：．
故答案为：，；
（3）解：∵ ， ，
∴设，，则，，
∵，
，
∵，
，，
可列方程组：，
解得：．
．
14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点．
(1)若的周长为．求的周长；
(2)在（1）的情况下，若，求点到的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线和高线．
（1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：是的中点
．
（2）解：过作于，如图：
点到的距离为．
15.（24-25七年级下·上海·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程．
证明：如图2，过点作于点．
为边上的中线，
① ．
，② ，
．
(1)请将小明横线处的证明过程补充完整．
(2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程．
(3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)12
【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键．
（1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由（2）可得，，再结合已知求解即可．
【详解】（1）证明：如图2，过点作于点．
为边上的中线，
．
，，
．
故答案为：，；
（2）证明：如图3，过点作于点．
，，
∴；
（3）解：同理（2）得，，
∵的面积为，是边上靠近点的三等分点，
∴，
∴，
∵是边上靠近点的四等分点，
∴，
∴，
故答案为：12．

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