资源简介

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义
第21章一元二次方程高频考点分类复习
考点01：一元二次方程的概念
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D. （为常数）
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟记一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、化简后是，是一元一次方程，则此项不符合题意；
B、是一元二次方程，则此项符合题意；
C、中是分式，则不是一元二次方程，则此项不符合题意；
D、当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程，则此项不符合题意；
故选：B．
2. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】A、时，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、化简后得，未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
3. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ）
A. 3 B. 0 C. -3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，求得，再根据一元二次方程中二次项系数不为零即可完成.
【详解】∵关于x的一元二次方程的常数项为0
∴，则
∵即
∴
故选C
【点睛】本题考查一元二次方程中二次项系数不为零的运用，熟练掌握一元二次方程相关知识点是解题关键.
4. 若是关于的一元二次方程，则的值为__________．
【答案】3或
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值．
【详解】解：由题意可知，，
解得或．
故答案为：3或．
考点02：一元二次方程的解
5. 若实数是方程的一个根，则代数式的值是______．
【答案】2022
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
根据一元二次方程的根的定义，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵是关于一元二次方程的一个实数根，
，
，
，
故答案为：2022．
6. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】将x＝0代入方程即可求出m的值．
【详解】解：将x＝0代入，
∴，
∴，
∵m＋1≠0，即m≠﹣1
∴m＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0．
7. 若，则关于的一元二次方程有一根是（ ）
A．1 B． C．0 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，若，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根．解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念．
【详解】解：∵，若，
∴当时，，
∴此方程必有一个根为．
故选：B．
考点03：一元二次方程的解法
8. 方程的根是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考出来解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
9. 关于y的方程的解是 ______________．
【答案】，，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键．
根据因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
或，
解得，．
故答案为：，．
10 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题关键.
先把常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可.
【详解】解：，
，
，
，
故选：C.
11. 解方程：．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，化简二次根式，先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方，进而解方程即可．
详解】解：∵，
∴，
∴，
解得或．
12. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．首先将原方程配方成，然后直接开方求解即可．
【详解】解：
．
13. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据直接开平方法进行求解方程即可．
【详解】解：
，
∴或，
解得：．
14. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可先对方程进行化简，然后再进行求解方程即可．
【详解】解：原方程可变形为：，
∴，
解得：．
23. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键．先移项，再根据因式分解法求解即可．
【详解】解：
，
∴或，
∴，．
15. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】运用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
所以方程的解是，．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．
16. 解方程：.
【答案】，
【解析】
【分析】先将原方程整理，化为一元二次方程的一般形式后，再运用分解因式法求解即可.
【详解】
或
，
【点睛】本题主要考查对解一元二次方程—因式分解法的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键.
17. 用配方法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：移项得：，
将二次项系数化为1得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程：1、把原方程化为一般形式；2、方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4、把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5、进一步通过直接开平方法求出方程的解．
18. 用配方法解方程：
【答案】＝1+，＝1﹣
【解析】
【分析】根据配方法步骤解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
移项，得，
方程两边同时除以3，得，
配方，得，
则，
所以，x﹣1＝±，
所以，＝1+，＝1﹣．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
考点04：换元法
19. 已知，那么______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查的是解方程，关键是将看成一个整体，即整体思想的应用，设，代入方程可得出，然后利用因式分解法解一元二次方程，最后负值舍去即可．
【详解】解：设，
∵
∴，
整理得：，
，
即或，
解得，（舍去）
即，
故答案为：7．
20. 实数满足，那么代数式的值是 　　．
【分析】设，原方程即可变形为关于的方程，即可求得的值，进而即可求得的值．
【解答】解：设，则原方程可变形为，
，
解得，，
当时，，无实数解，
当时，，有实数解，
，
故答案为2．
【点评】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键．
21．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得．
当时，；当时，；
原方程有四个根：．
(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(2)已知实数满足，求的值；
(3)解方程：．
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键．
（1）设，则可化为；
（2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5；
（3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得．
【详解】（1）解：设，
那么，
于是方程可变为，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
设，
则，
解得，
∴或，
∴或（实数范围内无意义，舍去），
故的值为5．
（3）解：设，则可化为，
解得，
∴，
∴（无实数根），
或，
∴，
解得．
考点05：一元二次方程的根的判别式
22. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的关系是解题的关键．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需．
【详解】解：A、，∵，∴方程有两个不相等的实数根；
B、，∵，∴方程无实数根；
C、，∵，∴方程无实数根；
D、，∵，∴方程实有两个相等的实数根；
故选：A．
23. 下列关于x的方程中一定有实数解的是（　　）
A. x2﹣x+1＝0 B. x2﹣mx﹣1＝0
C. D. x2﹣x﹣m＝0
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的判别式时方程有解，逐个判断即可．
【详解】解：∵A、x2﹣x+1＝0，Δ＝﹣3＜0，故此方程无实数解，不符合题意；
B、∵x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，故此方程有实数解，符合题意；
C、∵x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣4＜0，故此方程无实数解，不符合题意；
D、∵x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m（由于m的值不确定，故1+4m可以≥0，可以＜0），故此方程不一定有实数解，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程解得情况，解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式和解得关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
24. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则的取值范__________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】∵关于x的方程（k-2）x2-x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k-2≠0且△=（-1）2-4（k-2） 1=-4k+9＞0，
即，
解得：k＜且k≠2，
故答案为：k＜且k≠2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式组是解此题的关键．
25. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是完全平方的非负性和一元二次方程无实数根的关系．通过观察：等号左侧为完全平方式，故恒为非负数，若该方程没有实数根，只需让等号右侧的式子是负数，左右就不可能相等．
【详解】解：由题意可知，
解得：
故答案为：．
26. 已知是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解．
【答案】（1）
（2）k的最大值为86，此时方程的解为
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后进行求解即可；
（2）由（1）及题意可得，则方程可变形为，然后可得为开方数，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）及题意可得：，
由可得：，
∵都是整数，
∴为开方数，
∴或41或46或53或62或73或86，
∴k的最大值为86，
此时方程为，
解得：．
27. 已知关于x的方程.
（1）求证：无论k取何实数，这个方程总有实数根；
（2）当等腰三角形ABC的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）的周长为10,解题过程见解析
【解析】
【分析】（1）整理成一般形式，根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，所以只需证明即可；
（2）分，两边长b、c有一边是4，利用等腰三角形的性质与三边关系探讨得出答案即可．
【小问1详解】
证明：方程整理成一般形式为，
，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：当时，，
即，
解得：，
此时，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当两边长b、c有一边是4时，，
解得：，
关于x的方程即，
解得：或，
等腰的三边长为2、4、4，
∴的周长为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．解题的关键是在求等腰三角形的周长时，要分类讨论．
考点06：一元二次方程的根与系数的关系
28. 若方程的两根之差的平方为48，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式，解题关键是牢记公司，本题根据以上知识，将变形为即可求解．
【详解】解：设方程的两个根分别为，，
由题意得，
∵，
∴，
∴，
此时符合题意；
故答案为： ．
29. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________
【答案】或0##0或
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．
【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，，
∴，
解得：或，
故答案为：或0．
30. 已知方程的一个根为2，求另一个根及的值．
【答案】方程的另一个根是，的值是或
【解析】
【分析】根据一元二次方程的判别式，确定的取值范围，再根据方程的一个根为2，求出的值，代入的值，即可求解．
【详解】解：方程，则，，，
∵方程有两个根，
∴，
∴，
∴，
∵方程的一个根为2，
∴，则，，
当时，方程得，，
∴，；
当时，方程得，，
∴，，
∴的一个根为2，求另一个根是，的值是或．
故答案为：方程的另一个根是，的值是或．
【点睛】本题主要考查根的判别式，根据一个根求另有一个根，及参数的值，掌握本的判别式，解一元二次方程的方法，分类讨论的方法是解题的关键．
31. 已知实数、满足，，则______．
【答案】或2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的加法、运用完全平方公式求值，若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键．
先利用根与系数关系得，，再利用分式加法的计算法则计算即可．
【详解】解：由题意可知，当时，实数、是一元二次方程的两个实数根，
满足，
，
当时，，
故答案为：或2．
32．若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是．
【详解】解：根据，方程除以得，
故是方程的两个根，
根据根与系数关系定理，得，
故是．
故选：A．
33.已知关于的方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根满足，求的值．
【答案】(1)的取值范围是
(2)的值为
【分析】（）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解；
（）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可；
此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】（1）解：由整理得：，
∵关于的方程有两个实数根，，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）解：由（）得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
解得：或，
∵，
∴的值为．
考点07：二次三项式的因式分解
34. 在实数范围内分解因式________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出方程的两个根，再因式分解．
【详解】∵根为，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键．
35. 二次三项式在实数范围内因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键．
首先解关于的方程，进而分解因式得出即可．
【详解】解：当时，
解得：，
则．
故答案为：．
36.若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则一元二次方程的值分别为________________．
【答案】，
【解析】，∴，．
【总结】考查二次三项式的因式分解，也可以利用韦达定理进行求解．
37.在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式为．
【总结】考查分解因式中的整体思想，注意分解要彻底．
考点08：可化为一元二次方程的分式方程
38.解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．设，则；然后将与代入原方程，再将分式方程化为整式方程即可．
【详解】解：，
，
由原方程，得
；
方程的两边同时乘以，得
，
移项，得
．
故选：A．
39.下列方程中，有实数根的是（ ）·
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用根的判别式，解分式方程、算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件求解方程依次来判断．
【详解】解：A、，，故没有实数根，不符合题意；
B、，方程两边都乘以得：，检验：当时，分式的分母为0，所以此方程没有解，不符合题意；
C、由，得，因为算术平方根的结果是非负数，所以此方程无解，不符合题意；
D、由，得，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，故有实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的根的问题，解题的关键是掌握根的判别式，会解分式方程，算术平方根的非负性．
40.若关于的分式方程有增根，则的值为
【答案】
【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将代入整式方程，进行求解即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
∵方程有增根，
∴把代入，得：，
解得：；
故答案为：1．
41．解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
整理得，
解得或，
检验，当时，；当时，，
∴是原方程的解，不是原方程的解．
42．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
因式分解，得，
所以或，
解得或，
经检验，不是分式方程的解；是分式方程的解，
所以方程的解为．
43．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握分式方程和一元二次方程的解法和步骤是解题关键．将原分式方程化为整式 方程，再根据因式分解法解一元二次方程，最后检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
经检验：是原方程的增根，舍去：是原方程的解
所以原方程的解是．
考点09：一元二次方程的应用
44. 某工厂废气年排放量450万立方米，为了改善大气环境质量，决定分二期治理，使年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，每期减少的百分率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每期减少的百分率是x，根据年排放量由450万立方米经过两年后变为288万立方米建立方程求解即可．
【详解】解：设每期减少的百分率是x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴每期减少的百分率是，
故答案：．
45. 某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 __．
【答案】
【解析】
【分析】利用经过两期治理后废气的排放量治理前废气的排放量每期减少的百分率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
46. 某木器厂今年二月份生产了课桌500张，从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到605张．如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为，则根据题意可列方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键；因此此题可根据增长率问题直接进行求解．
【详解】解：由题意可得方程为；
故答案为．
47. 一个物流公司因为业务拓展，计划建造一个面积为150平方米的矩形仓库，为节约材料，仓库的一边靠墙，墙长18米，另三边用铁栅栏围成，且在与墙平行的一边要开一扇2米宽的门，已知铁栅栏材料的总长为33米，求矩形仓库的长与宽应分别为多少米？
【答案】仓库的长和宽分别为15米，10米
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于利用图形得出平行于墙的一边长为米．
设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据矩形面积公式可列出方程，求出答案．
【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，
由题意得，
整理，得，
解得：，
当垂直于墙的边长为米，则平行于墙的长度为米米，舍去；
当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为米；
答：仓库的长和宽分别为15米，10米．
48. 如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？
【答案】当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到了一元一次不等式，解题关键是列出一元二次方程并求解，本题根据生态园面积为96列出方程求解即可．
【详解】解：设生态园宽为x米，
，
∵要利用一面20米长的墙为一边，
∴，
∴，
此时长为，
答：当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米．
49. 如图，现准备用32米长的木板建有关面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门．
（1）如果墙长15米，求仓库的长和宽；
（2）如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长至少要多少米？
【答案】（1）长为13米，则宽为10米
（2）20米
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
（1）设长方形的长为，则宽为米，而仓库的面积为，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题；
（2）根据长方形的长宽列出不等式，并解答．
【小问1详解】
设长方形的长为，则宽为米，
由题意，得
解得或
当时，显然，不符合题意，舍去
所以．
答：长方形的长为13米，则宽为10米；
【小问2详解】
解：∵宽为10米米，
此时不符合题意．
当长20米时，宽为6.5米米，
米，
∴墙长至少要20米．
考点10：综合提升
50. 请阅读以下材料：
①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）．
②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请解决下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程）
【答案】（1），理由见解析
（2）2 （3）或
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键．
（1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
（3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
∴或，
∴．
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
【小问2详解】
解：∵方程的两个根分比为，
∴， ．
∵，
∴，
解得：，．
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意．
综上可知k的值为2；
【小问3详解】
解：，
，
∴或，
∴或．
∵此方程“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且．
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：．
综上所述，m的取值范围为或．
51.定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”．
(1)下列方程是“和谐方程”的是 ．
①；②；③．
(2)若方程是“和谐方程”，求m的值．
(3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系．
【答案】(1)②③
(2)
(3)（或）
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可；
（3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可．
【详解】（1）解：①，则
∴，
∴不满足，故不是“和谐方程”；
②，
∴
满足，故是“和谐方程”；
③
解得：，
∴，
∴满足，故是“和谐方程”；
故答案为：②③；
（2）解：∵，
∴．
∵方程是“和谐方程”，
∴
∴．
即．
解得：；
（3）解：对于，
则
∵方程为“和谐方程”，
∴，
∵，
∴，即（或）．2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义
第21章一元二次方程高频考点分类复习
考点01：一元二次方程的概念
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D. （为常数）
2. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　）
A. B.
C. D.
3. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ）
A. 3 B. 0 C. -3 D.
4. 若是关于的一元二次方程，则的值为__________．
考点02：一元二次方程的解
5. 若实数是方程的一个根，则代数式的值是______．
6. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为________．
7. 若，则关于的一元二次方程有一根是（ ）
A．1 B． C．0 D．无法判断
考点03：一元二次方程的解法
8. 方程的根是__________．
9. 关于y的方程的解是 ______________．
10 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 解方程：．
12. 解方程：．
13. 解方程：
14. 解方程：
15. 解方程：
16. 解方程：.
17. 用配方法解方程：．
18. 用配方法解方程：
考点04：换元法
19. 已知，那么______．
20. 实数满足，那么代数式的值是 　　．
21．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得．
当时，；当时，；
原方程有四个根：．
(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(2)已知实数满足，求的值；
(3)解方程：．
考点05：一元二次方程的根的判别式
22. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是（ ）
A. B. C. D.
23. 下列关于x的方程中一定有实数解的是（　　）
A. x2﹣x+1＝0 B. x2﹣mx﹣1＝0
C. D. x2﹣x﹣m＝0
24. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则的取值范__________．
25. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的取值范围是______．
26. 已知是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解．
27. 已知关于x的方程.
（1）求证：无论k取何实数，这个方程总有实数根；
（2）当等腰三角形ABC的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长.
考点06：一元二次方程的根与系数的关系
28. 若方程的两根之差的平方为48，则的值为________．
29. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________
30. 已知方程的一个根为2，求另一个根及的值．
31. 已知实数、满足，，则______．
32.若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
33.已知关于的方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根满足，求的值．
考点07：二次三项式的因式分解
34. 在实数范围内分解因式________．
35. 二次三项式在实数范围内因式分解：________．
36.若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则一元二次方程的值分别为________________．
37.在实数范围内分解因式：
（1）； （2）．
考点08：可化为一元二次方程的分式方程
38.解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程为（ ）
A． B．
C． D．
39.下列方程中，有实数根的是（ ）·
A． B．
C． D．
40.若关于的分式方程有增根，则的值为
41．解方程：．
42．解方程：．
43．解方程：．
考点09：一元二次方程的应用
44. 某工厂废气年排放量450万立方米，为了改善大气环境质量，决定分二期治理，使年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，每期减少的百分率是__________．
45. 某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 __．
46. 某木器厂今年二月份生产了课桌500张，从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到605张．如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为，则根据题意可列方程为_____．
47. 一个物流公司因为业务拓展，计划建造一个面积为150平方米的矩形仓库，为节约材料，仓库的一边靠墙，墙长18米，另三边用铁栅栏围成，且在与墙平行的一边要开一扇2米宽的门，已知铁栅栏材料的总长为33米，求矩形仓库的长与宽应分别为多少米？
48. 如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？
49. 如图，现准备用32米长的木板建有关面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门．
（1）如果墙长15米，求仓库的长和宽；
（2）如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长至少要多少米？
考点10：综合提升
50. 请阅读以下材料：
①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）．
②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请解决下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程）
51.定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”．
(1)下列方程是“和谐方程”的是 ．
①；②；③．
(2)若方程是“和谐方程”，求m的值．
(3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系．

展开更多......

收起↑