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23.1多边形
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理解多边形、凸四边形及其相关概念；
会求多边形的内角和、外角和.
【题型1】多边形的相关概念
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
2.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.下列图形中不是多边形的是（ ）
A．B．C． D．
4.下列图形中，不是凸多边形的是（ ）
A．B．C． D．
5.将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型2】多边形的对角线
1.若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　）
A． B． C． D．
2.从多边形的一个顶点出发，可以作出5条对角线，则这个多边形的边数是（ ）
A．八 B．七 C．六 D．五
3.从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（ ）
A． B． C． D．
4.（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是，则这个多边形的对角线总数为 ．
5.若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ．
【题型3】四边形的内角和
1.一个四边形有一组对角互补，另外一组对角的关系是_______
2.求下图四边形中x的值。
3.如果一个边形的内角和为，那么的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（ ）．
A． B． C． D．
【题型4】多边形外角和
1.一个边形的每个外角都相等且等于，那么 ．
2.一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4.已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是 ．
5.将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ．
【题型5】列方程求多边形的外角或内角
1.若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ．
2.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ．
3.已知正多边形的一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是 ．
4.已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是 ．
5.一个边形的一个外角为，与这个外角不相邻的所有内角和为，则与的关系是什么？
一、单选题
1．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（ ）边形
A．六 B．七 C．八 D．九
3．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．三角形或四边形或五边形
4．如图，的度数为（ ）
A．180° B．240° C．300° D．360°
二、填空题
5．已知十五边形的各个内角都相等，则每个内角为 ；每个外角为 ．
6．一个多边形的内角和是，则它是 边形．
7．如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是 ．
三、解答题
8．一个多边形的内角和比它的外角和的5倍多，求这个多边形的边数．
9．已知一个多边形的边数为．
(1)若，求这个多边形共有多少条对角线．
(2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值．
10．计算：
(1)如图，求出图中x的值．
(2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
11．如图，在四边形中，E为边上一点，，，，求证：．
12．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．
【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．
（1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形；
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______；
【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示：
（1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形；
（2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？
（2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系．23.1多边形
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理解多边形、凸四边形及其相关概念；
会求多边形的内角和、外角和.
【题型1】多边形的相关概念
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形．根据凸多边形的定义进行判断即可．
【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，
只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．
故选：B．
2.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可．
【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误；
因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误；
因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确；
因此正确的说法只有1个，
故选：B．
3.下列图形中不是多边形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案．
【详解】
解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意；
是四边形，是多边形，故选项B不符合题意；
不是多边形，故选项C符合题意；
是六边形，是多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
4.下列图形中，不是凸多边形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．根据凸多边形的定义进行判断即可．
【详解】解： 选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．
故选：A．
5.将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键．
根据题意作图分析，即可求解．
【详解】解：A、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意；
B、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意；
C、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意；
D、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意；
故选：D ．
【题型2】多边形的对角线
1.若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多边形对角线与边数关系得出具体是几边形，然后利用多边形内角和公式求出结果
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴这个多边形是八边形，
∴这个多边形的内角和为，
故选C．
【点睛】本题主要考查多边形边数与对角线数量及内角和的关系，熟练掌握相关公式是关键．
2.从多边形的一个顶点出发，可以作出5条对角线，则这个多边形的边数是（ ）
A．八 B．七 C．六 D．五
【答案】A
【分析】本题考查多边形的对角线性质，掌握从n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键．从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，据此求解．
【详解】解：∵从多边形的一个顶点出发可以作5条对角线，
∴，
∴，
∴这个多边形的边数是8.
故选：A．
3.从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个，
故选：．
4.（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是，则这个多边形的对角线总数为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了多边形的外角与内角和对角线条数，解题关键是掌握任意多边形的外角和都等于．
先求出正多边形的一个外角度数，再根据多边形的外角和等于，即可求出这个多边形的边数，根据对角线条数公式即可求出对角线总数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是，
∴正多边形的一个外角是，
∵多边形的外角和等于，
∴这个多边形的边数是，
∴对角线总数为
故答案为：20．
5.若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ．
【答案】54
【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是n，则
，
解得，
多边形的对角线条数公式为：，
代入：
故答案为：54．
【题型3】四边形的内角和
1.一个四边形有一组对角互补，另外一组对角的关系是_______
分析：四边形的内角和为360，代入计算即可.
解析：互补
2.求下图四边形中x的值。
分析：四边形的内角和为360，代入计算即可.
解析：（1）65（2）40
3.如果一个边形的内角和为，那么的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一个边形的内角和是，
∴，
解得，
故选：C．
4．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，
根据题意得：，
解得：．
即这个多边形是四边形．
故选：B．
5．如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为，根据多项式内角和计算公式分别表示出变化前后多边形内角和，二者相减即可得到答案．
【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为，
∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为，
∵，
∴内角和将增加，
故选：C．
【题型4】多边形外角和
1.一个边形的每个外角都相等且等于，那么 ．
【答案】5
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，解题关键是明确多边形的外角和等于．
根据多边形的外角和等于，用除以即可得的值．
【详解】解：∵边形的每个外角都相等且等于，
∴，
故答案为：5．
2.一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形外角和为，正多边形的性质；根据多边形的每个内角相等，则其每个外角也相等，再由多边形外角和为即可求解．
【详解】解：∵八边形是正八边形，
∴正八边形的每个内角相等，
∵正八边形的每个内角与其外角互补，
∴正八边形的每个外角相等，
∵多边形外角和为，
∴；
故选：D．
3.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，
根据题意得：，
解得：．
即这个多边形是四边形．
故选：B．
4.已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，根据多边形的内角和的计算公式，以及任意多边形的外角和为360度，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设这个凸多边形为边形，
由题意，得：，
解得：；
故这个凸多边形为六边形；
故答案为：6．
5.将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形，根据四边形内角和为360度列式求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，，
，
，
，
故答案为：．
【题型5】列方程求多边形的外角或内角
1.若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ．
【答案】54
【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是n，则
，
解得，
多边形的对角线条数公式为：，
代入：
故答案为：54．
2.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ．
【答案】8或9或10
【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解．
【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为，
由题意得，
解得．
因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1，
原多边形可能为8或9或10.
故答案为：8或9或10.
3.已知正多边形的一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了正多边形外角和内角综合，正多边形一个外角的度数和一个内角的度数之和为180度，再结合题意建立方程组求出一个外角的度数，再根据外角和为360度即可求出边数．
【详解】解：设这个正多边形的一个内角度数为x，一个外角度数为y，
由题意得，，
解得，
∴这个正多边形的一个外角的度数为，
∴这个正多边形的边数为，
故答案为：9．
4.已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，根据多边形的内角和的计算公式，以及任意多边形的外角和为360度，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设这个凸多边形为边形，
由题意，得：，
解得：；
故这个凸多边形为六边形；
故答案为：6．
5.一个边形的一个外角为，与这个外角不相邻的所有内角和为，则与的关系是什么？
【答案】
【分析】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
一、单选题
1．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查多边形内角和问题，利用多边形内角和公式求解，设边数为n，则，解方程即可．
【详解】解：∵ 多边形内角和公式为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（ ）边形
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的对角线问题．
过n边形一个顶点的所有对角线将n边形分成个三角形，根据题意分成6个三角形，因此，解得．
【详解】解：从n边形一个顶点出发的对角线将n边形分成个三角形，
∵分成了6个三角形，
∴，
∴，
因此，这个n边形是八边形．
故选：C．
3．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．三角形或四边形或五边形
【答案】D
【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．
锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形．
【详解】解：设正方形，锯掉角A，
若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形；
若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点），
则边数不变，剩余4条边，为四边形；
若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形，
∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形．
故选：D．
4．如图，的度数为（ ）
A．180° B．240° C．300° D．360°
【答案】D
【分析】本题考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理；
【详解】解：连接，可得，
∴，
∵，，
∴，
∵在四边形中，，
∴.
故选：D.
二、填空题
5．已知十五边形的各个内角都相等，则每个内角为 ；每个外角为 ．
【答案】 /156度 /24度
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据内角和公式和外角和为360度进行求解即可．
【详解】解：∵十五边形的各个内角都相等，
∴每个内角为，每个外角为；
故答案为：，．
6．一个多边形的内角和是，则它是 边形．
【答案】五
【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为，
则
解得，
故答案为：五．
7．如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆，根据正多边形的每个内角都相等，每条边都相等求出每个内角的度数，再根据等边对等角分别求出、的度数，即可得解,熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：五边形是正五边形，
∴，，
∴，，
∴，
即该正五角星的每个顶角的度数是，
故答案为：．
三、解答题
8．一个多边形的内角和比它的外角和的5倍多，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数是13
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和．n边形的内角和为，外角和为．根据“内角和比它的外角和的5倍多”列出方程，求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
，
解得，
答：这个多边形的边数是13．
9．已知一个多边形的边数为．
(1)若，求这个多边形共有多少条对角线．
(2)若这个多边形的内角和等于外角和的倍，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和为是解本题的关键．
（1）直接根据多边形对角线公式求解即可；
（2）根据多边形的外角和为，然后根据多边形内角和列方程求解即可．
【详解】（1）解：，多边形对角线为
（2）解：
解得．
10．计算：
(1)如图，求出图中x的值．
(2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
【答案】(1)
(2)这个多边形的边数是8
【分析】此题主要考查了四边形的内角和定理，多边形的内角和与外角和，理解四边形内角和等于，熟练掌握n多边形的内角和为公式，外角和为是解决问题的关键．
（1）根据四边形内角和等于列方程并解出即可；
（2）设这个多边形的边数为n，依题意得，解此方程即可得出答案．
【详解】（1）解：，，解得．
（2）解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，解得：．
答：这个多边形的边数是8．
11．如图，在四边形中，E为边上一点，，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】此题重点考查四边形的内角和等于、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．由，根据四边形的内角和等于求得，而，则，即可由，，，证明，则．
【详解】证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
．
12．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．
【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．
（1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形；
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______；
【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示：
（1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形；
（2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？
【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2）
【分析】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键．
初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可；
（2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可；
深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可；
（2）由（1）的结论总结出规律即可．
【详解】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形；
若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形；
若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形；
若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形
…，
∴n边形可以分割成个三角形；
（2）设此多边形的边数为n
根据题意得，
∴
∴此多边形的边数为2028；
深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形；
图2中五边形可分割出5个三角形；
图3中六边形可分割出6个三角形；
（2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系．

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