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2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义
期末复习满分冲刺讲义（基础篇）
考点01：平方根与立方根
1. 的平方根是____．
2. （2023-24金山区七年级下期中）实数a的立方根是3，那么________．
3.若，则 ．
4. （2024年黄浦区七年级下期中）若，求的平方根．
5. （2023-24金山区七年级下期中）下列运算正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
6. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根是非负数
7. （2024年黄浦区七年级下期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________．
考点02：实数
8. （2023-24闵行区七年级下期中）在数，，，，，（相邻两个“3”之间“0”的个数依次加1个）中，无理数的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.（2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ）
A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间
10.（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ．
11. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）下列说法正确的是（ ）
A. 只有0的平方根是它本身 B. 无限小数都是无理数
C. 不带根号的数一定是有理数 D. 任何数都有平方根
12. （2024年黄浦区七年级下期中）已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________．
13. 化简：＝__．
14. （2023-24学嘉定区七年级下期中）比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）．
15. （2023-24金山区七年级下期中）下列说法正确的是（ ）
A. 负数没有方根；
B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应；
C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；
D. 近似数0.0360有3个有效数字．
考点03：二次根式及性质
16.使有意义的x的取值范围是（　　）
A．且 B． C．且 D．
17. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）如果成立，那么实数的取值范围_________．
18. 化简：＝____________________．
19. 已知，化简______．
20．将根号外的因式移到根号内：
21. 已知实数满足，那么______．
22. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____
考点04：最简二次根式与同类二次根式
23. 在下列二次根式中，最简二次根式（ ）
A. B. C. D.
24. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
25.（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 ．
考点05：分母有理化
26.（2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中） 的一个有理化因式是 ___________．
27. 如果，，那么、的关系是（ ）
A. B. C. D.
28.计算： ．
29. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）解不等式：的解集是____________．
考点06：二次根式的运算
30. 下列等式正确是（ ）
A. B.
C. D.
31. 计算：
32. 计算：．
33. 计算：
34. 先化简，再求值：已知，求的值．
35. 化简求值：已知，求的值．
考点07：一元二次方程的概念与解法
36. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
37. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是，写出一个符合要求的方程：____________．
38. 一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为________．
39. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
40．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知，则______．
41. 解方程：
（1）；
（2）．
42. 解方程：．
43. 用配方法解方程：．
考点08：一元二次方程的根的判别式
44. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
45. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围．
46. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
47. 已知关于x的一元二次方程
（1）当为何值时，此方程有实数根；
（2）选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根．
48. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由．
考点09：一元二次方程的根与系数的关系
49. 已知方程和方程的根完全相同，则______．
50. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则______．
51．已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2024
52.已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
53．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为，且，求m的值．
考点10：一元二次方程的应用
54. 在实数范围内分解因式：___________．
55．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ．
56.若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
57．解方程：．
58. 某地2024年4月份的房价平均每平方米为40100元，该地2022年同期的房价平均每平方米为39800元．假设这两年该地房价的平均增长率为x，根据题意可列出关x的方程为____．
59. 某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次降价的百分率相同．设降价的百分率为，则可列方程为______．
60. 三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 _____支队伍参加比赛．
61. 某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？
62. 某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长．
63. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
考点11：直角三角形的性质与判定
64．如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 ．
66. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
67.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点分别在上，且，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
考点12：角平分线
68．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）．
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
69. 如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°．
70.如图，是的角平分线，，则的面积是 ．
71．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且．
(1)求证：；
(2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由．
考点13：勾股定理
72.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则腰上的高为 ．
73.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）

A． B． C． D．
74.如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ．
75.如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
考点14：勾股定理的逆定理
76. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
77.勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41
78．学校有一块四边形ABCD的空地，A，C之间有一条垂直于BC的小路AC，如图．学校计划在这块空地上种植花卉．已知：AB＝13米，BC＝12米，CD＝4米，DA＝3米．
（1）这块空地ABCD的面积是多少平方米？（小路AC的面积忽略不计）
（2）顶点D到小路AC的距离是多少米？
考点15：综合提升
79．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”．
(1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）；
①，②，③；
(2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值；
(3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系．
80.已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为．
(1)如图，当点在线段上时，求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系；
(3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长．
81. 如图，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接，的延长线与的延长线相交于点P，证明：；
（3）在（2）的条件下，连接，当 时是等腰三角形．2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义
期末复习满分冲刺讲义（基础篇）
考点01：平方根与立方根
1. 的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．
2. （2023-24金山区七年级下期中）实数a的立方根是3，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：∵实数a的立方根是3，
∴，
故答案为：
3.若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方、算术平方根的非负性，掌握相关知识是解题关键．根据平方、算术平方根的非负性求出，，再根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：，
，，
解得：，，
，
，
故答案为：．
4. （2024年黄浦区七年级下期中）若，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：，
∴，
即的平方根是．
5. （2023-24金山区七年级下期中）下列运算正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先分别求解每个选项中的算术平方根，再判断即可．
【详解】解：没有意义，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，正确，故C符合题意；D不符合题意
故选C
6. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根是非负数
【答案】B
【解析】
【分析】根据立方根的定义和性质，逐项分析即可．
【详解】解：A、一个数的立方根有1个，故原说法错误，该选项不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号选项，正确，该选项符合题意；
C、负数有立方根，但负数没有平方根，故原说法错误，该选项不符合题意；
D、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故原说法错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根，掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解题的关键．
7. （2024年黄浦区七年级下期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可．
【详解】解：当输入x为36时，，
是有理数，， 是无理数，
∴当输入为36时，输出的值是．
故答案为：．
考点02：实数
8. （2023-24闵行区七年级下期中）在数，，，，，（相邻两个“3”之间“0”的个数依次加1个）中，无理数的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．据此解答即可．
【详解】解：．
无理数有，，（相邻两个“3”之间“0”的个数一次加1个），共3个．
故选：C．
9.（2024年黄浦区七年级下期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（ ）
A. 3米和4米之间 B. 4米和5米之间 C. 5米和6米之间 D. 6米和7米之间
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可．
【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，
∴个正方形的边长为米，
∵，
∴．
故选B．
10.（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ．
【答案】
【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解，
本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，，
∴，，
故答案为：，．
11. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）下列说法正确的是（ ）
A. 只有0的平方根是它本身 B. 无限小数都是无理数
C. 不带根号的数一定是有理数 D. 任何数都有平方根
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根，有理数，无理数定义分析判断即可．
【详解】解：A、正数的平方根有2个，只有0的平方根是它本身，故该选项正确；
B、无限小数中的无限循环小数是有理数，故该选项错误；
C、不带根号，但是无理数，故该选项错误；
D、因为负数没有平方根，故该选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查平方根，有理数，无理数，熟悉它们的定义是关键．
12. （2024年黄浦区七年级下期中）已知数轴上两点表示的数分别为和，则间的距离为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意列得：，
则两点间距离为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了数轴表示两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离等于较大的数字减去减小的数字，根据题意列出正确的算式是解本题的关键．
13. 化简：＝__．
【答案】＃＃
【解析】
【分析】根据先估算的大小，进而根据二次根式的性质化简即可
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
14. （2023-24学嘉定区七年级下期中）比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】先比较出4与的大小，再根据两个负数比较大小．
【详解】解：∵16＜17，
∴4＜，
∴﹣4＞﹣，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次根式大小的比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方法．比较两个负数，绝对值大的反而小
15. （2023-24金山区七年级下期中）下列说法正确的是（ ）
A. 负数没有方根；
B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应；
C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；
D. 近似数0.0360有3个有效数字．
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平方根和立方根，实数与数轴，有效数字，根据相关知识逐项判断即可
【详解】解：A、负数有立方根，故选项A说法错误，不符合题意；
B、数轴上的每一个点都与一个实数相对应，故选项B说法错误，不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，1和，故选项C说法错误，不符合题意；
D、近似数0.0360有3个有效数字,说法正确，符合题意．
故选：D
考点03：二次根式及性质
16.使有意义的x的取值范围是（　　）
A．且 B． C．且 D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
【详解】解： 由题意得，且，
解得且．
故选：A．
17. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）如果成立，那么实数的取值范围_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】解：变形得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质是解题的关键．
18. 化简：＝____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是利用分母有理化和二次根式的性质进行化简．
先将被开方数的分子分母同乘分母进行分母有理化，再根据二次根式性质化简．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
19. 已知，化简______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查化简二次根式，二次根式的性质，先根据得出，再把二次根次分母有理化即可得出答案．
【详解】解∶∵，
∴，
故答案为：．
20．将根号外的因式移到根号内：
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
21. 已知实数满足，那么______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，关键是依据题意，弄清的取值范围，体现了分类讨论思想．实数满足，分三种情况讨论，①②③，看哪个符合题意，然后把符合题意的代入，即可解答．
【详解】解：实数满足，
①当时，，不符合题意；
②当时，，不符合题意；
③当时，，
．
故答案为．
22. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，化简二次根式.
首先根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出k的取值范围，然后根据求解即可.
【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为、、，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：
考点04：最简二次根式与同类二次根式
23. 在下列二次根式中，最简二次根式（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数或因式，且开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次函数，符合题意；
C、被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
24. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把和各选项中的式子化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念解答即可．
【详解】解：，
A、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
25.（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 ．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：是最简二次根式，
∵，
，
，
∴、、不是最简二次根式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
考点05：分母有理化
26.（2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中） 的一个有理化因式是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
【详解】解：∵，
∴的一个有理化因式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了有理化因式的概念和二次根式的运算，熟练掌握有理化因式的概念和平方差公式是解答此题的关键．
27. 如果，，那么、的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案.
【详解】解：。
∵，
∴，
故选：B.
28.计算： ．
【答案】
【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
29. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）解不等式：的解集是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解不等式，二次根式的运算．
根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化，即可解答．
【详解】，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
即．
故答案为：
考点06：二次根式的运算
30. 下列等式正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算；根据二次根式的性质与混合运算逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
31. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
32. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先化简，将分母有理化，然后合并同类二次根式得到答案．
【详解】解：
．
33. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先逐项化简，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
34. 先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，完全平方公式的应用，先利用分母有理化得出，再将分式化简，代入求解即可．
【详解】解：，
，
将代入，原式．
35. 化简求值：已知，求的值．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据二次根式的运算法则化简，再代入a,b即可求解．
【详解】
=
=
=
=
∵
∴原式=
=
=．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
考点07：一元二次方程的概念与解法
36. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、属于一元二次方程，故A选项符合题意；
B、中若，不属于一元二次方程，故B选项不符合题意；
C、中有含两个未知数、，不属于一元二次方程，故C选项不符合题意；
D、不是整式方程，不属于一元二次方程，故D选项不符合题意；
故选：A．
37. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是，写出一个符合要求的方程：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可设：，
将代入，得，
∴，
故该方程可为：．
故答案为：（答案不唯一）．
38. 一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为________．
【答案】13
【解析】
【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案．
【详解】解：解方程可得或，
当第三边为5时，则三角形的三边长为3、5、5，满足三角形三边关系，其周长为13；
当第三边为8时，则三角形的三边长为3、5、8，不满足三角形三边关系，舍去．
则此三角形的周长为13．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论．
39. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
首先把常数项移到等号右边，然后方程两边都加上一次项系数的一半的平方，配方即可．
【详解】解：移项，得，
配方，，
则．
故选：B．
40．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知，则______．
【答案】/
【分析】设，则原式为，求解取值即可．
【详解】解：设，
则原式为，
整理得：，
配方得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，算术平方根等知识，熟练掌握解一元二次方程即可．
41. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把看做整体，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．
（2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
则，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
则，
，
解得．
42. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，去分母将方程化为一般形式，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：去分母，得：．
即．
∴
∴或．
∴，．
43. 用配方法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键；
根据配方法解一元一次方程的方法即可求解；
【详解】解：两边都除以，得
配方，得
∴，
考点08：一元二次方程的根的判别式
44. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴，
解得，，
故答案为：．
45. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据题意得出，计算即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
的取值范围为且.
46. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可．
【详解】解：A、，
∴；不符合题意；
B、，
∴；符合题意；
C、，此方程无解；不符合题意；
D、，
∴，
∴；不符合题意；
故选B．
47. 已知关于x的一元二次方程
（1）当为何值时，此方程有实数根；
（2）选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根．
【答案】（1）当时，此方程有实数根．
（2）当时，，．
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答此题的关键．
（1）根据，确定k取值范围；
（2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可．
【小问1详解】
解：要使方程有实数根，必须，
．
即．
解得．
当时，此方程有实数根．
【小问2详解】
解：当时，（答案不唯一）．
原方程变为．
解得．
即∶，．
48. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由．
【答案】有两个不相等的实数根，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系．
首先根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围，然后求出方程根的判别式，进而作出判断．
【详解】解：有两个不相等的实数根，理由如下：
∵方程有两个不相等的实数根，
，
，
对于关于的方程，
，
，
∴，即，
∴方程一定有两个不相等的实数根．
考点09：一元二次方程的根与系数的关系
49. 已知方程和方程的根完全相同，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先解方程得到，，再把代入方程中求出，接着解方程方程可得到，然后计算的值．
【详解】解：，
，，
把代入方程得，解得，
解方程方程，解得，，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
50. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，．设方程的一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系得出，得出，另一个根为，进一步利用两根的积得出的数值即可．
【详解】解：设方程另一个根为，则一个根为，
则，解得，
因此．
故答案为：．
51．已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2024
【答案】B
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可．
【详解】解：方程的两根分别为、，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
52.已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
故选：．
53．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为，且，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、，
∴
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴．
考点10：一元二次方程的应用
54. 在实数范围内分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据公式法解，得出，再根据因式分解即可得出答案．
【详解】解：由，得：，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
55．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，进行转化，再将分式方程转化为整式方程即可．
【解析】解：设，
则原方程化为：，
去分母，得：，即：；
故答案为：．
【点睛】本题考查换元法解分式方程．熟练掌握换元法，以及将分式方程转化为整式方程的方法，是解题的关键．
56.若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解．
【解析】将方程去分母得到：
，
即，
∵分式无解，
∴
将代入中，
解得，
故选D．
【点睛】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的意义
57．解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．
先去分母，将分式方程化为整式方程，再用因式分解法求解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
，，
检验：当时，；当时，；
∴是原分式方程的解．
58. 某地2024年4月份的房价平均每平方米为40100元，该地2022年同期的房价平均每平方米为39800元．假设这两年该地房价的平均增长率为x，根据题意可列出关x的方程为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
若设房价平均每年增长率为，根据增长后的量增长前的量增长率）即可列出方程．
【详解】解：设房价平均每年的增长率为，
根据题意，得．
故填空答案：．
59. 某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次降价的百分率相同．设降价的百分率为，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设降价的百分率为，则第一次下调后的价格为，第二次下调的价格为，根据题意列方程即可．
【详解】解：设降价的百分率为，
根据题意得：，
故答案为：．
60. 三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 _____支队伍参加比赛．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
有支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设有支队伍参加比赛，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
即有支队伍参加比赛，
故答案为：．
61. 某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？
【答案】道路的宽度为2米.
【解析】
【详解】试题分析：把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32-x）和（20-x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
试题解析：设道路的宽度为x米. 由题意得，
（32-x）（20-x）=135×4
整理得，
x2-52x+100=0
x1=2，x2=50不合题意，舍去
∴
答：道路的宽度为2米.
62. 某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长．
【答案】与墙垂直的边的长为25
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，列出方程并计算求解，本题根据面积列出方程求解即可．
【详解】解：设与墙垂直的边的长为x．
∴长为米，
解得：，
∵，
∴，
∴，
答：与墙垂直的边的长为25 ．
63. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得：
，
解得：，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴；
答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．
考点11：直角三角形的性质与判定
64．如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据求解即可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，点为的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据垂直定义可得，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而得到，最后利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
是的中线，，
是斜边上的中线，
，
，是的中点，
，
，
由勾股定理得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质．
66. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案．
（2）根据，可知，由于．从而可知．
【小问1详解】
证明：在等边三角形中，，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
．
，
．
67.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点分别在上，且，，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先证明，进一步可得，结合，从而可得答案；
（2）如图，过点E作于点F，证明，可得，结合，从而可得答案．
【详解】（1）解：，
为等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，过点E作于点F，
，
，
．
在和中，
，
，
∵在中，，
，
．
考点12：角平分线
68．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）．
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案．
【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
69. 如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°．
【答案】58
【解析】
【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质．
【详解】解：延长交于点，
是的角平分线，
，
，
，
故答案为：．
70.如图，是的角平分线，，则的面积是 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键．
先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过D作于E，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴的面积．
故答案为：24．
71．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且．
(1)求证：；
(2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
考点13：勾股定理
72.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则腰上的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出△ABC底边上的高是解题的关键．过点A作于D，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点A作于D，
，即，
解得：，
故答案为：
73.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，解一元二次方程，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作的延长线于点，
则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
整理得，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．
74.如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点落在边的三等分点处，，
∴或，
由折叠可知：，
∴，
当时，在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
当时，在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
综上所述：的长为3或；
故答案为：3或．
75.如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．
【解答】解：设门高为x尺，则竹竿的长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得：
x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，
解得：x＝7.5，
∴门高7.5尺，竹竿的长＝7.5+1＝8.5（尺）．
【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
考点14：勾股定理的逆定理
76. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键．
根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可．
【详解】解：A、设，
∵，
∴，能判定是直角三角形，符合题意；
B、∵，
∴，不能判定是直角三角形，不符合题意；
C、，不能判定是直角三角形，不符合题意；
D、∵，即，
∴不能判定是直角三角形，不符合题意；
故选：A ．
77.勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．5，15，20 D．9，40，41
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
【解答】解：A、，，这三个数不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、，，这三个数不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、∵52+152＝25+225＝250≠202，
∴5，15，20这三个数不是勾股数，不符合题意；
D、∵92+402＝81+1600＝1681＝412，
∴9，40，41这三个数是勾股数，符合题意．
故选：D．
78．学校有一块四边形ABCD的空地，A，C之间有一条垂直于BC的小路AC，如图．学校计划在这块空地上种植花卉．已知：AB＝13米，BC＝12米，CD＝4米，DA＝3米．
（1）这块空地ABCD的面积是多少平方米？（小路AC的面积忽略不计）
（2）顶点D到小路AC的距离是多少米？
【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝5米，再用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，然后用空地ABCD的面积＝S+计算即可；
（2）过点D作DE⊥AC于E，利用等积法S求解即可．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°
由勾股定理，得（米），
∵CD＝4米，DA＝3米
∴CD2+DA2＝42+32＝25
∵AC2＝52＝25
∴CD2+DA2＝AC2
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，
∴空地ABCD的面积＝S+＝（平方米），
答：空地ABCD的面积为36平方米．
（2）如图，过点D作DE⊥AC于E，
由（1）知△ACD是直角三角形，
∴S，
∴DE＝＝＝2.4（米），
答：顶点D到小路AC的距离是2.4米．
考点15：综合提升
79．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”．
(1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）；
①，②，③；
(2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值；
(3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系．
【答案】(1)①②
(2)7或
(3)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可；
（2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可；
（3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答
【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”；
②的解为，，则该方程为“根差2方程”；
③的解为，，则该方程不是“根差2方程”；
故答案为：①②．
（2）解：设关于x的方程的解为，则，
∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，
∴，即，
∴，解得：或．
（3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，
∴，，
∴，
∵
∴．
80.已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为．
(1)如图，当点在线段上时，求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系；
(3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可；
（3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，同角的补角相等，垂线定义及同角的余角相等等，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
81. 如图，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接，的延长线与的延长线相交于点P，证明：；
（3）在（2）的条件下，连接，当 时是等腰三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）15°或30°
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）可证得，，从而，进而证得；
（2）可证得从而，进而证得，从而得出；
（3）由题意可分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵是的平分线，
∴，
由（1）知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意可分：
①当是以的等腰三角形时，则有：，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②当是以的等腰三角形时，如图所示：
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③当时，则，
∴，
∵，且点P在的延长线上，
∴此种情况是不成立的；
综上所述：当或时，是等腰三角形；
故答案为：或．

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