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2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义
期末复习满分冲刺讲义（培优篇）
考点01：平方根与立方根
考点02：实数
考点03：二次根式及性质
考点04：最简二次根式与同类二次根式
考点05：分母有理化
考点06：二次根式的运算
考点07：一元二次方程的概念与解法
考点08：一元二次方程的根的判别式
考点09：一元二次方程的根与系数的关系
考点10：一元二次方程的应用
考点11：可化为一元二次方程的分式方程
考点12：直角三角形的性质与判定
考点13：角平分线
考点14：勾股定理及其逆定理
考点15：综合提升
考点01：平方根与立方根
1. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）的算术平方根减去的立方根的差为______．
2. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根是非负数
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 8的平方根是 B.
C. 的立方根是 D. 16的四次方根是2
4.已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根．
考点02：实数
5. （2023-24闵行区七年级下期中）计算：_____________．
6. （2024年黄浦区七年级下期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有___________个．
7. （2023-24闵行区七年级下期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有______个．
8. （2023-24闵行区七年级下期中）比较大小：_______(填“＞”、“=”或“＜”) ．
9. （2024年黄浦区七年级下期中）以下叙述中，正确的是（ ）
A. 数轴上的点和实数一一对应； B. 一定没有偶次方根；
C. 的算术平方根是2； D. 近似数精确到万位．
考点03：二次根式及性质
10. 是二次根式，则的取值范围是______．
11．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ．
12. 已知、是实数，且，求的值．
13．已知，且与互为相反数，求x，y的值．
考点04：最简二次根式与同类二次根式
14．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
15. 下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A. B. C. D.
16.（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
17.最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
18.二次根式化成最简结果为（　　）
A. B. C. D.
19.化简
（1）
（2）
考点05：分母有理化
20. 二次根式的有理化因式可以是 ______．
21.化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
22. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）不等式的解集是______．
23. =（ ）
A．9 B． C． D．
24.小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
．
，
．
请你根据小辰的分析过程，解决如下问题：
(1)①化简___________．
②当时，求的值．
(2)已知，求的值．
考点06：二次根式的运算
25. 计算：．
26. （2024-25曹杨二中附属学校八年级上期中）计算：．
27. 已知：，，，__________．
28. 已知，则______．
29. 先化简，再求值：已知,求的值
30. 已知：，，求代数式的值．
考点07：一元二次方程的概念与解法
31．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ．
32. 已知当时，二次三项式的值是5，那么当时，这个二次三项式的值是____________．
33. 定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是______．
34. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
35．（2024秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）若 ，则 ________．
36. 解方程．
（1）
（2）
37.. 用配方法解方程：．
38. 解方程：
39. 解方程：．
考点08：一元二次方程的根的判别式
40. 下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A. B. C. (b为常数)D. (b为常数)
41. 下列关于一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. B.
C. D.
42. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根；
C. 没有实数根 D. 无法确定
43. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A. B. 且 C. D. 且
44. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，取最大整数是________.
45. 已知的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是，那么为何值时，是等腰三角形？
46. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
47. 已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围．
考点09：一元二次方程的根与系数的关系
48.设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
49.已知，且有及，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．2018
50.若实数，满足，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
51．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
52.已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．
考点10：一元二次方程的应用
53. 在实数范围内因式分解 _____________.
54. 在实数范围内因式分解：_____.
55. 2024年10月1日，某高速路检票口车流量约500万辆次，10月2日该高速路检票口的车流量减少．假设从3日、4日车流量有所增加且增长率相同，预计10月4日该高速路检票口车流量达到648万辆次，设10月3日、4日车流量的增长率为x，那么可列方程为____________．
56. 某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒元降至每盒元．则降价的百分率为__________．
57. 同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）．
（1）直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m．
（2）现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度．
58.某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件．
(1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
考点11：可化为一元二次方程的分式方程
59.用换元法解方程时，设则原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
60．用换元法解分式方程+1＝0时，如果设＝y，那么原方程可以变形为整式方程（　　）
A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝0
61．若关于x的分式方程无解，则m的值是______．
62.如果关于的方程无实数根，那么的值为 ．
63．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ．
64.若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根．
65．解方程：．
考点12：直角三角形的性质与判定
66.如图，在中，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
67.如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
68.如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
69.如图，在中，，M为中点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)若，求．
考点13：角平分线
70．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ）

A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点
C．高的交点 D．内角平分线的交点
71．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个．
72.如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ．
73．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

74.（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

75.如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ．
76.等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ．
77.如图，在中，，，是的角平分线，E，F分别在，边上．，，连结，．若，则的面积是（　　）
A． B．24 C．30 D．
78.在中，，，，过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
79．如图，，是中点，平分，求证：．
80．如图，，，
(1)求证：平分；
(2)若，求的值
考点14：勾股定理及其逆定理
81.已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
82.在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A．1，， B．6，8，10
C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5
83．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝　　（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
84．（2022秋 杨浦区期末）已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是　　
A．平方厘米 B．平方厘米 C．1平方厘米 D．平方厘米
85．（2023秋 普陀区期末）如图，在中，，，，点在边上，且，现将绕着点旋转得到△，点、、分别与点、、对应，连接，如果点在线段的延长线上，那么　　．
86．（2024秋 闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点．如果是直角三角形，那么的面积是 　　．
87.在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．
（1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
88．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．
89.如图，在中，，，D为上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的长．
90．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）如图，点P、Q为斜边的三等分点．
(1)如图1，若，，求斜边的长；
(2)如图2，若，求斜边的长．
考点15：综合提升
91．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
92.如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长．
(2)问t满足什么条件时，为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
93. 在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结．
（1）如图1，是等腰直角三角形，，求证：；
（2）如图2，是等边三角形，，求证：；
（3）如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）．
94.已知与都是等边三角形．
(1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，若，，．试求的度数．2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义
期末复习满分冲刺讲义（培优篇）
考点01：平方根与立方根
考点02：实数
考点03：二次根式及性质
考点04：最简二次根式与同类二次根式
考点05：分母有理化
考点06：二次根式的运算
考点07：一元二次方程的概念与解法
考点08：一元二次方程的根的判别式
考点09：一元二次方程的根与系数的关系
考点10：一元二次方程的应用
考点11：可化为一元二次方程的分式方程
考点12：直角三角形的性质与判定
考点13：角平分线
考点14：勾股定理及其逆定理
考点15：综合提升
考点01：平方根与立方根
1. （2023-2024学年浦东新区七年级下期中）的算术平方根减去的立方根的差为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
的算术平方根，
的立方根，
的算术平方根减去的立方根的差为，
故答案为：．
2. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根是非负数
【答案】B
【解析】
【分析】根据立方根的定义和性质，逐项分析即可．
【详解】解：A、一个数的立方根有1个，故原说法错误，该选项不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号选项，正确，该选项符合题意；
C、负数有立方根，但负数没有平方根，故原说法错误，该选项不符合题意；
D、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故原说法错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根，掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解题的关键．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 8的平方根是 B.
C. 的立方根是 D. 16的四次方根是2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方根，立方根，根据平方根，立方根的定义判断即可，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．
【详解】解：A、8的平方根是，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、的立方根是，故选项符合题意；
D、16的四次方根是，故选项不符合题意；
故选：C．
4.已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【详解】解：∵的算术平方根是5，
，
解得：，
∵的立方根是3，
∴
解得：，
∵，
∴，
∴，
是的整数部分，
，
∴，
∵25平方根为，
∴的平方根为．
考点02：实数
5. （2023-24闵行区七年级下期中）计算：_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】．
故答案为：．
6. （2024年黄浦区七年级下期中）下列实数中：3.1416，，，，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有___________个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
【详解】解：3.1416，，是有理数；
，，，……（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个）是无理数．
故答案为：4．
7. （2023-24闵行区七年级下期中）已知数轴上点A到原点的距离为2，则在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴、两点间的距离，首先根据数轴上点A到原点的距离为2，则点A对应的数是，再根据数轴上到点A的距离为进一步得到对应的点．
【详解】解：∵数轴上点A到原点的距离为2，
∴点A对应的数是．
当点A对应的数是2时，则数轴上到点A的距离为的点是，
当点A对应的数是时，则数轴上到点A的距离为的点是，
∴在数轴上到点A的距离为的点所表示的数有4个，
故答案为：4．
8. （2023-24闵行区七年级下期中）比较大小：_______(填“＞”、“=”或“＜”) ．
【答案】＜
【解析】
【分析】先对二次根式进行变形，再比较大小即可．
【详解】解：，，
∵，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解答此题的关键．
9. （2024年黄浦区七年级下期中）以下叙述中，正确的是（ ）
A. 数轴上的点和实数一一对应； B. 一定没有偶次方根；
C. 的算术平方根是2； D. 近似数精确到万位．
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查实数，掌握基本的意义与性质是解决问题的关键．利用实数的性质、平方根、算术平方根以及近似数的意义分析判定即可．
【详解】解：A．数轴上的点和实数一一对应，正确；
B．当时，有偶次方根，故不正确；
C．的算术平方根是，故不正确；
D．近似数精确到千位，故不正确．
故选：A．
考点03：二次根式及性质
10. 是二次根式，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得，即得．
【详解】∵是二次根式，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故答案为：．
11．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，
根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】∵
∴，
∴．
故答案为：．
12. 已知、是实数，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，求不等式组的解集，化简二次根式，先根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进一步可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．已知，且与互为相反数，求x，y的值．
【答案】，，或者，，或者，
【详解】，
，
，
，
，
，
∴，或者，或者，
∴，或者，或者，
∵与，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
即，，或者，，或者，．
【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出，或者，或者，是解答本题的关键．
考点04：最简二次根式与同类二次根式
14．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可．
【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意；
C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：B．
15. 下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误；
B、与不是同类二次根式，故B错误；
C、与不是同类二次根式，故C错误；
D、与是同类二次根式，故D正确；
故选：D．
16.（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】根据最简二次根式性质得，解出即可．
【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式；
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是最同类二次根式，熟知被开方数相同是解决本题的关键．
17.最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】12
【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：12．
18.二次根式化成最简结果为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．
【详解】解：由题意得，，
，
故选：B．
19.化简
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可；
（2）利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可．
【详解】解：（1）==；
（2） ==．
【点睛】本题考查二次根式化简，最简二次根式，掌握化简的方法是把被开方式分成偶次方与余下部分乘积是解题关键．
考点05：分母有理化
20. 二次根式的有理化因式可以是 ______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
根据分母有理化因式的特征进行解答即可．
【详解】解：，
∴二次根式有理化因式可以是，
故答案为：
21.化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
22. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式和二次根式分母有理化，注意最后要进行分母有理化．
按照解不等式的步骤进行即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
即；
故答案为：．
23. =（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案．
【详解】解：原式
故选：C．
24.小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
．
，
．
请你根据小辰的分析过程，解决如下问题：
(1)①化简___________．
②当时，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)①；②2；
(2)2025．
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化是关键．
（1）①进行分母有理数化即可；②原式变形后整体代入即可；
（2）把二次根式化简后，进行加减法求出的值，再代入代数式进行求值即可．
【详解】（1）解：（1）①；
②，
（2）
故
考点06：二次根式的运算
25. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可．
详解】解：原式
．
26. （2024-25曹杨二中附属学校八年级上期中）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
27. 已知：，，，__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，化简二次根式，分式的求值，先根据题意得到，进而得到，则可求出或（舍去），据此把代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：．
28. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，分式的化简求值，化简得到是解题的关键．
对已知进行化简得到，推出，，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：．
29. 先化简，再求值：已知,求的值
【答案】
【解析】
【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．
【详解】
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．
30. 已知：，，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用平方差公式分别计算出、的值，代入中计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
考点07：一元二次方程的概念与解法
31．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ．
【答案】2025
【详解】解：把代入，得
∴
故答案为：2025．
32. 已知当时，二次三项式的值是5，那么当时，这个二次三项式的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，根据题意求得，得出二次三项式为，再将代入，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：，
∴二次三项式为
∴当时，，
故答案为：．
33. 定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．
【详解】解： 与是“同族二次方程”，
，
，
∴，
，
最小值为，
最小值为，
即最小值为．
故答案为：．
34. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
首先把常数项移到等号右边，然后方程两边都加上一次项系数的一半的平方，配方即可．
【详解】解：移项，得，
配方，，
则．
故选：B．
35．（2024秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）若 ，则 ________．
【答案】2或3/3或2
【分析】将看成整体，利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：设，t≥0，
原方程化为t2﹣5t+6=0，
则（t﹣2）（t﹣3）=0，
∴t﹣2=0或t﹣3=0，
解得：t1=2，t2=3，
即=2或=3，
故答案为：2或3．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，会利用整体思想解方程是解答的关键．
36. 解方程．
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
37.. 用配方法解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴
∴．
38. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】去括号，移项并合并同类项，然后因式分解即可得到答案.
【详解】解：原方程整理得：，
∴
∴x-7=0或x+1=0，
解得：，.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的方法是解题的关键.
39. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
先整理方程，然后利用因式分解，求出答案．
【详解】解：根据题意得：
，
方程整理得：，
分解因式得：，
解得：，．
考点08：一元二次方程的根的判别式
40. 下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A. B. C. (b为常数)D. (b为常数)
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．
【详解】解：A、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意；
B、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意；
C、 (b为常数)的判别式为：，方程不一定有实数解，不符合题意；
D、 (b为常数)的判别式为：，方程一定有实数解，符合题意；
故选D．
【点睛】此题主要考查一元二次方程实数根的情况，正确利用根的判别式进行判断是解题关键．
41. 下列关于一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断．
【详解】解：A、，方程没有实数根；
B、，方程有两个相等的实数根；
C、，方程没有实数根；
D、△，方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．
42. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根；
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系可知，可知一元二次方程根的情况．
【详解】解：，
∵a、b、c是三角形三边的长，
∴，
∴，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
43. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可；
【详解】解：由题意得：
解得：且
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为；熟练运用根的判别式是解题关键．
44. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，取最大整数是________.
【答案】-1.
【解析】
【分析】方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b2-4ac＞0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围从而确定结果.
【详解】解：∵，
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴
解得k＜1，又∵k≠0，
∴实数k取最大整数是-1；
故填：-1.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
45. 已知的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是，那么为何值时，是等腰三角形？
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：①当，腰；②当为腰，分别求解即可．
【详解】解：①当a、b是腰时，则，
∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，
解得：，
∴该方程为，
解得：，
∴，
∵，
∴不能组成三角形；
②当为腰时，
∴是其中一根，
设另外一根为，
∴，，
解得：，或，，
，，或，，能组成三角形，
综上所述，为或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
46. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，求出取值范围即可；
（2）由且m为非负整数，得到或0，代入后求出方程的解，即可得出答案．
【小问1详解】
∵方程有两个不相等的实数根．
即有两个不相等的实数根．
∴．
解得；
【小问2详解】
∵且m为非负整数，
∴或0．
当时，原方程为 ．
解得，，它的根都是整数，符合题意；
当时，原方程为．
解得，，
∴它的根都是不整数，不符合题意；．
综上所述，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出的值和的范围是解此题的关键．
47. 已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：
（1）根据题意只需要证明即可；
（2）利用因式分解法求出方程的两个根为，再根据方程有一个不小于4的根列出不等式求解即可．
【小问1详解】
证明：由题意得，
，
∴无论取何值，方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
解得，
∵方程有一个不小于4的根，
∴，
∴．
考点09：一元二次方程的根与系数的关系
48.设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】2024
【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键．
【详解】解：是方程 的实数根，
,
,，
是方程的两个实数根，
，
，
故答案为：．
49.已知，且有及，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．2018
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案．
【详解】解：当时，，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴是关于t的方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：C．
50.若实数，满足，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：当时，实数，满足，，
∴可把，看成是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
当时，
∴，
综上可知：代数式的值为或，
故选：．
51．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴这个方程的根的判别式，
解得，
所以实数的取值范围为．
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得．
52.已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系，
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可；
（2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值；
解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围是且；
（2）∵取满足（1）中条件的最小整数，
∴，
此时方程变为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴
，
∴代数式的值为．
考点10：一元二次方程的应用
53. 在实数范围内因式分解 _____________.
【答案】
【解析】
【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x2+4x-3不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．
【详解】2x2+4x-3=0的解是x1=，x2=-，
所以可分解为2x2+4x-3=2（x-）（x-）．
即: 2x2+4x-3=.
故答案为:.
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
54. 在实数范围内因式分解：_____.
【答案】2（x-y）（x-y）．
【解析】
【分析】首先解关于x的方程，进而分解因式得出即可．
【详解】当2x2-3xy-y2=0时，
解得：x1=y，x2=y，
则2x2-3xy-y2=2（x-y）（x-y）．
故答案为2（x-y）（x-y）．
【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键．
55. 2024年10月1日，某高速路检票口车流量约500万辆次，10月2日该高速路检票口的车流量减少．假设从3日、4日车流量有所增加且增长率相同，预计10月4日该高速路检票口车流量达到648万辆次，设10月3日、4日车流量的增长率为x，那么可列方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设10月3日、4日车流量的增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设10月3日、4日车流量的增长率为x，根据题意得
故答案为：．
56. 某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒元降至每盒元．则降价的百分率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
设每次降价的百分率为，根据原价及现价，即可得出关于的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论．
【详解】解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（舍），
答：每次降价的百分率为．
故答案为：．
57. 同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）．
（1）直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m．
（2）现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度．
【答案】（1）8，
（2）过道的宽度为 2 米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）设正方形的边长为米，则，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【小问1详解】
解：设正方形的边长为米，则，
∵长与宽之比为，
∴，
解得，，
∴，，
故答案为：8，．
【小问2详解】
解：设过道的宽度为米，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴过道的宽度为2米．
58.某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件．
(1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
【答案】(1)平均下降率为
(2)单价应降低27元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键．
（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可．
【详解】（1）设平均下降率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
∵要减少库存，
∴．
答：单价应降低27元．
考点11：可化为一元二次方程的分式方程
59.用换元法解方程时，设则原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知方程变形后，将代入即可得到结果．
【解析】解：根据题意得：，即，
由，得到方程化为关于y的整式方程是，
故选：C．
60．用换元法解分式方程+1＝0时，如果设＝y，那么原方程可以变形为整式方程（　　）
A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝0
【答案】D
【分析】根据换元法，把换成y，然后整理即可得解．
【解析】解：∵＝y，
∴原方程化为．
整理得：y2+y﹣1＝0．
故选D．
【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
61．若关于x的分式方程无解，则m的值是______．
15．-1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，
整理得，，
是分式方程的增根，
即当时，把代入，
得：，此时分式方程无解，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
62.如果关于的方程无实数根，那么的值为 ．
【答案】6或14
【分析】本题考查了分式方程无解问题、实数，熟练掌握分式方程的解法步骤是解题的关键．对方程去分母化为整式方程，再解整式方程得到，根据关于的方程无实数根可知或，得到关于的方程，求解方程即可得出答案．
【详解】解：，
去分母，得：，
解得：，
关于的方程无实数根，
或，
或，
解得：或，
的值为6或14．
故答案为：6或14．
63．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ．
【答案】或
【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可．
【解析】解：将分式方程转化为整式方程为：，
整理得：，
∵分式方程无实数根，
①整式方程无实数根，则：，解得：；
②分式方程有增根，则：，
∴，
当时：，解得：，
当时：，解得：，
综上：m取值范围是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算．
64.若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根．
【答案】当时，；当时，；当时，
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有且仅有一个实数根，分情况讨论，即可确定出k的值即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以得：．
整理得：．
∴．
∵原方程只有一个实数根，
∴ ．
即．
解得：．
当时，原方程的根为：．
若整式方程中的，则增根为或，
当时，代入方程可得，，
此时方程，解得：（舍去）
当时，代入方程可得，，
此时方程为，解得：（舍去）
综上所述，当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了分式方程含参问题、一元二次方程根的情况，熟练掌握分式方程的计算方法和一元二次方程根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解题的关键．
65．解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方差两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∴，
∴或，
解得或，
检验，当时，，此时是原方程的增根，
当时，，此时是原方程的解，
∴原方程的解为．
考点12：直角三角形的性质与判定
66.如图，在中，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
67.如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图所示，连接，，
中，，，
．
是的垂直平分线，，
，
∴，
，即．
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，即．
故选：B．
68.如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、斜边中线定理、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、斜边中线定理、等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而可得，则可进行排除选项．
【详解】解：∵在等腰直角中，，，，
∴，，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴；故③正确；
故选D．
69.如图，在中，，M为中点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)若，求．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)1．
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练运用相关性质是解题的关键．
（1）由题意可知为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；
（2）由（1）可得：，根据等边对等角和三角形外角的性质得，，进而可得；
（3）设，由（2）可得，由，解出x的值，得，过点E作于点F，由即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴为直角三角形，
∵M为中点，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：，
由（1）可得：，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：设，由（2）可得：
，
∵，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
过点E作于点F，
∴，
∴．
考点13：角平分线
70．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ）

A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点
C．高的交点 D．内角平分线的交点
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案．
【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处，
故选：D．
71．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置．
【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处；
②三个外角两两平分线的交点，共三处，
∴中转站P可选择的点有共有4个．
故答案为：4．
72.如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出是解此题的关键；
过作于，由，，即可求得的长，然后由角平分线的性质，求得的长，继而求得答案．
【详解】解：过作于，
平分，，
，
，，
，
∵在中，，的平分线交于，
，
，
的面积是：．
故答案为：
73．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

【答案】/
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，

∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为；．
74.（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

【答案】/
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，

∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为；．
75.如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设，则有，，过点E作于点G，即可得到，然后根据可得，然后可得，则，根据，得到；同理可得，可证明，则，即可得到．
【详解】解：设，则，
∴，
∵，
∴，
过点E作于点G，过点F分别作的垂线，垂足分别为M、N，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
76.等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ．
【答案】5或
【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理．分为腰，为底两种情况，当为腰时，；当为底时，，利用勾股定理先求出，再求出，最后再利用勾股定理即可求出边的长．
【详解】解：分两种情况：
当为腰时，；
当为底时，则，
，
，
，
，
综上可知，边的长为5或．
故答案为：5或．
77.如图，在中，，，是的角平分线，E，F分别在，边上．，，连结，．若，则的面积是（　　）
A． B．24 C．30 D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，判定，得到，判定，推出，得到，求出，得到，由勾股定理求出，即可求出的面积．
【详解】解：过D作于H，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故选：D．
78.在中，，，，过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
【答案】或或
【分析】在中，通过解直角三角形可得出，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
则：，
沿过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，
设该直线与边交于点P．以下有三种情况：
①当时，
∴
②当时，
③当且点P在边上时，过点B作，垂足为D．
∴
∴
∴
∴．
综上所述：等腰三角形的面积可能为或或，
故答案为：或或
79．如图，，是中点，平分，求证：．
【答案】见解析
【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出．
【详解】证明：过M作于E，
∵平分，，，
∴，，
∵M为的中点，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．
，
∴，
，
，
，
．
即．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的意义，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解．
80．如图，，，
(1)求证：平分；
(2)若，求的值
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、三角形的面积公式，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
（1）过D点分别作，的垂线交于点E，F， 证明，得，根据角平分线判定定理即可解答；
（2）证明，，分别求出，，再根据四边形为正方形，得，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图，过D点分别作，的垂线交于点E，F，
，
在四边形中，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵平分，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
，，
∴，
∵
∴，
∴，
由（1），
，
∴．
考点14：勾股定理及其逆定理
81.已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答．
【详解】解：A．由，设，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意；
B．由可得，能判定是直角三角形，符合题意；
C．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意；
D．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意．
故选：B．
82.在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A．1，， B．6，8，10
C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5
【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．1，，不都是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B．62+82＝100＝102，故是勾股数，符合题意；
C．72+82≠92，故不是勾股数，不符合题意；
D．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
83．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝　2n2+2n　（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：c＝2n2+2n+1，a＝2n+1
∴b＝2n2+2n，
故答案为：2n2+2n
84．（2022秋 杨浦区期末）已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是　　
A．平方厘米 B．平方厘米 C．1平方厘米 D．平方厘米
【答案】
【分析】设直角三角形的两条直角边分别为厘米、厘米，由题意可得①，②，由①②求得，再求三角形的面积即可．
【解答】解：直角三角形斜边上的中线长为2厘米，
直角三角形的斜边长为4厘米，
直角三角形的周长为厘米，
直角三角形的两条直角边长和为厘米，
设直角三角形的两条直角边分别为厘米、厘米，
①，
又②，
由①②可得，，
平方厘米，
故选：．
【点评】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，完全平方公式是解题的关键．
85．（2023秋 普陀区期末）如图，在中，，，，点在边上，且，现将绕着点旋转得到△，点、、分别与点、、对应，连接，如果点在线段的延长线上，那么　　．
【答案】．
【分析】由勾股定理可求，，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，，，，
，
，
，
，
将绕着点旋转得到△，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
86．（2024秋 闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点．如果是直角三角形，那么的面积是 　　．
【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，即得的面积1；当时，过作于，设，则，可得，，又，即得，可解得，，即知，故的面积是．
【解答】解：当时，如图：
，，，
，
将折叠，使点与点重合，
，
的面积是；
当时，过作于，如图：
，，，
，
设，则，
将折叠，使点与点重合，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
的面积是；
故答案为：1或．
【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出边上的高．
87.在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．
（1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
【思路点拨】
此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论；
（2）设米，则米，根据勾股定理得到，解得，则米，即可求出原来的路线的长．
【解题过程】
（1）由题知：米，米，米，
∵，
∴在中：，
∴是直角三角形，，
则，
即是最近的路．
（2）设米，则米，
在中，根据勾股定理，
即，
解得，
则米，得：米．
88．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．
【分析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
【解答】解：连接BD，
∵∠A＝90°，
∴BD2＝AD2+AB2＝25，
则BD2+CD2＝132＝BC2，
因此∠CDB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ADB+S△CBD＝36（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米．
【点评】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．
89.如图，在中，，，D为上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设，则，根据勾股定理进而解答即可．
【详解】（1）证明：在中，
，
∴为直角三角形，即，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
90．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）如图，点P、Q为斜边的三等分点．
(1)如图1，若，，求斜边的长；
(2)如图2，若，求斜边的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并运用勾股定理．
（1）由勾股定理可得；
（2）过点作高线，再全等三角形的性质和判定和等腰三角形的判定与性质证明判定，最后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）在中，，
在中，，
在中，，
，
点、为斜边的三等分点，
，，
，
解得：，
答：斜边的长为；
（2）过作，交于点，
，
，
，，
点、为斜边的三等分点，
，
，
，即是等腰直角三角形，
，，
在中，，
，
，
解得：，
答：斜边的长为．
考点15：综合提升
91．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)是
(2)k的值为9
(3)或
【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程．
（1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断；
（2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值；
（3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
所以，，
，，
所以一元二次方程为“限根方程”，
故答案为：是；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
，
，即，
解得，，
当时，方程化为，
解得，，
，，
方程是“限根方程”，
当时，方程化为，
解得，，
，
方程化不是“限根方程”，
综上所述，的值为9；
（3）解：，
，
或，
解得或，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为或．
92.如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长．
(2)问t满足什么条件时，为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)厘米
(2)或
(3)2或6
【分析】此题主要考查了勾股定理，利用分类讨论的思想求出是解题关键．
（1）首先利用勾股定理计算出长，根据题意可得，再利用勾股定理计算出的长，进而可得的周长；
（2）当P在上运动时为直角三角形，由此可得；当P在上时，时，为直角三角形，首先计算出的长，然后再利用勾股定理计算出长，进而可得答案．
（3）分类讨论：当P点在上，Q在上；当P点在上，Q在上，分类讨论即可解答．
【详解】（1）解：，，，
，动点P从点C开始，按的路径运动，速度为每秒，
出发2秒后，则，，
，
的周长为：；
（2），动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，
在上运动时为直角三角形，
，
当P在上时，时，为直角三角形，
，
，
解得：，
，
，
速度为每秒，，
综上所述：当或，为直角三角形；
（3）当P点在上，Q在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，，
；
当P点在上，Q在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，，
，
当或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
93. 在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结．
（1）如图1，是等腰直角三角形，，求证：；
（2）如图2，是等边三角形，，求证：；
（3）如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线可知，根据三线合一可知，易得，即可得到是等腰直角三角形，求出答案即可；
（2）过点D作于G，作于H，连接AD，先根据三线合一得到，再根据角平分线的性质可得，易得，进而可得到答案；
（3）如图，延长至G，使，连接，过点G作于H，先判定是的垂直平分线，再运用勾股定理解决即可；
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点D是边BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2，过点D作于G，作于H，连接AD，则，
∵是等边三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
即，
∴，
即；
【小问3详解】
解：如图3，延长至G，使，连接，过点G作于H，
∵
∴是的垂直平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则
由勾股定理得：，
∴，
解得：（舍），，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三线合一，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解决此题关键是要合理作出辅助线．
94.已知与都是等边三角形．
(1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，若，，．试求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线．
（1）先由等边三角形的性质得出，然后利用“边角边”定理证明两三角形全等，进而得到
（2）连接，由等边三角形性质证得，于是可证两三角形全等，则得出然后证得为直角，最后由勾股定理即可证得结论．
（3）作交的延长线于点F，利用全等三角形性质、勾股定理、等边对等角即可求得结果．
【详解】（1）证明：与都是等边三角形，
在和中，
，
（2）证明：如图2，连接，
∵与都是等边三角形，
在和中，
（3）解：如图3，作交的延长线于点F，则，
解得，
的度数是

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