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课题 第1章 1.6 菱形 1.6.1 菱形的性质
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算. 2．培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力. 3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力. 4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想.
教学重点、 难点 教学重点：掌握菱形的定义和性质；掌握菱形面积的求法. 教学难点：灵活运用菱形的性质解决问题．
教学准备 多媒体课件、三角尺、剪刀、矩形纸片
教学过程 1.情境导入 如图，我们将一张长方形的纸如图(1)对折、再如图(2)对折，然后沿图(3)中的虚线剪下，打开，得到如图(4)这样的图形，你发现这是一个什么样的图形呢？ 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 这就是这节课我们要学习的另一类特殊的平行四边形——菱形. 2.讲授新课 1．矩形的定义： 下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？ 特点：它们的邻边相等. 菱形定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 符号语言：因为在ABCD中，AB=BC， 所以ABCD是菱形. 2．菱形的性质 菱形也是特殊的平行四边形，由此可知菱形具有平行四边形的所有性质，同时也有自身特色的性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，可以按照边、角、对角线及对称性四个方面去描述. 思考：菱形的四条边相等吗？ 如图，菱形ABCD中，AD=AB. 由于菱形是平行四边形， 因此AD=BC，AB=DC， 从而AD=AB=BC=DC. 由此得到菱形的性质定理1： 菱形的四条边相等. 探究：由于菱形是平行四边形，因此其对角线互相平分，除此之外，菱形的对角线还有什么关系？ 如图，菱形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O. 根据菱形的性质定理1得，DA=DC，BA=BC. 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”得，点D和点B都在线段AC的垂直平分线上. 因此直线DB是线段AC的垂直平分线， 从而DB⊥AC. 由此得到菱形的性质定理2： 菱形的对角线互相垂直. 由于菱形是平行四边形，因此菱形是中心对称图形，对角线的交点是菱形的对称中心. 做一做： 填空： 把图中的菱形ABCD作关于直线DB的轴对称，则 （1）点A的像是点C，点C的像是点A，点D的像是点D，点B的像是点B； （2）边AD的像是边CD，边CD的像是边AD，边AB的像是边CB，边CB的像是边AB. 由上述操作可发现：菱形ABCD关于直线DB轴对称的像与它自身重合.同理，菱形ABCD关于直线AC轴对称的像也与它自身重合. 由此可得：菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 思考：由前面菱形的折纸过程，我们还可以得到菱形的其他性质吗？ 可以得出：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角. 论证：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB相交于点O.对角线AC、DB的位置关系怎样？BD平分∠ADC和∠ABC、AC平分∠DAB和∠DCB吗？ 解：因为 四边形ABCD是菱形，所以DA=DC， 所以点D在线段AC的垂直平分线上， 又因为点O为线段AC的中点， 所以直线DO(即直线DB)是线段AC的垂直平分线， 所以AC⊥DB，∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC， 同理：BD平分∠ABC， 同理：AC平分∠DAB和∠DCB. 由此得到： 菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角. 3．利用对角线计算菱形面积 因为S菱形ABCD=S△ADC+S△ABC，且AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， 所以S菱形ABCD=AC·DO+AC·BO=AC(DO+BO) =AC·BD. 例1：如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD的面积和周长. 解：菱形ABCD的面积为S=×4×3=6(cm2). 在Rt△ABO中，OA=AC=×4=2(cm)， OB=BD=×3=1.5(cm)， 所以AB====2.5(cm)， 因此，菱形ABCD的周长为2.5×4=10(cm). 3.课堂练习 1．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE=CF. 证明：连接AC， 因为四边形ABCD是菱形， 所以AC平分∠DAE. 因为CE⊥AB，CF⊥AD， 所以CE=FC. 方法总结：关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE//DB，过点B作BE//AC，CE与BE相交于点E. (1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 在直角△OCD中，OC===4(cm). (2)因为CE//DB，BE//AC， 所以四边形OBEC为平行四边形， 又因为AC⊥BD，即∠COB=90°， 所以平行四边形OBEC为矩形. 因为OB=OD=4cm， 所以S矩形OBEC=OB·OC=4×3=12(cm2)． 方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题． 3．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是( ) A．16 B．8 C．4 D．8 解析：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°. 因为∠BAD=120°，所以∠ABC=60°， 所以△ABC是等边三角形，所以AB=AC=4， 所以OB===2， 所以BD=2OB=4， 所以菱形ABCD的面积=AC·BD=×4×4=8. 故选B. 方法总结：菱形的面积为两对角线长的积的一半，菱形的对角线平分对角． 4．已知：如图①，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE=DF，易知△ADE≌△DBF. 探究：如图②，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE=DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由． 拓展：如图③，在ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度数． 解：探究：△ADE和△DBF全等． 因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD. 因为AB=BD，所以AB=AD=BD， 所以△ABD为等边三角形， 所以∠DAB=∠ADB=60°. 因为AE=DF，所以△ADE≌△DBF； 拓展：因为点O在AD的垂直平分线上， 所以OA=OD，所以∠DAO=∠ADB=50°， 所以∠EAD=∠FDB. 因为AE=DF，AD=DB，所以△ADE≌△DBF， 所以∠DEA=∠AFB=32°， 所以∠EDA=50°-32°=18°. 方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，比较综合，但难度不大，一定要熟悉相关的基础知识，才能更快地解决问题．. 4.课堂小结 1．菱形及其性质 菱形（特殊的平行四边形）基本图形定义一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 性 质具有平行四边形的一切性质，即对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. 定理四条边都相等，即AB=BC=CD=AD.对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.即BD⊥AC,∠ADB=∠BDC，∠DAC=∠BAC等.对称性菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
2．解题策略 (1)菱形的面积： ①面积=底×高； ②S菱形ABCD=4S△ABO=4×AO·BO=2×AC·BD=AC·BD， 即菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半. (2)若菱形有一个内角为60°，则60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形. 5.板书设计 1．菱形的性质 菱形的四条边都相等 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 2．菱形的面积 S菱形=边长×对应高=ab(a，b分别是两条对角线的长)
教学设计 反思 通过折纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数的我们加以引导．在整个新知生成过程中，这个活动起了重要的作用．学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维的状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.

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