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2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
期末复习满分冲刺讲义（压轴篇）
题型一：概念辨析
题型二：求值与范围
题型三：平移旋转翻折
题型四：新定义问题
题型五：分式方程的应用题
题型六：乘法公式的应用
题型七：分式综合
题型八：图形运动综合
题型一：概念辨析
1、下列说法正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是3 B．是一次单项式
C．单项式次数是0，系数是0 D．单项式的系数是
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 的次数是2 B. 的系数是1
C. 是二次三项式 D. 的一次项是
3. 下列判断中错误是（ ）
A. 与是同类项 B. 是三次三项式
C. 单项式的系数是 D. 是分式
4. 关于代数式，下列说法正确的是（ ）
A. 的值一定是0 B. 的值一定是1
C. 当时，的值是1 D. 当时，的值是1
5.如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
6. 下列说法错误的是（ ）
A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等
B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等
C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形
D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分
6. 下列说法中正确的是（ ）
A. 如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称
B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等
C. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形
D. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形
题型二：求值问题
7. 如果，那么_______．
8. 已知，那么代数式的值是___________．
9. 已知为整数，且，．求的值．（用含、的代数式表示结果）
10. 已知，则__________．
11.若分式，则分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
12.若已知分式的值为0，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．1
13. 已知：，求的值．
14.若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，则_______；
(2)如果，求的值；
(3)如果，求的值．
题型三：平移旋转翻折
15. 如图，三角形的周长为8cm，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移3cm到三角形的位置，则五边形的周长为___________．
16. 如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么_______．
17. 如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点在同一条直线上，点也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为_______．
18. 如图，在长方形中，，，，如果将长方形绕着点顺时针旋转90°，那么长方形扫过的面积是____．（结果保留）
18. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，），当，且点E在直线的上方时，满足三角尺有一条边与斜边平行，那么此时______．
19．如图，在中，，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，连接，则的面积是 ．
题型四：新定义问题
20. 对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________．
21. 规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的代数式、，有．那么当，时，的值是________．
22. 我们规定符号的意义是：．先化简，后求值：，其中．
23. 定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是______．
24．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定．
例如，；．
若为有理数，请解答下列问题：
(1)若是一个完全平方式，求的值；
(2)若，，求的值．
题型五：分式方程的应用题
25. 金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？
26. 某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
27. 甲乙两地间的一条公路全长为千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时，结果小汽车与公共汽车同时到达乙地.已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度．
28. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
题型六：因式分解与乘法公式的应用
29. 【阅读材料】
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
30．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)已知，则_____；
(2)如果是一个完全平方式，求的值；
(3)若满足，求的值．
31．两个边长分别为和的正方形（）如图放置（图，，），若阴影部分的面积分别记为，，．
(1)用含，的代数式分别表示，，；
(2)若，，求的值；
(3)若对于任意的正数、，都有（为常数），求，的值．
题型七：分式综合
32. 阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
（1）分式是______；（填“真分式”或“假分式”）
（2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______；
（3）将假分式化为带分式．
33. 阅读理解
材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
… ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是整式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．
如：.
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）；
当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，求代数式值的范围．
34．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”；
(2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
35.阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______＋______．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
(3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
题型八：图形运动综合
36. 如图，在三角形中，，四边形是边长为6的正方形，且、、分别在边、、上．把三角形绕点逆时针旋转一定的角度．
（1）当点与点重合时，点的对应点落在边上，此时四边形的面积为______；
（2）当点的对应点落在线段上时，点的对应点为点，在旋转过程中点经过的路程为，点经过的路程为，且，求线段的长．
37. 如图，已知长方形，，，E是中点，连接；将绕点旋转（其中分别与对应）使得落在直线BC上，得．
（1）画出满足条件的；
（2）　　　　　　
（3）连接，求的面积
38. 如图，点为边长为的正方形的边延长线上一点，，连接，将绕着正方形的顶点旋转得到．
（1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数：
（2）连接，求的面积：
（3）如图中，可以看作由先绕着正方形的顶点B顺时针旋转，再沿着方向平移个单位的二次基本运动所成，那么是否还可以看作由只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由．2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
期末复习满分冲刺讲义（压轴篇）
题型一：概念辨析
题型二：求值与范围
题型三：平移旋转翻折
题型四：新定义问题
题型五：分式方程的应用题
题型六：乘法公式的应用
题型七：分式综合
题型八：图形运动综合
题型一：概念辨析
1、下列说法正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是3 B．是一次单项式
C．单项式次数是0，系数是0 D．单项式的系数是
【答案】A
【分析】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．直接根据单项式的系数和次数的定义进行解答即可．
【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故A选项符合题意；
B、是单项式，但次数为0，故B选项不符合题意；
C、单项式次数是1，系数是1，故C选项不符合题意；
D、单项式的系数是，故D选项不符合题意．
故选：A．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 的次数是2 B. 的系数是1
C. 是二次三项式 D. 的一次项是
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了整式和单项式的含义，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，整式中每个单项式是整式的项，最高次项的次数是整式的次数．利用单项式的系数与次数和整式的项与次数的含义进行解答即可．
【详解】解：A． 的次数是3，故选项A说法错误；
B． 是整式，故选项B说法错误；
C． 是二次三项式，故选项C说法正确；
D． 的一次项是，故选项D说法错误．
故选：C．
3. 下列判断中错误是（ ）
A. 与是同类项 B. 是三次三项式
C. 单项式的系数是 D. 是分式
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式以及分式的有关概念．根据同类项概念和单项式的系数以及整式的次数的概念，分式的定义，分析判断．
【详解】A. 与是同类项，故该选项正确，不符合题意；
B. 是三次三项式，故该选项正确，不符合题意；
C. 单项式的系数是，故该选项正确，不符合题意；
D. 是整式，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
4. 关于代数式，下列说法正确的是（ ）
A. 的值一定是0 B. 的值一定是1
C. 当时，的值是1 D. 当时，的值是1
【答案】D
【解析】
【分析】根据当时，有意义，且，即判断即可．
【详解】解：有意义的条件是：
，
解得，
即当时，
故选：D．
【点睛】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键．
5.如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为
，
所以分式的值扩大为原来的2倍，
故选：A．
6. 下列说法错误的是（ ）
A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等
B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等
C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形
D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质，利用平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质逐一分析探讨得出答案即可．
【详解】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故原说法正确，不符合题意；
B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故原说法正确，不符合题意；
C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意；
D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴所在直线垂直平分，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
6. 下列说法中正确的是（ ）
A. 如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称
B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等
C. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形
D. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可．
【详解】A、只有旋转后重合才是中心对称，故此选项错误；
B、对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故错误；
C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它可能是中心对称图形，也可能不是中心对称图形，故错误；
D、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它是中心对称图形，故正确；
故选：D．
【点睛】此题考查中心对称图形，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；掌握中心对称图形的定义及性质即可正确判断．
题型二：求值问题
7. 如果，那么_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查代数式求值，先把变形为，再把变形为，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为：．
8. 已知，那么代数式的值是___________．
【答案】7
【解析】
【分析】去括号，合并同类项，再代入求值即可．
【详解】解：
原式
故答案为：7．
【点睛】本题考查了整式的化简和整体代入法求值；解题的关键是去括号，根据已知构造相同整式．
9. 已知为整数，且，．求的值．（用含、的代数式表示结果）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，涉及负整数指数幂、积的乘方，根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，结合完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
10. 已知，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】先对所求式子进行化简，然后整体代入求值．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体思想的应用．
11.若分式，则分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．
12.若已知分式的值为0，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．1
【答案】D
【分析】根据分式值为零的条件可得：，且，再求负整数指数幂，即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
13. 已知：，求的值．
【答案】7
【解析】
【分析】利用负整数指数幂将原式变形为，运用完全平方公式两边平方，化简即可求值．
【详解】解：
即：
【点睛】本题主要考查负整数指数幂、完全平方公式及整体代入法；掌握负整数指数幂、熟练运用公式是解题的关键．
14.若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，则_______；
(2)如果，求的值；
(3)如果，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解；
（）根据幂的乘方法则计算即可；
（）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可；
本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（3）∵，
∴，
，
∴，
∴，
解得：．
题型三：平移旋转翻折
15. 如图，三角形的周长为8cm，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移3cm到三角形的位置，则五边形的周长为___________．
【答案】14cm
【解析】
【分析】根据平移的性质得到cm，，再将五边形的五条边相加即可得到周长．
【详解】解：根据题意得：cm，，
三角形的周长为8cm，
cm，
cm，
五边形的周长cm，
故答案为：14cm．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
16. 如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，平移的性质，根据折叠的性质得到，由平移的性质得到，，对进行等量代换即可得到结论．
【详解】解：将沿直线折叠，使点落在点处，
，
向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，
，，
阴影部分的周长为，
则，
故答案为：．
17. 如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点在同一条直线上，点也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意分类讨论；当在内部时，得出，当在外部时，结合图形，即可求解．
【详解】解：如图所示，当在内部时，
∵，，
∴
∴，
如图所示，当在外部时，
∵，，
∴
∴，
综上所述，的度数为或．
故答案为： 或．
18. 如图，在长方形中，，，，如果将长方形绕着点顺时针旋转90°，那么长方形扫过的面积是____．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出图形，由图可得进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵旋转角为，
∴，
∴，
则长方形扫过的面积是
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质以及扇形的面积计算，将长方形扫过的面积转化为长方形的面积+扇形的面积是解题的关键．
18. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，），当，且点E在直线的上方时，满足三角尺有一条边与斜边平行，那么此时______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，分类讨论、、，画出对应的图形，理由平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图1：当时：
则
∵
∴
如图2：当时：
此时：
如图3：当时：延长交于点
则
∴
∴
综上所述：或或
故答案为：或或
19．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，连接，则的面积是 ．
【答案】或
【分析】此题考查了旋转的性质，分逆时针与顺时针旋转两种情况根据旋转的性质即可得到结论．
【详解】解：
∵在中，，，，，
∴，h表示斜边上的高，
，
，
如图所示：
当点落在线段上时，如图中所示，
∴，
∴，
∴，
当点落在直线的延长线上时，如图中所示，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
题型四：新定义问题
20. 对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，分式加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案．
【详解】，
，
，
．
故答案为：．
21. 规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的代数式、，有．那么当，时，的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，零次幂的含义，根据新定义运算可得，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，
当，时，
；
22. 我们规定符号的意义是：．先化简，后求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查新定义，分式的化简求值，根据负整数指数幂的意义，把问题转化为分式的化简求值．解题的关键是理解新定义，掌握分式的运算法则．
【详解】解：
，
当时，原式．
23. 定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，解分式方程，先求出分式方程的解，再根据和解方程的定义列出关于的分式方程，解方程即可求解，理解和解方程的定义是解题的关键．
【详解】解：解分式方程得，，
∵关于的分式方程是和解方程，
∴，
∴，
故答案为：．
24．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定．
例如，；．
若为有理数，请解答下列问题：
(1)若是一个完全平方式，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键：
（1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值；
（2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解．
【详解】（1）解： ．
因为是一个完全平方式，
所以．所以或．
（2）因为，
所以．
所以．
因为，
所以．
所以.
题型五：分式方程的应用题
25. 金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？
【答案】15千米/时
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、解答关键是理解题意，找到对应关系式．设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时，根据题意列分式方程求解即可．
【详解】解：设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：骑脚踏车学生的速度为15千米/小时；
26. 某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
【答案】（1）360；（2）3元
【解析】
【分析】（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，然后根据一共花了900元，列出方程求解即可；
（2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，然后根据用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，列出方程求解即可．
详解】解：（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，
由题意得：x+180+x=900，
解得：x=360，
∴购买甲种礼品一共用去360元，
故答案为360；
（2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，
由题意得：，
解得：y＝3，
经检验，y＝3是原方程的根，并符合题意，
答：乙种礼品的单价是3元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程求解．
27. 甲乙两地间的一条公路全长为千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时，结果小汽车与公共汽车同时到达乙地.已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度．
【答案】公共汽车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时
【解析】
【分析】设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为千米/小时，根据时间列方程即可得到答案．
【详解】解：设公共汽车的速度为x，则小汽车的速度为，由题意可得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：公共汽车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时．
【点睛】本题考查分式方程解决行程问题，解题关键是找到等量关系式．
28. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【答案】（1）甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米
（2）甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元
【解析】
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意列出分式方程，解方程求解即可；
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，根据题意列一元一次方程求解即可
【小问1详解】
设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
【小问2详解】
设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，
由题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元；
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
题型六：因式分解与乘法公式的应用
29. 【阅读材料】
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4)
【解析】
【分析】(1)由 从而可得答案；
(2)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；
(3)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；
(4)由 化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．
【详解】解：(1)
故答案为：
(2)
(3)
(4)
的最小值是
【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．
30．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)已知，则_____；
(2)如果是一个完全平方式，求的值；
(3)若满足，求的值．
【答案】(1)2
(2)7或
(3)80
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键．
（1）由得，即可代值求解；
（2）由题意得或，即可求解；
（3）由，据此即可求解.
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
（2）解：∵是一个完全平方式，
即是一个完全平方式，
∴或．
解得或．
所以的值为7或．
（3）解：∵，
而，
，
∴．
∴．
31．两个边长分别为和的正方形（）如图放置（图，，），若阴影部分的面积分别记为，，．
(1)用含，的代数式分别表示，，；
(2)若，，求的值；
(3)若对于任意的正数、，都有（为常数），求，的值．
【答案】(1)；；
(2)
(3)，
【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是a-b；图2中，两个正方形的面积的和减去两个白色三角形的面积的和；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2．
（2）把，，代入（1）中，便可解出，再根据完全平方公式的变形，即可求解；
（3）把（1）中的三个等式代入，经过整理，即可求解．
（1）
解：图中，阴影的边长都是，所以；
图中，阴影面积；
图中，．
（2）
解：当，时，
，
解得，，
∴，
（3）
解：因为；；．
对于任意的正数、，都有为常数，
∴，
整理得：，
由于，为常数，故由待定系数法得：
，，
解得，．
【点睛】本题考查完全平方公式与正方形相结合解决问题的能力，（3）问，考查式子的变形能力，从而求得m，k值．
题型七：分式综合
32. 阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
（1）分式是______；（填“真分式”或“假分式”）
（2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______；
（3）将假分式化为带分式．
【答案】（1）真分式 （2）；或或或；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的约分：
（1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解；
（2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案；
（3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，分式是真分式；
【小问2详解】
解：；
∵的值是整数，
∴是整数，
∴是整数，
∴或，
∴或或或；
【小问3详解】
解：
．
33. 阅读理解
材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
… ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是整式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．
如：.
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）；
当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，求代数式值的范围．
【答案】（1）减小；减小
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可；
（2）由，即可求解；
（3）由，再结合的取值范围即可求解.
【小问1详解】
解：∵当时，随着的增大而减小，
∴随着的增大，的值减小；
∵当时，随着的增大减小，
∵
∴随着的增大，的值减小.
故答案为：减小；减小.
【小问2详解】
∵，
∵当时，的值无限接近，
∴的值无限接近.
【小问3详解】
∵，
又∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键.
34．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”；
(2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
【答案】(1)A与B是“完美分式”，且“完美值”；
(2)①；②．
【分析】（1）先计算，再根据结果可得m的值；
（2）①由“完美分式”及“完美值”的定义可得，再整理即可求出所代表的代数式；②由，可确定，再根据为正整数，分式的值为正整数，即可解答；
【详解】（1）解：∵，
∴A与B是“完美分式”，且“完美值”；
（2）解：①∵与互为“完美分式”，
∴，
，
，
∴；
②∵，
∴．
∵为正整数，分式的值为正整数，
∴．
【点睛】本题考查的是新定义运算，分式的加减运算．读懂题意，理解“完美分式”和“完美值”的定义是解题关键．
35.阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______＋______．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
(3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
【答案】(1)①真；②，
(2)，或或或
(3)36
【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值；
（3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可．
【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
②，
故答案为：，；
（2）解：
若这个分式的值为整数，
则或或或，
∴或或或；
（3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为，
则个位数字为，，，
，
，
，
，
，
当时，
为正整数，
，
当时，且为正整数，
不可能为整数，
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型八：图形运动综合
36. 如图，在三角形中，，四边形是边长为6的正方形，且、、分别在边、、上．把三角形绕点逆时针旋转一定的角度．
（1）当点与点重合时，点的对应点落在边上，此时四边形的面积为______；
（2）当点的对应点落在线段上时，点的对应点为点，在旋转过程中点经过的路程为，点经过的路程为，且，求线段的长．
【答案】（1）36 （2）14
【解析】
【分析】（1）由旋转可知，，所以等于正方形的面积，求解即可；
（2）由得，求出，再结合即可求解．
【小问1详解】
解：由旋转可知，，
由题意可知，，
，
故答案为：36；
【小问2详解】
如图：
设旋转角为，
则，，
，
，
，
，
∵点的对应点落在线段上，
，
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，熟练利用旋转的性质是解题的关键．
37. 如图，已知长方形，，，E是中点，连接；将绕点旋转（其中分别与对应）使得落在直线BC上，得．
（1）画出满足条件的；
（2）　　　　　　
（3）连接，求的面积
【答案】（1）见解析 （2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形；
（2）根据（1）中的不同位置，分类求解即可；
（3）根据（1）中的不同位置，分类计算的面积即可；
【小问1详解】
解：将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形；如图，即为所求；
【小问2详解】
解：∵E是的中点
∴
由旋转的性质可得：，,
由此易得：三点共线；
当为绕点顺时针旋转所得时；
当为绕点逆时针旋转所得时；
故答案为：或
【小问3详解】
解：当为绕点顺时针旋转所得时；
当为绕点逆时针旋转所得时；
综上，的面积为或；
【点睛】本题考查了图形的旋转；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
38. 如图，点为边长为的正方形的边延长线上一点，，连接，将绕着正方形的顶点旋转得到．
（1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数：
（2）连接，求的面积：
（3）如图中，可以看作由先绕着正方形的顶点B顺时针旋转，再沿着方向平移个单位的二次基本运动所成，那么是否还可以看作由只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由．
【答案】（1）旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）5；（3）可以，图见解析，绕点O顺时针旋转90°得到
【解析】
【分析】（1）根据图形和正方形的性质即可得出结论；
（2）根据正方形的性质和旋转的性质可得AD=DC=BC=3，DF=BE=1，从而求出EC和CF，最后利用=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF即可求出结论；
（3）根据旋转中心、旋转方向和旋转角的定义即可得出结论．
【详解】解：（1）由图易知：由到的旋转方向为逆时针旋转，
∵四边形ABCD为正方形
∴∠BAD=90°
即旋转角为90°
综上：旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；
（2）∵正方形ABCD的边长为3，
∴AD=DC=BC=3，DF=BE=1
∴EC=BE＋BC=4，CF=DC－DF=2
∴=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF
=DC（AD＋EC）－AD·DF－EC·CF
=×3×（3＋4）－×3×1－×4×2
=
=5；
（3）可以，
∵在和中，点A的对应点是点D，点B的对应点是点A，点E的对称点是点G
∴作线段AD的对称轴和线段BA的对称轴交于点O，根据旋转中心的定义，由到，点O即为旋转中心，由图易知旋转方向为顺时针旋转
连接OA、OB，则∠BOA=90°
即旋转角为90°
综上：绕点O顺时针旋转90°得到．
【点睛】此题考查的是图形的旋转，掌握旋转的性质、旋转中心、旋转方向和旋转角的定义是解题关键．

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