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课题 第4章 4.2 方差
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 ①了解离差平方和、方差的定义和计算公式. ②理解离差平方和、方差概念的产生和形成过程. ③会用离差平方和、方差计算公式来比较两组数据的波动大小.
教学重难点 重点： 方差产生的必要性和应用离差平方和、方差公式解决实际问题，掌握其求法. 难点： 理解离差平方和、方差公式，应用离差平方和、方差对数据波动情况的比较、判断.
教学准备 多媒体课件
教学过程 一、情境导入 我们学习了数据分析的一些知识，平均数、中位数、众数是三个不同的代表数，可描述数据的数值的一半水平或几种趋势. 在数据分析中海油其他情况出现：如数据与其平均数的偏离程度.如何分析数据的稳定性？ 二、合作探究 思考：刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. （1）两人的平均成绩分别是多少？ （2）如何反映这两织数据与其平均数的偏离程度？ （1）刘亮成绩的平均数是=8； 李飞成绩的平均数是=8. 即两人的平均成绩相同. （2）为了直观地看出这两组数据与其平均数的偏离程度，可以用下图来表示数据的分布情况. 由上面两幅图可以发现，刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近，而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 探究：如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的各个数据与平均数的偏差之和为（x1-）+（x2-）+…+（xn-）=0.这时由于出现了正负偏差抵消的情况，因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度. 为解决这一问题，可以用各个数据与的差的绝对值之和，或者利用各个数据与的差的平方和来刻画这组数据的离散程度. 例如，有两组数据：(1)4，5，6，7，8；(2)3，6，6，6，9. 对于(1)，这组数据的平均数为6，则这组数据与的差的绝对值之和、这组数据与的差的平方和分别为 |4-6|+|5-6|+|6-6|+|7-6|+|8-6|=6， (4-6) +(5-6) +(6-6) +(7-6) +(8-6) =10. 对于(2)，这组数据的平均数为6，则这组数据与的差的绝对值之和、这组数据与的差的平方和分别为 |3-6|+|6-6|+|6-6|+|6-6|+|9-6|=6， (3-6) +(6-6) +(6-6) +(6-6) +(9-6) =18. 由此受到启发，我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作S2，即 S =(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2. ① 离差平方和S刻画了一组数据与其平均数的总离散程度. 为了刻画一组数据与其平均数的平均离散程度，引入下述概念： 设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作s2，即 s = [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. ② 由①式和②式得，s =. 一组数据的方差越小，表明这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定. 例1：分别计算本节“思考”栏目中，刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定. 解：由前面的计算可知，刘亮和李飞的射击平均成绩均为8环，从而刘亮的射击成绩的离差平方和是 =(7-8) +(8-8) +(8-8) +(9-8) +(7-8) +(8-8) +(8-8) +(9-8) + (7-8) +(9-8) =1+1+1+1+1+1 =6， 于是方差= ==0.6. 李飞的射击成绩的离差平方和是 =(6-8) +(8-8) +(7-8) +(7-8) +(8-8) +(9-8) +(10-8) +(7-8) + (9-8) +(9-8) =4+1+1+1+4+1+1+1 =14， 于是方差= =1.4. 计算结果表明,<,因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定. 例2：有两个女声小合唱队，各由5名队员组成，她们的身高（单位：cm）为： 甲队：160，162，159，160，159； 乙队：169，165，157，150，164. 试判断哪队队员身高比较整齐. 解：甲队队员的平均身高是 = (160+162+159+160+159)=160(cm). 甲队队员身高的离差平方和是 =(160-160) +(162-160) +(159-160) +(160-160) +(159-160) =6， 于是方差= =1.2. 乙队队员的平均身高是 = (169+165+157+150+164)=161(cm). 乙队队员身高的离差平方和是 =(169-161) +(165-161) +(157-161) +(150-161) +(164-161) =226， 于是方差= =45.2. 计算结果表明,<,因此，甲队队员的身高比较整齐. 在计算一组数据x1，x2，…，xn，离差平方和S2时，除了可利用①式外，还可以利用下述公式： S2=(++…+)-n. 又方差s2=，于是s2=(++…+)-. 当一组数据个数很多时，求离差平方和与方差的运算量很大，于是常常借助计算器来求. 三、巩固应用 1.已知一组数据：1，3，5，5，6，求这组数据的方差. 解：=（1+3+5+5+6）=×20=4， s2=×[（1-4）2+（3-4）2+（5-4）2×2+（6-4）2] =×（9+1+2+4）=3.2. 方法总结：计算一组已知数据的方差，应先求出这组数据的平均数，再利用方差公式s = [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]进行计算．在计算方差时，要先计算平均数，因此，记忆方差的方法是：先平均、再作差、平方后、再平均．这12个字是对方差计算公式的最好注释. 2.如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是( A ) A．3 B．8 C．9 D．14 解析：方差反映一组数据的波动大小，显然数据x1，x2，…，xn与数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的波动大小相同，因此它们的方差相等，所以数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是3，故选A. 方法总结：方差反映一组数据的波动大小，一组数据同时加上(或减去)同一个数，方差不变.但是如果把一组数据同时乘(或除)同一个绝对值不等于1的数，方差会发生改变. 3.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是s2甲＝0.65，s2乙＝0.55，s2丙＝0.50，s2丁＝0.45，则射箭成绩最稳定的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：甲、乙、丙、丁四人中丁的方差最小，所以射箭成绩最稳定的是丁.故选D. 方法总结：本题考查了方差的意义，在平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定. 4.为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度如下表所示(单位：厘米)： 编号12345甲1213151510乙1314161210
通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐. 解：x甲＝(12＋13＋15＋15＋10)÷5＝13， x乙＝(13＋14＋16＋12＋10)÷5＝13， s2甲＝[(12-13)2＋(13-13)2＋(15-13)2＋(15-13)2＋(10-13)2]＝3.6， s2乙＝[(13-13)2＋(14-13)2＋(16-13)2＋(12-13)2＋(10-13)2]＝4. 因为s2甲＜s2乙，所以甲种水稻出苗更整齐. 方法总结：要比较两个品种谁更整齐，首先应比较它们的平均水平，如果平均水平相同，再看方差，方差越小越整齐. 5.为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下(单位：秒)，你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好？说说你的理由. 12345678910甲种手表-342-1-2-21-221乙种手表-41-2141-2-1-2-2
解：甲种手表走时稳定性好，理由如下： x甲＝(|-3|＋4＋2＋|-1|＋|-2|＋|-2|＋1＋|-2|＋2＋1)＝2， x乙＝(|-4|＋1＋|-2|＋1＋4＋1＋|-2|＋|-1|＋|-2|＋|-2|)＝2， s2甲＝[(2-3)2＋(2-4)2＋(2-2)2＋(2-1)2＋(2-2)2＋(2-2)2＋(2-1)2＋(2-2)2＋(2-2)2＋(2-1)2]＝0.8， s2乙＝[(2-4)2＋(2-1)2＋(2-2)2＋(2-1)2＋(2-4)2＋(2-1)2＋(2-2)2＋(2-1)2＋(2-2)2＋(2-2)2]＝1.2. 因为s2甲＜s2乙，所以甲种手表走时稳定性好. 方法总结：要比较甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好，需比较它们的方差，方差越小越稳定. 6.为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射击5次，命中的环数如下(单位：环)： 命中环数78910甲命中相应环数的次数2201乙命中相应环数的次数1310
为确保比赛时的水平能比较稳定地发挥，应选谁参加比赛？ 解：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为 x甲＝(7×2＋8×2＋10×1)＝8， x乙＝(7×1＋8×3＋9×1)＝8， s2甲＝[2×(7-8)2＋2×(8-8)2＋(10-8)2]＝1.2， s2乙＝[(7-8)2＋3×(8-8)2＋(9-8)2]＝0.4. 因为s2甲＞s2乙， 所以乙同学的射击成绩比较稳定，应选乙参加比赛． 方法总结：确定比赛人选时，要看制定的目标，如果为了确保比赛时的水平能稳定地发挥，则应比较方差的大小；如果为了冲击水平较高的金牌，一般可选取训练时单次水平最高的人参加. 四、板书设计 1.设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作S2，即 S =(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2 2.设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作s2，即 s = [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 3.方差的意义：一组数据的方差越小，说明这组数据离散或波动的程度就越小，这组数据也就越稳定. 4.求方差的一般步骤：先求平均数，再求每个数与平均数的偏差，然后求偏差的平方，最后求偏差平方的平均值.
教学设计反思 在教学过程中，通过情境引入，引导学生观察、思考，经历数学概念（方差）的生成过程.通过实例说明如何求一组数据的方差，引导学生得出方差的一般步骤：先求平均数，再求每个数与平均数的偏差，然后求偏差的平方，最后求偏差平方的平均值.通过实际问题利用方差进行决策，既强化学生掌握方差的计算方法，又让学生进一步理解方差的实际意义，这样突出重点，突破难点.

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