资源简介

(共37张PPT)
第一章 三角形的证明
1.5.2三角形的角平分线
01
教学目标
02
知识回顾
03
问题导入
04
探究新知
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
01
教学目标
通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质。
01
能准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.
02
通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题．
03
02
复习导入
角平分线
角平分线性质定理
角平分线判定定理
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
∵P在∠AOB的内部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴OP平分∠AOB.
文字语言
符号语言
02
复习导入
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(课本第38页例题2）
(1)如果CD=4cm,AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
02
复习导入
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
∴ ∠B=45°
∴ ∠BDE=45°
∴ BE=DE=4（等角对等边）
在等腰RT△BDE中，由勾股定理得
E
D
A
B
C
02
复习导入
E
D
A
B
C
(2)证明：∵ DE⊥AB,DC⊥AC
∴在Rt△ACD和Rt△AED中
DE=CD
AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE( 全等三角形对应边相等）
又∵BE=DE=CD
∴ AB=AE+BE=AC+CD
03
问题导入
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？
04
新知探究
问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？
问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？
问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？
1：分别作出△ABC的三条角平分线
04
新知探究
发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 并且这点到三边的距离相等
04
新知探究
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．且PD=PE=PF
04
新知探究
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC平分线，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点,且PD=PE=PF
04
新知探究
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
几何语言
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
04
新知探究
三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同
三条边的垂直平分线 三个角的平分线
锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心） 到三角形三边的距离相等（内接园圆心）
03
新知探究
问题解决：如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？
P
由于三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。所以作三角形的角平分线.其交点P就是凉亭的位置，如图所指示.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
2．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC C．FA = FB
D．点F到三角形三边的距离都相等
C
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
AD过点P，且与AB垂直．若AD=8,BC=10，则△BCP
的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BD=
2CD,点D到AB的距离是5.6，则BC= .
C
16.8
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列
结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC
C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
D
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
C
解答提示：过A点作BC的垂线交BC于E，交CD于P,过P点作AC的垂线交AC于Q点,由于CD平分∠ACB，所以PE=PQ，PA+PQ=PA+PM=AM.(垂直线最短）.△ABC的面积是20，最长边BC=10，底边上的高AM=4,所以AP+PQ的最小值是4.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．
求证：PM=PN
解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD，
AB=BC,BD=BD
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点引射线OF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥OF于E点、分别交AD、A于点G，H．
(1)求证：
(2)若AH=AG；
①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由；
②说明．BH=2OE

04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(1)证明：∵BE⊥OF于E点，
∴∠BEO=90°，
∴∠BAO=90°=∠BEO
∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE，
∴∠ABH=∠AOF
在△ABH和△AOF中
∠ABH=∠AOF
∠BAH=∠OAF=90°
AB=AO
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)解：①BE是△OBF是角平分线．
理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，
∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD
∵AD⊥BO于D点，
∴∠GBD+∠BGD=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠ABH+∠AHB=90°，
∴∠GBD=∠ABH，
∴BE是△OBF是角平分线．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF，
∵BE是△OBF是角平分线，∴∠ EBO=∠EBF
在△BOE和△BFE中
∴△BOE≌△BFE(AAS)
∴EF=OE=
∴BH=2OE．
∠EBO=∠EBF
∠BEO=∠BEF=90°
BE=BE
课堂总结
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
三角形角平分线定理
几何语言
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2、△ABC的外角平分线CE、BD相交于点P,P到AB的距
离是3，则P到AC的距离是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
D
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（ ）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
③分别以D、E为圆心，大于 的长为半径在∠AOB
内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.如图：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,且AB=3cm,BD=2cm,则DE= .
5.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC
上的一点，过D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB
于F,若DE=2,则DF= .
6.如图P是∠AOB的角平分线OC上的一点，PN⊥OB，M
是线段ON上的一点，已知OM=3,ON=4,点D是OA上的
一点，若满足PD=PM，则OD= .
1
4
3或5
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD;②BE⊥CD;③OA平分∠CAE;④∠AOB=45°其中正确结论的是__________．
①②④
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解答提示：证△ABE≌△ACD,全等三角形的对应边相等，故①正确；根据△ABE≌△ACD的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，故②正确；过A分别作BE、CD的垂线交BE、CD于M、N，由于△ABE≌△ACD,它们的面积相等，底(BE=CD)也相等，所以高也相等(AM=AN),根据角平分线的判定定理故④正确；假设③正确，根据ASA证明△AOD≌△AOB,得到AD=AB,不一定成立，故OA平分∠CAE不一定成立。故③不一定正确。
所以正确的答案是：①②④
M
N
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8.如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+ ∠A;③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n则 ，其中正确的有（ ）。
A.①②③ B.①②④ C. ②③④ D.①③④

A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题：
（1）证明：DE=DF；
（2）若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长．

06
作业布置
【综合拓展类作业】
(1)证明：连接AD，
∵BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB
∴AD分别平分∠CAB
在△ADE和△ADF中
AD=AD;AE=AF;∠EAD=∠FAD
∴△ADE≌△ADF
∴DE=DF
06
作业布置
【综合拓展类作业】
(2),∠A=60°,AE=AF
∴△AEF是等边三角形,∠AFE=60°
在BC上取M、N两点使BM=BE;NC=CF
△CDN≌△CDF(SAS)
∴DF=DN，∠DFC=∠DNC=120°
∠DNM=60°
同理DE=DM，∠DMB=60°
∴△DMN是等边三角形，
设DE=DF=X,则DM=DN=MN=x,
AE=AF=EF=2x
06
作业布置
【综合拓展类作业】
BM=BE=AB-AE=8-2x
CN=FC=AC-AF=5-2x
BC=BM+MN+CN
即7=8-2X+X+5-2X
求出X=2
EF=2X=4
Thanks!
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第一章 三角形的证明
1.5.2三角形角平分线导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.
2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.
3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题．
学习重点：
三角形角平分线的性质的证明.
学习难点：
添加辅助线利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题
预习自测
一、知识链接
1、角平分线性质定理： .
符号语言：∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
2、角平分线判断定理： .
符号语言;∵P在∠AOB的内部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴OP平分∠AOB.
二、自学自测
3、如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(课本第38页例题2）
(1)如果CD=4cm,AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
∴ ∠B=45°
∴ ∠BDE=45°
∴ BE=DE=4（ ）
在等腰RT△BDE中，由勾股定理得
（ ）
证明：∵ DE⊥AB,DC⊥AC
∴在Rt△ACD和Rt△AED中
DE=CD AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE( ）
又∵BE=DE=CD
∴ AB=AE+BE=AC+CD
教学过程
一、创设情境、导入新课
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？
二、合作交流、新知探究
探究一;三角形的角平分线
1、分别作出△ABC的三条角平分线
问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？
问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？
问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？
2、发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 并且这点到三边的距离相等
3、证明发现
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．且PD=PE=PF
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC平分线，
∴PD=PE( )．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上，( )．
∴△ABC的三条角平分线相交于点,且PD=PE=PF
4、【强调】：
三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
几何语言
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
探究二：
1、三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同
三条垂直平分线 三条角平分线
锐角三角形 交于三角形内部 交于三角形内部一点
直角三角形 交于斜边中点
钝角三角形 交于三角形外部
交点性质 到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心） 到三角形三边的距离相等（内接园圆心）
2、问题解决：如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？
解：由于三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。所以作三角形的角平分线.其交点P就是凉亭的位置，如图所所示.
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
2．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
第1题 第2题 第3题 第4题
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8,BC=10，则△BCP的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BD=2CD,点D到AB的距离是5.6，则BC= .
5.△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是 .
第5题 第6题 第7题
能力提升：
7．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
拓展迁移
8.如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．
求证：PM=PN
9.在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点引射线OF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥OF于E点、分别交AD、A于点G，H．
(1)求证：
(2)若AH=AG；
①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由；
②说明．BH=2OE
总结反思、拓展升华
1、三角形角平分线定理
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
几何语言
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.
2、三角形垂直平分线于角平分线的不同点
垂直平分线：到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）
角平分线：到三角形三边的距离相等（内接园圆心）
五、【作业布置】
基础达标：
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2、△ABC的外角平分线CE、BD相交于点P,P到AB的距离是3，则P到AC的距离是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题 第3题 第4题
3．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（ ）
①作射线OC；
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
4.如图：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,且AB=3cm,BD=2cm,则DE= .
5.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC上的一点，过D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于F,若DE=2,则DF= .
6.如图P是∠AOB的角平分线OC上的一点，PN⊥OB，M是线段ON上的一点，已知OM=3,ON=4,点D是OA上的一点，若满足PD=PM，则OD= .
第5题 第6题 第7题
能力提升：
7.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD;②BE⊥CD;③OA平分∠CAE;④∠AOB=45°其中正确结论的是 ．
8.如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+1//2∠A;③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n则 ，其中正确的有（ ）。
A.①②③ B.①②④ C. ②③④ D.①③④
第8题 第9题
拓展迁移：
9.已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题：
（1）证明：DE=DF；
（2）若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长
课堂练习参考答案。
C
D
C
16.8
D
30
C
解答提示：过A点作BC的垂线交BC于E，交CD于P,过P点作AC的垂线交AC于Q点,由于CD平分∠ACB，所以PE=PQ，PA+PQ=PA+PM=AM.(垂直线最短）.△ABC的面积是20，最长边BC=10，底边上的高AM=4,所以AP+PQ的最小值是4.
8、解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD，
AB=BC,BD=BD
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
9、(1)证明：∵BE⊥OF于E点，
∴∠BEO=90°，
∴∠BAO=90°=∠BEO
∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE，
∴∠ABH=∠AOF
在△ABH和△AOF中
∠ABH=∠AOH
∠BAH=∠OAF=90°
AB=AO
(2)解：①BE是△OBF是角平分线．
理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，
∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD
∵AD⊥BO于D点，
∴∠GBD+∠BGD=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠ABH+∠AHB=90°，
∴∠GBD=∠ABH，
∴BE是△OBF是角平分线．
②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF，
∵BE是△OBF是角平分线，∴∠ EBO=∠EBF
在△BOE和△BFE中
∠EBO=∠EBF
∠BEO=∠BEF=90°
BE=BE
∴△BOE≌△BFE(AAS)
∴EF=OE=
∴BH=2OE．
课外练习参考答案。
D
C
C
1
4
3或5
①②④
【解答提示】：证△ABE≌△ACD,全等三角形的对应边相等，故①正确；根据△ABE≌△ACD的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，故②正确；过A分别作BE、CD的垂线交BE、CD于M、N，由于△ABE≌△ACD,它们的面积相等，底(BE=CD)也相等，所以高也相等(AM=AN),根据角平分线的判定定理故④正确；假设③正确，根据ASA证明△AOD≌△AOB,得到AD=AB,不一定成立，故OA平分∠CAE不一定成立。故③不一定正确。
所以正确的答案是：①②④
A
9、(1)证明：连接AD，
∵BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB
∴AD分别平分∠CAB
在△ADE和△ADF中
AD=AD;AE=AF;∠EAD=∠FAD
∴△ADE≌△ADF
∴DE=DF
(2),∠A=60°,AE=AF
∴△AEF是等边三角形,∠AFE=60°
在BC上取M、N两点使BM=BE;NC=CF
△CDN≌△CDF(SAS)
∴DF=DN，∠DFC=∠DNC=120°
∠DNM=60°
同理DE=DM，∠DMB=60°
∴△DMN是等边三角形，
设DE=DF=X,则DM=DN=MN=x,
AE=AF=EF=2x
BM=BE=AB-AE=8-2x
CN=FC=AC-AF=5-2x
BC=BM+MN+CN
即7=8-2X+X+5-2X
求出X=2
EF=2X=4
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2026） 册、章 下册第一单元
课标要求 本章是整个初中几何学习的核心枢纽，它将学生在七年级学习的“三角形”和八年级上册学习的“全等三角形”从直观感知、操作验证的阶段，提升到逻辑推理和演绎证明的严格阶段。本章的学习成果直接影响后续四边形、相似形以及圆的学习。章主要围绕以下几个核心知识点展开，课标要求如下：知识上，掌握 三角形内角和、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理，并能进行严格证明。能力上，重点培养和发展学生的 演绎推理能力 和 逻辑表达能力，养成言必有据的思维习惯。素养上，全面提升 逻辑推理 和 几何直观 核心素养，为后续学习四边形、圆等内容打下坚实的论证基础。
内容分析 本章主要内容包括：三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 1、掌握三角形内角和、外角定理及推论，并用于解决实际问题。2、掌握等腰三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。3、掌握等边三角形的性质（三个角都是60°）和判定（三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。4、掌握直角三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，能够证明并熟练运用“勾股定理的逆定理”（即：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）。5、了解反证法： 初步了解反证法的基本思路和步骤，并能用反证法证明简单的命题（如“两直线平行，同位角相等”的逆命题）。6、掌握线段垂直平分线与角平分线的性质与判定：能够证明并运用其性质（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）和判定（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。7、角平分线： 能够证明并运用其性质（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）和判定（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。8、综合应用：能够综合运用本章及之前所学的定理进行几何计算和证明，解决简单的实际问题。能够规范地书写证明过程，做到逻辑清晰、步骤完整、依据明确。教学重点、难点重点1、三角形的内角和、外角定理及推论2、等腰三角形的性质和判断；3、直角三角形的性质和判断；4、线段的垂直平分线的性质和判断；5、角平分线的性质定理及其逆定理；难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。4、利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01三角形内角和102三角形的外角10.3等腰三角形性质104等腰三角形判断105等边三角形106直角三角形的证明107直角三角形全等的判断108线段的垂直平分线性质定理与判断定理109尺规作图与三角形的垂直平分线110角平分线的性质定理和判断定理111三角形的角平分线112问题解决的策略--反思113回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务三角形内角和1、通过测量、折叠、拼接、作平行线等方法，探索和发现三角形内角和等于180°.2、会证明三角形内角和定理和运用定理解题。会用辅助线解决几何问题.3、通过三角形内角和定理的多种证明方法，形成独立思考，合作交流的学习模式，培养学生理性说理的能力.4、培养学生的创造性，体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值.1、回顾初中数学8个基本事实。2、回顾三角形内角和的验证方法。3、利用添加辅助线的方法来推理验证三角形的内角和180°体会转化的数学思想。4、利用三角形内角和是180°和三角形全等的(ASA)通过推理得到三角形全等(ASA)的推理（AAS）5、完成课堂练习。6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究三角形内角和环节三；知识运用环节四：探究三角形全等的判断（AAS）环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业三角形的外角1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角.2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。3、会利用三角形的外角性质解决问题.1、完成课前检测。2、问题思考，引入新课。3、活动感悟三角形外角的概念，理解外角的顶点和边的特征。4、利用三角形的内角和与邻补角探究内角和推论1。5、结合不等式知识探究内角和推论26、学习例题7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：课前检测环节二；问题导入环节三；探究三角形外角的定义环节四：探究内角和推论1环节五；探究内角和推论2环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业等腰三角形性质1、理解等腰三角形的基本定义：两腰相等的三角形称为等腰三角形。 2、掌握并证明等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高重合（三线合一）。3、理解和掌握等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形三条边相等且每个内角均为60°4、能够利用等腰三角形的性质解决简单的几何问题，如计算角度大小、证明线段相等等1、知识回顾。2、用3种方法证明等腰三角形的性质“等边对等角”3、活动感悟等腰三角形顶角平分线、高线、底边中线三线合一4、利用三角形的内角和等腰三角形等边对等角探究等边三角形的每个内角均为60°5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；利用三种方法求证等腰三角形的等边对等角环节三：探究等腰三角形三线合一环节四；探究等边三角形的每个内角度数环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等腰三角形的判断1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题1、知识回顾。2、证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”3、活动感悟反证法4、利用反证法对命题进行证明5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究等腰三角形的判定定理环节三：探究反证法环节四；典例精析环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等边三角形1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.复习旧知，思考2个问题。2、证明等边三角形的判定定理1（三个角都相等的三角形是等边三角形）.3、证明等边三角形的判定定理2（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.4、小结等边三角形的判断5、小组活动，用两个含30°角的全等的三角尺拼成一个等边三角形。6、猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．7、利用三种方法证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；问题导入环节三：探究等边三角形的判断定理环节四：探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形的判断1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判断定理的互逆关系3、经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．1、回顾旧知2、用反证法证明反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。3、证明直角三角形的性质定理1和2.4、 证明直角三角形的判断定理1和2.5、 归纳比较性质定理和判断定理。6、探究命题和逆命题。7、探究定理和逆定理。8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的性质定理环节三：探究直角三角形的判断定理环节四：探究定理与逆定理。环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1回顾已经学过的三角形全等的判断定理。完成课前检测题，导入新课。3、学生按要求画直角三角形。4、猜想、验证直角三角形斜边、直角定理（HL）。5、学习例题，先用直角三角形的判定定理“HL”证明两个直角三角形全等，然后根据全等三角形的性质解决直角三角形的边角关系。6、完成例题的学习7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的判断定理（HL）环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业线段的垂直平分线性质定理与判断定理1、 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。1、回归知识，2、证明线段的垂直平分线性质定理。3、用多种方法证明线段的垂直平分线的判定定理，4、学习例题5、完成例题的学习6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业尺规作图与三角形的垂直平分线1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、回顾线段的垂直平分线的性质定理和判断定理，用数学语言描述垂直平分线定理。2、回顾线段的垂线平分线的作法。3、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线，口述作法。4、证明“三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.”5、线段的垂直平分线和角平分线的综合运用。6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究尺规作图环节三；探究三角形的垂直平分线环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业角平分线的性质定理和判断定理1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的判定定理作准备.用尺规画角平分线3、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.4、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.5、关注学生能否积极参与练习.学生对基础知识的掌握情况.6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究角平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业三角形的角平分线1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 学生独立回答角平分线的性质定理和判断定理。完成课本38页例题2的学习，学生独立思考问题导入，并上台展示自己的思路。4、作三角形的角平分线。5、猜测三角形三条角的平分线相交于一点。6、证明猜测7、课堂小结三角形角平分线的性质。8、合作探究三角形的垂直平分线和角平分线的不同的（注意不同类型的三角形）9、完成导入新课的问题。10、完成课堂练习11、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三；问题导入环节四；探究新知环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业问题解决的策略---反思1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。1、思考问题如何解决。2、小组探究一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动多少米？3、自学第42页内容。4、小组合作完成三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形的证明。5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：问题导入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四；课堂总结环节五；课外作业回顾与思考1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.1、展示课前布置的知识结构流程图（挑选具有代表意义的作品）.2、梳理知识点。3、完成相应练习4、学习例题5、完成相应的课堂练习，6、方法归纳.7、进行课堂总结.环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练环节四；课堂总结环节五；课外作业
《三角形的证明》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形内角和
活动三：知识运用
任务一：三角形内角和
活动四：探究三角形全等的判断（AAS）
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
任务二：三角形外角
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务三：等腰三角形性质
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务四：等腰三角形判断
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务五：等边三角形
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：直角三角形的证明
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
任务七：直角三角形全等的判断
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：线段的垂直平分线的性质定理于判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
任务九：三角形的垂直平分线、尺规作图
活动六：课外作业
活动一：温故知新
活动二：探究角平分线性质、判断定理
活动三：典例精析
任务十：角平分线的性质定理和判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究尺规作图
活动三：探究三角形的垂直平分线
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
三
角
形
的
证
明
活动一：温故知新
活动二：课前检测
活动三：问题导入
活动四：探究三角形角平分线性质
任务十一：三角形角平分线
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：问题导入
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务十二：问题解决的策略，
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务十三：回顾与思考
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
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北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
5.2三角形的角平分线教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 三角形的角平分线 课时 1
课标要求 借助角平分线的性质定理和判定定理，推导出三角形角平分线的性质，并能灵活运用解决实际问题． 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.
教材分析 《角平分线》北师版八年级下册第一章三角形的证明第五节的内容，本节共2课时，该教学设计为本节的第2课时，主要学习如何运用角平分线的性质定理及判定定理推导出三角形角平分线有关知识。角平分线性质定理及判定定理在初中几何中主要用于证明两条线段相等与如何证明一个点在角的平分线上，通过本节课的学习让学生能够熟练地对角平分线的性质定理及判定定理灵活的理解与应用。同时本节课的学习为学生在九年级对三角形内心的学习做好铺垫作用。在培养学生学科素养方面，通过本节课的学习主要培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学学科核心素养。
学情分析 本节课的教学对象是八年级的学生，学生已经初步具备了逻辑推理的能力、用数学语言规范表达自己的想法的能力，对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握，同时也积累了一些解决几何问题的经验及方法.通过前面的几何部分的学习，学生思维活跃、参与意识强，对图形性质的探究非常感兴趣，喜欢参与探究性活动，也特别乐于解决一些有挑战性的问题.所以本节课学生对角平分线的性质定理和判定定理能够准确把握，但在添辅助线时会遇到困难.
核心素养目标 1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题．
教学重点 三角形角平分线的性质的证明.
教学难点 添加辅助线利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.符号语言：∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.2、角平分线判断定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.符号语言;∵P在∠AOB的内部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OP平分∠AOB.3、如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(课本第38页例题2）(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC ∴DE=CD=4 又∵AC=BC ∠C=90° ∴ ∠B=45° ∴ ∠BDE=45° ∴ BE=DE=4（等角对等边）在等腰RT△BDE中，由勾股定理得证明：∵ DE⊥AB,DC⊥AC ∴在Rt△ACD和Rt△AED中DE=CD AD=AD ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE( 全等三角形对应边相等）又∵BE=DE=CD ∴ AB=AE+BE=AC+CD 学生独立回答角平分线的性质定理和判断定理。完成课本38页例题2的学习 1、温故知新，通过复习回顾，关注学生符号语言表达的准确性。2、课前设计课本38页例题2的学习，目的是巩固角平分线的性质定理和判断定理，为本节课的新授三角形的角平分线铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？ 学生独立思考，并上台展示自己的思路。 激发学生的求知欲，顺利导入新课
三、探究 探究一;三角形的角平分线1、分别作出△ABC的三条角平分线 问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？2、作品展示3、发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 并且这点到三边的距离相等4、证明发现已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．且PD=PE=PF证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC平分线，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点,且PD=PE=PF课堂小结：三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.几何语言如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.探究二：三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同 三条垂直平分线三条角平分线锐角三角形交于三角形内部交于三角形内部一点直角三角形交于斜边中点钝角三角形交于三角形外部交点性质到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）到三角形三边的距离相等（内接园圆心）问题解决：如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？由于三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。所以作三角形的角平分线.其交点P就是凉亭的位置，如图所所示. 作三角形的角平分线。猜测三角形三条角的平分线相交于一点。证明猜测课堂小结三角形角平分线的性质。合作探究三角形的垂直平分线和角平分线的不同的（注意不同类型的三角形）完成导入新课的问题 通过动手操作发现三角形三条角平分线交于一点，培养学生动手操作能力。使学生经历“动手操作—猜想—画图—改写—证明”这一系列的探究过程，培养学生分析问题能力、表达能力，规范学生的几何书写能力。设计小组探究三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同。使学生准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别。便于以后运用知识解决问题不产生混淆概念。
四、尝试 基础达标：1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　C　）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：52．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ D ）A．BD = DC B．BE⊥AC C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等 第1题 第2题3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8,BC=10，则△BCP的面积为（ C ）A．16 B．20 C．40 D．804、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BD=2CD,点D到AB的距离是5.6，则BC= 16.8 . 第3题 第4题5.△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ D ）A．BD = DC B．BE⊥ACC．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　B　）A．15 B．30 C．45 D．60 第5题 第6题能力提升：7．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ C ） A.2 B.3 C.4 D.5解答提示：过A点作BC的垂线交BC于E，交CD于P,过P点作AC的垂线交AC于Q点,由于CD平分∠ACB，所以PE=PQ，PA+PQ=PA+PM=AM.(垂直线最短）.△ABC的面积是20，最长边BC=10，底边上的高AM=4,所以AP+PQ的最小值是4.拓展迁移8.如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．求证：PM=PN解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD，AB=BC,BD=BD在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．9.在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点引射线OF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥OF于E点、分别交AD、A于点G，H．(1)求证：(2)若AH=AG；①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由；②说明．BH=2OE(1)证明：∵BE⊥OF于E点，∴∠BEO=90°，∴∠BAO=90°=∠BEO∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE，∴∠ABH=∠AOF在△ABH和△AOF中∠ABH=∠AOH∠BAH=∠OAF=90°AB=AO(2)解：①BE是△OBF是角平分线．理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD∵AD⊥BO于D点，∴∠GBD+∠BGD=90°，∵∠BAO=90°，∴∠ABH+∠AHB=90°，∴∠GBD=∠ABH，∴BE是△OBF是角平分线．②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF，∵BE是△OBF是角平分线，∴∠ EBO=∠EBF在△BOE和△BFE中∠EBO=∠EBF∠BEO=∠BEF=90°BE=BE∴△BOE≌△BFE(AAS)∴EF=OE= ∴BH=2OE． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 适时小结，兴趣延伸1、三角形角平分线定理三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.几何语言如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.2、三角形垂直平分线于角平分线的不同点垂直平分线：到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）角平分线：到三角形三边的距离相等（内接园圆心） 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.几何语言如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．下列命题是真命题的是（　D　）A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等2、△ABC的外角平分线CE、BD相交于点P,P到AB的距离是3，则P到AC的距离是（ C ）A.1 B.2 C.3 D.4第2题 第3题 第4题3．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（ C ）①作射线OC；②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②4.如图：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,且AB=3cm,BD=2cm,则DE= 1 .5.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC上的一点，过D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于F,若DE=2,则DF= 4 .6.如图P是∠AOB的角平分线OC上的一点，PN⊥OB，M是线段ON上的一点，已知OM=3,ON=4,点D是OA上的一点，若满足PD=PM，则OD= 3或5 . 第5题 第6题 第7题能力提升：7.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD;②BE⊥CD;③OA平分∠CAE;④∠AOB=45°其中正确结论的是 ①②④ ．【解答提示】：证△ABE≌△ACD,全等三角形的对应边相等，故①正确；根据△ABE≌△ACD的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，故②正确；过A分别作BE、CD的垂线交BE、CD于M、N，由于△ABE≌△ACD,它们的面积相等，底(BE=CD)也相等，所以高也相等(AM=AN),根据角平分线的判定定理故④正确；假设③正确，根据ASA证明△AOD≌△AOB,得到AD=AB,不一定成立，故OA平分∠CAE不一定成立。故③不一定正确。所以正确的答案是：①②④8.如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+1//2∠A;③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n则 ，其中正确的有（ A ）。A.①②③ B.①②④ C. ②③④ D.①③④ 第8题 第9题拓展迁移：9.已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题：（1）证明：DE=DF；（2）若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长(1)证明：连接AD，∵BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB∴AD分别平分∠CAB在△ADE和△ADF中AD=AD;AE=AF;∠EAD=∠FAD∴△ADE≌△ADF∴DE=DF(2),∠A=60°,AE=AF∴△AEF是等边三角形,∠AFE=60°在BC上取M、N两点使BM=BE;NC=CF△CDN≌△CDF(SAS) ∴DF=DN，∠DFC=∠DNC=120°∠DNM=60°同理DE=DM，∠DMB=60°∴△DMN是等边三角形，设DE=DF=X,则DM=DN=MN=x,AE=AF=EF=2xBM=BE=AB-AE=8-2xCN=FC=AC-AF=5-2xBC=BM+MN+CN即7=8-2X+X+5-2X求出X=2EF=2X=4
教学反思
P
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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