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4.2整式的加法与减法 教案
一、核心素养目标
1.数学抽象：通过同类项概念的构建，抽象出整式加减的本质是同类项的合并；2.运算能力：熟练掌握同类项识别、合并法则及去括号法则，精准完成整式加减运算；
3.逻辑推理：经历“观察—猜想—验证—归纳”过程，推导整式加减法则，发展推理能力；
4.数学建模：运用整式加减解决简单实际问题，建立数学与生活的联系。
二、教学重难点
1.重点：同类项的概念及合并法则、去括号法则，整式加减的运算法则及精准运算；
2.难点：去括号时符号的正确处理，同类项的准确识别，整式加减在实际问题中的应用。
三、教学过程
（一）议题导入：创设情境，引发思考
1.情境呈现：同学们，在古代埃及，人们在丈量土地、计算粮食产量时，会遇到类似这样的问题：一块长方形土地，长为3x，宽为2x，另一块相邻的长方形土地，长为5x，宽为x，若将两块土地合并成一块大长方形，求大长方形的周长。你能尝试用含有x的式子表示出大长方形的周长吗？
2.师生互动：
（1）教师提问：要计算大长方形的周长，首先需要知道合并后大长方形的长和宽分别是多少？请同学们小组讨论，尝试列出表达式。
（2）小组代表发言：预设学生可能得出长为3x+5x，宽为2x+x，进而周长为2[(3x+5x)+(2x+x)]。
（3）教师追问：式子中的3x与5x、2x与x之间有什么共同特点？我们该如何计算3x+5x和2x+x的值呢？今天我们就围绕“整式的加法与减法”这一议题，探究这类问题的解决方法。
（二）探究新知1：同类项的概念
1.观察分析：
（1）教师呈现一组式子：3x、5x、2x 、-4x、7x 、-3xy，让学生观察这些式子的构成，找出其中具有相同特征的式子。
（2）师生互动：
①学生独立观察后，同桌交流想法。
②教师引导学生总结：3x、5x、-4x都含有字母x，且x的指数都是1；2x 、7x 都含有字母x，且x的指数都是2；-3xy含有字母x和y，指数分别是1。
2.概念提炼：
（1）教师明确：像3x与5x、2x 与7x 这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。几个常数项也是同类项，例如5和-3是同类项。
（2）关键词强调：“所含字母相同”“相同字母的指数相同”，两个条件缺一不可。
3.即时辨析：
（1）教师提问：判断下列各组是否为同类项，并说明理由：①2a与3a ；②-5xy与3yx；③4x y与-3xy ；④7与-2。
（2）学生回答后，教师逐一点评，强化同类项概念的理解，重点强调“字母顺序无关”“常数项都是同类项”。
（三）探究新知2：合并同类项法则
1.动手计算：
（1）教师引导：根据乘法分配律，我们来计算3x+5x。3x表示3个x，5x表示5个x，3个x加5个x等于8个x，即3x+5x=(3+5)x=8x。同理，2x+x=(2+1)x=3x。
（2）学生尝试计算：①7x -2x ；②-4x+6x；③5a+3a-2a。
2.法则归纳：
（1）师生互动：
①教师提问：观察上述计算过程，合并同类项时，字母和字母的指数发生变化了吗？系数是如何变化的？
②学生总结：合并同类项时，字母和字母的指数保持不变，只把同类项的系数相加。
（2）教师明确合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母部分不变。
3.例题讲解：
例1：合并下列各式的同类项：
（1）3x -1-2x-5+3x-x ；（2）-0.8a b-6ab-1.2a b+5ab+a b。
（1）教师板演第（1）题：首先找出同类项，3x 与-x 是同类项，-2x与3x是同类项，-1与-5是同类项；然后合并同类项，(3x -x )+(-2x+3x)+(-1-5)=2x +x-6。
（2）学生独立完成第（2）题，教师巡视指导，指名学生板演，师生共同点评，强调合并同类项的步骤：找同类项→移项（带着符号）→合并同类项。
（四）探究新知3：去括号法则
1.情境过渡：在整式加减中，我们常常会遇到含有括号的式子，例如计算(3x+2y)-(2x-y)，这就需要先去掉括号，再合并同类项。那么去括号有什么规律呢？
2.规律探究：
（1）教师呈现两组式子，让学生计算：
①13+(7-5)=13+2=15；13+7-5=20-5=15。
②13-(7-5)=13-2=11；13-7+5=6+5=11。
（2）师生互动：
①教师提问：观察两组式子，去掉括号前后，括号内各项的符号有什么变化？
②学生讨论后发言：预设学生发现第①组括号前是“+”号，去掉括号后，括号内各项符号不变；第②组括号前是“-”号，去掉括号后，括号内各项符号都改变了。
（3）教师验证：再举例子，如a+(b-c)=a+b-c；a-(b-c)=a-b+c，进一步验证规律。
3.法则总结：
教师明确去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
4.即时练习：
去括号：①(a+b)-c=；②-(a-b)+c=；③-2(x+3y)=；④3(x-2y)=。
学生完成后，教师点评，重点强调括号前有数字因数时，要先把数字因数与括号内各项分别相乘，再去括号，如-2(x+3y)=-2x-6y。
（五）探究新知4：整式的加减运算法则
1.议题深化：回到导入环节的问题，大长方形的周长表达式为2[(3x+5x)+(2x+x)]，现在我们可以运用去括号和合并同类项的知识计算这个式子了。
2.例题讲解：
例2：计算2[(3x+5x)+(2x+x)]。
教师引导学生分步计算：第一步，先去小括号，2[(8x)+(3x)]；第二步，合并小括号内的同类项，2[11x]；第三步，去括号并计算，22x。
例3：计算（1）(3x -2x+1)-(2x +3x-5)；（2）2(x -xy)+3(2x -xy)。
（1）教师板演第（1）题：先去括号，3x -2x+1-2x -3x+5；再找同类项，3x 与-2x 、-2x与-3x、1与5；最后合并同类项，(3x -2x )+(-2x-3x)+(1+5)=x -5x+6。
（2）学生独立完成第（2）题，教师巡视，针对学生出现的去括号符号错误、同类项合并错误等问题进行针对性指导。
3.法则归纳：
（1）师生互动：教师提问：通过以上例题，你能总结出整式加减的一般步骤吗？
（2）学生总结后，教师明确整式的加减运算法则：整式的加减，实际上就是去括号和合并同类项。一般步骤是：（1）如果有括号，先去括号；（2）再合并同类项。
（六）重点知识归纳概括
1.同类项：两个“相同”——所含字母相同、相同字母的指数相同；常数项都是同类项。
2.合并同类项法则：系数相加，字母和字母的指数不变。
3.去括号法则：“+”不变，“-”全变；括号前有数字因数，先乘后去括号。
4.整式加减步骤：先去括号，再合并同类项。
5.核心思想：整式加减的本质是同类项的合并，体现了“化繁为简”的数学思想。
（七）巩固练习
古代希腊数学家丢番图被誉为“代数学之父”，他在著作《算术》中系统地研究了整式的运算，为代数学的发展奠定了基础。丢番图善于用字母表示数，通过整式的加减运算解决实际问题，其思想对后世数学的发展产生了深远影响。以下问题均基于整式运算的基本原理设计，旨在传承丢番图的代数思想，提升运算能力。
1.下列各组式子中，属于同类项的是（）
A.2x与2x
B.3xy与-2yx
C.4x y与3xy
D.5a与5b
2.合并同类项3a -2a+4a -7a的结果是（）
A.7a -9a
B.7a +5a
C.-a -9a
D.-a +5a
3.去括号后结果正确的是（）
A.-(a-b)=-a-b
B.3(x+2y)=3x+2y
C.(a+b)-c=a+b-c
D.-2(x-y)=-2x-y
4.计算(2x -3x+1)-(x -2x+3)的结果是（）
A.x -x-2
B.x -x+4
C.x -5x-2
D.x -5x+4
5.若2x y 与-3x y 是同类项，则m+n的值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
6.化简3(a -2ab)-2(ab-a )的结果是（）
A.5a -8ab
B.5a -4ab
C.a -8ab
D.a -4ab
7.已知A=2x +3x-1，B=x -2x+4，则A-B的值为（）
A.x +5x-5
B.x +5x+3
C.x +x-5
D.x +x+3
8.一个多项式与x -2x+1的和是3x -5x+4，则这个多项式是（）
A.2x -3x+3
B.2x -3x+5
C.4x -7x+5
D.4x -7x+3
9.背景材料：古代罗马时期，建筑师在设计建筑时，需要计算各种图形的周长和面积，常用整式表示图形的边长，再通过整式加减运算得出结果。现有一个不规则图形，由两个长方形和一个正方形组成，其中第一个长方形的长为2a，宽为a；第二个长方形的长为3a，宽为2a；正方形的边长为a。
（1）用含a的整式表示这个不规则图形的周长；
（2）若a=2，求这个图形的周长。
10.背景材料：丢番图在研究遗产分配问题时，曾用整式表示各继承人的遗产份额，通过整式加减运算确定总遗产金额。现有一个遗产分配问题：父亲留下一笔遗产，长子分得遗产的一部分，用整式表示为3x+2y，次子分得的遗产用整式表示为2x-3y，小女儿分得的遗产用整式表示为x+y。
（1）求三个子女共分得的遗产总额（用含x、y的整式表示）；
（2）若父亲的总遗产为10x，求剩余的遗产金额（用含x、y的整式表示）；
（3）当x=5，y=2时，求剩余的遗产金额。
（八）练习答案与解析
1.答案：B
解析：根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数相同。A选项中2x与2x ，x的指数不同，不是同类项；B选项中3xy与-2yx，所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项；C选项中4x y与3xy ，x和y的指数均不同，不是同类项；D选项中5a与5b，所含字母不同，不是同类项。故选B。
2.答案：A
解析：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变。3a +4a =(3+4)a =7a ，-2a-7a=(-2-7)a=-9a，所以合并结果为7a -9a。故选A。
3.答案：C
解析：A选项，-(a-b)=-a+b，原选项错误；B选项，3(x+2y)=3x+6y，原选项错误；C选项，(a+b)-c=a+b-c，正确；D选项，-2(x-y)=-2x+2y，原选项错误。故选C。
4.答案：A
解析：先去括号，2x -3x+1-x +2x-3；再合并同类项，(2x -x )+(-3x+2x)+(1-3)=x -x-2。故选A。
5.答案：C
解析：因为2x y 与-3x y 是同类项，所以m=3，n=2，因此m+n=3+2=5。故选C。
6.答案：A
解析：先去括号，3a -6ab-2ab+2a ；再合并同类项，(3a +2a )+(-6ab-2ab)=5a -8ab。故选A。
7.答案：A
解析：A-B=(2x +3x-1)-(x -2x+4)=2x +3x-1-x +2x-4=(2x -x )+(3x+2x)+(-1-4)=x +5x-5。故选A。
8.答案：A
解析：所求多项式=和-已知多项式，即(3x -5x+4)-(x -2x+1)=3x -5x+4-x +2x-1=(3x -x )+(-5x+2x)+(4-1)=2x -3x+3。故选A。
9.答案：
（1）首先分析图形的边长组成，将各边长相加。第一个长方形周长相关边长：2a、a、2a、a；第二个长方形周长相关边长：3a、2a、3a、2a；正方形周长相关边长：a、a、a、a。但注意组合图形重合部分的边长不需要重复计算，两个长方形与正方形重合的边长均为a，各重合1条，所以总周长=2(2a+a)+2(3a+2a)+4a-2a-2a=6a+10a+4a-4a=16a。
（2）当a=2时，周长=16×2=32。
解析：（1）计算组合图形周长时，关键是排除重合边长，避免重复计算。先分别计算各基本图形的周长，再减去重合部分的边长（重合部分被两个图形各计算一次，需减去2倍重合边长）。（2）将a=2代入（1）中所求整式，即可得出具体数值。
10.答案：
（1）共分得遗产=(3x+2y)+(2x-3y)+(x+y)=3x+2y+2x-3y+x+y=(3x+2x+x)+(2y-3y+y)=6x。
（2）剩余遗产=总遗产-共分得遗产=10x-6x=4x。
（3）当x=5，y=2时，剩余遗产=4×5=20。
解析：（1）求三个子女共分得的遗产，只需将三个整式相加，再合并同类项即可。（2）剩余遗产等于总遗产减去三个子女共分得的遗产，代入整式后合并同类项。（3）将x=5代入（2）中所求的剩余遗产整式，计算得出具体数值，y在此步骤中已消去，不影响结果。
（九）课堂小结
1.师生共同回顾：本节课围绕“整式的加法与减法”这一议题，我们学习了哪些核心知识？（同类项、合并同类项法则、去括号法则、整式加减步骤）
2.教师强调：整式加减的本质是同类项的合并，去括号是重要前提，解题时要注意符号的处理，避免出现错误。同时，我们通过古代数学情境感受到了整式运算的历史价值，要学会运用整式加减解决实际问题。
（十）拓展延伸
请同学们课后查阅资料，了解丢番图的其他代数成就，尝试用整式加减运算解决一个生活中的实际问题，下节课分享交流。

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