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第15章 分式
专练1 分式方程的解法
类型一 常规型
1．（1） 解：方程两边都乘以，约去分母，
得，解得.
检验：当时，，
是原分式方程的解.
（2） 方程两边都乘以，约去分母，
得，
解得.
检验：当时，，
原分式方程无解.
（3） 方程两边都乘以，约去分母，
得，
解得.
检验：当时，，
是原分式方程的解.
（4） 方程两边同乘，约去分母，
得，
解得.
检验：当时，，
是原分式方程的解.
类型二 换元法
2．（1）
（2） 解：设，则原方程化为，
方程两边都乘以，得，
解得，
经检验，都是方程的解.
当时，，该方程无解；
当时，，解得，
经检验，是原分式方程的解，
是原分式方程的解.
（3） 设，，则原方程组可化为解得
类型三 局部通分法
3．解：两边通分，得
.
整理，得，
解得.
经检验，是原分式方程的解.
4．解：原方程变形为，
整理，得.
两边通分，得.
整理，得，
解得.
经检验，为原方程的解.
5．解：原方程变形为，
两边通分，得，
整理，得，
解得.
经检验，是原方程的解.
类型四 拆项法
6．解：原方程变形为，
.
整理，得，
解得.
经检验，是原方程的解.
类型五 裂项法
7．解：原方程变形为，
整理，得，
故原方程无解.
8．解：原方程变形为
，
整理，得，
解得.
经检验，是原分式方程的解.
类型六 参数法
9．解：通分，得.
令，
则
两式相减，得，
或，
解得.
经检验，是原方程的解.专练2 分式方程的实际应用
类型一 销售利润问题
1．湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱.某商店也准备销售文创产品，用2 400元购进吉祥物“湘湘”，用1 440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的1.2倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个.
（1） 该商店“湘湘”的购进单价是多少元？
（2） 该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？
类型二 行程问题
2．在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼.某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑，甲机器狗跑与乙机器狗跑所用时间相等.问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？
（1） 小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程.
类型三 工程问题
3．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天.
（1） 这项工程的规定时间是多少天？
（2） 已知甲队每天的施工费用为6 500元，乙队每天的施工费用为3 500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成，则该工程施工费用是多少？
类型四 方案选择
4．根据以下素材，探索完成任务：
如何设计购票方案？
素材1 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同.
素材2 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票，其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为每张家庭票450元.已知小明所在旅行团中共有5名成人和6名儿童.
问题解决：
任务1
（1） 请计算成人票和儿童票的售价；
任务2
（2） 根据素材2，请你为小明所在旅行团设计一种新购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价.易错易混一 分式
易错点一 关于分式值为零的求值，忽略分母不为零
1．当的值为_ _ _ _ 时，分式的值为零.
易错点二 分式的约分出现错误
2．下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点三 异分母分式的加减出现通分错误或符号错误
3．下面是琪琪同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务.
异分母分式的加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算. 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 .…第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础.
任务：
（1） 以上化简过程中，第三步是进行分式的_ _ _ _ ，它的依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 上述解题过程中，从第_ _ _ _ 步开始出现错误，写出正确的化简过程.
4．计算时，两名同学的解法如下：
甲同学： ； 乙同学： .
（1） 判断：两名同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打"×".
（2） 请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
易错点四 分式化简求值时，忽略分母或除式不为零
5．先化简，再从，1，2中选取一个适合的的值代入求值.
易错点五 解分式方程时，去分母出错
6．在解分式方程时，马小虎同学的解法如下：
解：方程两边都乘以，约去分母，得，
移项，得，
解得.
你认为马小虎同学的解题过程对吗？如果不对，请你写出这个方程的正确解答过程.
易错点六 无解时忽略分式方程化为整式方程后未知数系数为零的情况
7．若关于的分式方程无解，则实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．当为何值时，关于的分式方程无解？
易错点七 已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略增根
9．若分式方程的解是正数，求的取值范围.
10．已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围.易错易混一 分式
易错点一 关于分式值为零的求值，忽略分母不为零
1．-4
易错点二 分式的约分出现错误
2．D
易错点三 异分母分式的加减出现通分错误或符号错误
3．（1） 通分； 分式的基本性质
（2） 四； 解：正确化简过程如下：
原式
.
4．（1） 解：甲同学的解法有错误，应为，
乙同学的解法正确.
（2） 选择甲同学的解法：
原式
.
选择乙同学的解法：
原式
.
易错点四 分式化简求值时，忽略分母或除式不为零
5．解：原式
.
当或时，原式无意义，
.
当时，原式.
易错点五 解分式方程时，去分母出错
6．解：不对.
正确解法：方程两边都乘以，约去分母，得，
解得.
检验：当时，.
是原分式方程的解.
易错点六 无解时忽略分式方程化为整式方程后未知数系数为零的情况
7．或
8．解：方程两边都乘以，约去分母，得，
整理，得.
当，即时，原方程无解；
当时，原方程有增根或，
当时，，即；
当时，，方程无解.
综上所述，当或时，原方程无解.
易错点七 已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略增根
9．解：方程两边都乘以，约去分母，
得，
解得.
原方程的解为正数，且，
即且，
且.
10．解：方程两边都乘以，得，
解得.
原方程的解为非负数，，
解得.
，，或，
且.第15章 分式
专练1 分式方程的解法
类型一 常规型
1．解下列分式方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
类型二 换元法
2．阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程：.
解：设，则原方程化为，方程两边同时乘，得，
解得，
经检验，都是方程 的解.
当 时，，解得；
当 时，，解得.
检验：或 都是原分式方程的解，
原分式方程的解为 或.上述这种解分式方程的方法称为换元法.
（1） 若在方程中，设，则原方程可化为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 利用上述方法解方程：；
（3） 模仿上述方法解方程组：
类型三 局部通分法
3．解方程：.
4．解方程：.
5．解方程：.
类型四 拆项法
6．解方程：.
类型五 裂项法
7．解方程：.
8．解方程：.
类型六 参数法
9．解方程：.专练2 分式方程的实际应用
类型一 销售利润问题
1．（1） 解：设该商店“湘湘”的购进单价为元，则“超超”购进单价为元.
由题意，得，
解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：该商店“湘湘”的购进单价是30元.
（2） 由（1）可知，，，.
设“超超”的售价应该定为每件元.
由题意，得，
解得.
答：“超超”的售价最低应该定为每件42元.
类型二 行程问题
2．（1） ；
（2） 解：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是.
由题意，得，
解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：乙机器狗这次运铁饼的速度是.
类型三 工程问题
3．（1） 解：设这项工程的规定时间是天.
由题意，得，
解得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
答：这项工程的规定时间是30天.
（2） 该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为（天），
则该工程施工费用是（元）.
答：该工程施工费用为225 000元.
类型四 方案选择
4．（1） 解：设成人票的售价为每张元，则儿童票的售价为每张元.
由题意，得，
解得.
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
.
答：成人票的售价为每张170元，儿童票的售价为每张80元.
（2） （张），（张）.
购买2张家庭票，再买1张成人票，2张儿童票，
所需费用为（元）.
答：当购买2张家庭票，1张成人票，2张儿童票时，购票总价最低，最低价为1 230元.

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