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2025-2026学年八年级数学上学期浙教版2024
期末选填压轴题38道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图是由个顶角为的等腰三角形拼成的图形，若要求阴影部分的面积，则只需要知道（ ）
A．和的面积差 B．和的面积差
C．和的面积差 D．和的面积差
2．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，正方形和正方形的顶点，，，，在长方形的边上．已知，，则长方形的周长为（　　）
A．52 B．50 C．48 D．46
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．或
4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，正方形和正方形的顶点、、、、在长方形的边上．已知，，则长方形的面积为（ ）
A．320 B．480 C．640 D．800
6．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知，，垂直平分，垂足为D，点F在上，且，连接,．下面四个结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
14．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，于平分于，与相交于点是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
15．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．4 B． C． D．
16．（24-25八年级上·浙江·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
17．（23-24八年级上·浙江·期末）一次函数，（m，n为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
18．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
19．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，下列结论：①；②；③；④其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
20．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，点D为中点，以为边向下作等边三角形，若的最小值为1，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
二、填空题
21．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．
22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，为正方形内一点，，过点作交射线于点，连接．若正方形边长为，，则 ．
23．（24-25八年级上·浙江台州·期末）规定两正数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，根据定义可得：，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
24．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是 ．
25．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ；
（2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ．
26．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，边上有一点，过点作的垂线交延长线于点．若，则 ．
27．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在斜边的同侧作三个正和．这三个正三角形构成的图形中，已知．则 ．
28．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
29．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为 ．
30．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速．
（1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为
（2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ．
31．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为 ．
32．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，的面积为1．
（1） ．
（2）如图2，若点P，Q分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 ．
33．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D．
（1）线段的长为 ．
（2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ．
34．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为 ．
35．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
36．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ．
37．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）一次函数与函数的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
38．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，点，，分别在边，上，连接，，．点和点关于直线对称，设，若，则 （结果用含的代数式表示）．2025-2026学年八年级数学上学期浙教版2024
期末选填压轴题38道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A C A A B A D
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D A A A C D A D B B
1．D
本题考查了等腰三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，设每个顶角为的等腰三角形的腰长为，则腰上的高为，计算阴影部分面积可由的腰长减去的腰长乘的高即可求解，掌握等腰三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
解：设每个顶角为的等腰三角形的腰长为，
则腰上的高为，
∴每个三角形的面积为，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
是的，
∴只需知与的面积差，
故选：．
2．A
本题考查了正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定与性质．过点作于点，先证和全等，得出，，同理可证，得出，，设，，表示、、、的长，得到，，解方程组即可，从而求出长方形的周长．
解：过点作于点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是长方形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
同理可证，
，，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即①，
，，，
，
，
，
，
，
即②，
联立①②得，
，
解得，
，，
长方形的周长为，
故选：A．
3．C
本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论．
解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
当①时．
，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∵于点，
∴，
∴，
②当时，
∴
∴，
∵，
∴
∴此种情况不成立．
③当时，
设，
则：，
解得：，
∴，
∴，
∴．
④当时，
同理得：，
∴
∴
∴此种情况不成立．
综上所述，的度数为或，
故选∶C．
4．A
本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接，过点作于点，证明，利用面积法求出，再利用勾股定理即可求出．解题的关键是学会利用面积法解决问题．
解：如图，连接，过点作于点，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：A．
5．C
本题考查了正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，先证，得出，，同理可证，得出，，设，，表示、、、的长，得到，，解方程组即可，从而求出长方形的面积．
解：过点作于点，
四边形是正方形
，
四边形是长方形
，，
在和中
，
同理可证
，
设，
，
，
，即
，，
，即
联立①②，解得：，
，
故选：C．
6．A
本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可．
解：，
，，，，
联立，
得，
∴原式
．
故选A．
7．A
标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，进而推出，，证明和是等边三角形，于是得出，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标．
解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，
∴轴，轴，，
，
，
，
，
∴，
，
和是等边三角形，
∴，，
∴第1步，作点关于的对称点落在轴上，
第2步，作关于的对称点落在轴上，
第3步，作关于的对称点，和轴的夹角，
第4步，作关于的对称点，和轴的夹角，
继续作关于的对称点，和轴的夹角，即，
∴，
，
∴点的坐标为，
故选：A．
本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键．
8．B
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定与性质，直角三角形的性质，过作交于，交于，交于，连接，由和的角平分线可得，则平分，，，得到的周长，再由等边，得到，，，再求出，得到，可以得到的周长是的周长的两倍，即可求解．
解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
9．A
本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，正确得出与的面积相等是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出和，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，根据三角形的面积公式可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出，由此即可得．
解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10．D
如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解．
解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，，则，
，则，
设，
∵
∴
∴
即到和的距离的和
如图所示，作关于轴的对称点
∴ 的长为的最小值，最小值为．
故选：D ．
本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键．
11．D
本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握垂直平分线的性质，等边对等角是解题的关键．根据垂直平分线的性质得，，，推出，可判断A；通过假设结论成立，推出不符合题意的结论，据此判断B和C；根据垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余可判断D．
解：∵垂直平分，
∴，，
∴
∵，
∴，即，
故选项A的结论错误，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
若，则，
但题中没有条件说明，
故选项B的结论错误，不符合题意；
若，则，
∵，
∴，即，
但题中没有条件说明，
故选项C的结论错误，不符合题意；
∵
∴，
即，
故选项D的结论正确，符合题意．
故选：D．
12．A
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，过作于，可得，即得，，得到，得到，， 得到，进而根据角平分线可得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：过作交的延长线于，过作于，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：．
13．A
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，延长，交的延长线于，由可证，可得，，由可证，可得，，可证，由勾股定理可得，即可求解．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
解：延长，交的延长线于，
，，
，
，
点是的中点，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
已知的长，
可求的长，
故选：A．
14．A
①根据平分，得，再根据得，由此可对结论①进行判断；
②证明和全等，则，再证明得，由此可对结论②进行判断；
③利用三角形内角和定理可求出，由此可对结论③进行判断；
④过点作于点，则，，由此得，再根据得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
解：①平分，，
，
，
在中，，
故结论①正确；
②，，
是等腰直角三角形，，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
；
故结论②正确；
③是等腰直角三角形，是边的中点，
，，
在中，，
，
，
是等腰三角形，
故结论③正确；
④过点作于点，如图所示：
平分，，
，
在中，，
，
又，，
，
，
，
，
，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：A．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
15．C
本题考查了坐标与图形，化简绝对值，分情况讨论为解题关键，根据新定义，结合中和距离的定义，即可求出动点P的轨迹方程，可得轨迹为两线段，即可求得长度．
解：
，
，
，
，，
当，时，
，，，，
，整理得：，
当，时，
，，，，
，整理得：，
当，时，
，或，，，
，或，整理后均不符合条件，
由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成：
一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为，
另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为，
则动点P的轨迹长度为，
故选：C
16．D
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据已知条件求出a，b的值成为解题的关键．
先解关于x的不等式组的解集，再根据其整数解确定a，b的值，进而确定的个数即可．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解，
∴ ，
∵不等式组的整数解，有且仅有4个：，
∴必须满足，解得，
∵a、b为整数，
∴或或，或6，
∴整数对有、、、、、，共6个．
故选：D．
17．A
本题考查一次函数和正比例函数图象的综合判断，根据每个选项中图象所过象限，判断出的符号，即可得出结果．
解：A、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，符合题意；
B、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意；
C、一次函数过一，二，三象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，故不符合题意；
D、一次函数过一，三，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意；
故选A．
18．D
本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答．
解：∵直线中，，∴y随x增大而减小，
∵，∴，
A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意；
B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定，
若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但，
综上，B错误，不符合题意；
C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意；
D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意；
故选：D．
19．B
根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明，，后利用勾股定理解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和定理是解题的关键．
解：∵，
∴，
∵，将绕点A顺时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴；，
∴，
∴，
∴
故①④正确；②③错误；
故选：B．
20．B
本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用三角形的三边关系求最值是解题的关键．
由等腰三角形的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可知三点共线时，取最小值1，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可．
解：如图：连接，
∵在中，，点D为中点，
∴，
∵为边向下作等边三角形，
∴，
∵，
∴三点共线时，取最小值1，
如图：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
21．或或
本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案．
解：如图，当时，
，
；
如图，当时，
由折叠的性质可得：，，
，
，
；
如图，当时，
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
22．
如图，连接，交于点，证明，，设，证明，可得，记的交点为，证明，再进一步利用勾股定理计算即可．
解：如图，连接，交于点，
∵，，
∴平分，即，，
∴，，
设，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
记的交点为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
本题考查的是正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
23． 3 6
本题考查了实数的运算．理清题意，熟练掌握新的运算法则，同底数幂乘法法则，是解题的关键．
（1）利用规定的运算法则即可求解．
（2）利用规定的运算法则，逐步脱式运算，即可求解．
解：（1）；
故答案为：3；
（2）
．
故答案为：6．
24．
作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，结合轴对称的性质以及垂线段最短的性质可得当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得直线的解析式，进而确定点，易得为等腰直角三角形，再证明为等腰直角三角形，进而解得的值，即可获得答案．
解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，
则，，，
∴，
过点作的平行线，由图可知线段在直线上方，
故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，
设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
本题主要考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
25．
本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度．
（1）根据题意得出，消去t即可得到；
（2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出．
（1）∵是“好点”，
∴，
消去t得到，
故答案为：；
（2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”，
∴，
消去t得：，
∵，
∴，
故答案为：．
26．
延长交于点，根据已知条件证明，进而得出，，设，则，勾股定理表示出的关系，进而根据在中，，勾股定理求得的值，根据，代入数据，进行计算即可求解．
解：如图所示，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴即，
在中，
∴
∴，，
设，则
在中，
在中，
∴，即
在中，，
∴
∴即
解得：（负值舍去）
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
27．4
本题考查等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握等边三角形面积公式．由图形得到，设直角三角形三边长为，由等边三角形面积等于边长的平方代入求解．
解：由图可知，，过点作于点，
设，则，
∵是等边三角形，
∴，，，，
∴，
在中，，
∴，
同理，，，
∵，，
∴
．
故答案为：．
28． 10 6
本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解；
（2）由条件易证，得到，所以，即可求解．
解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
29．
连接，，，由轴对称的性质可得，，，进而可得，于是可得是等边三角形，则，，由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为的长，此时由三线合一可得，然后由三角形外角的性质可得，据此即可求出的度数．
解：如图，连接，，，
点关于直线、的对称点分别为、，
，，，
，
，
是等边三角形，
，，
由垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长，
此时，
，
故答案为：．
本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，三线合一，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形并熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
30．
本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确找出临界位置是解题关键．
（1）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得；
（2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得．
解：（1）如图，由题意得：，
由对顶角相等得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点位于轴的负半轴上，
∴直线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
（2）对于函数，
要使得y为整数，则x为偶数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴线段上共有5个整数点：，，，，，
∵，
∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为，
则有以下两个临界位置：
①当点的坐标为，点的坐标为时，
设直线的解析式为，
将点和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，即，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
②当点的坐标为，点的坐标为时，
同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
∵，
∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
31．或
设与x轴交于点H，过点D作轴于K，轴于T，先求出点，点，则，，证明得，则是等腰直角三角形，进而得是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理求出，则点，点，当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况：①当时，则轴，则点P的横坐标为，由此可得点P的坐标；②当时，则，先求出直线的表达式为：，再求出直线的表达式为：，然后解方程组，即可得出点P的坐标，综上所述即可得出答案．
解：设与x轴交于点H，过点D作轴于K，轴于T，如图1所示：
对于，当时，，当时，，
∴点，点，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵是以为斜边的等腰三角形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴点，
∴，
∵是等腰直角三角形，轴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况：
①当时，则轴，如图2所示：
∴点P的横坐标为，
对于，当时，
∴点P的坐标为；
②当时，则，如图3所示：
设直线的表达式为：，
将点，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
∵，
∴，
将，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
解方程组：，得：，
∴点P的坐标为，
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或．
故答案为：或．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键．
32． /度
（1）过点作于点，作出的中点E，连接，结合三角形的面积公式可得，则，即，再证明是等边三角形，
可得．
（2）取点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接交于点，连接，，当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，为的长．由题意可得为等边三角形，则，，进而可得答案．
解：（1）如图1，过点作于点，作出的中点E，连接，
，的面积为1，
，
，
，
中，是斜边上的中线，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
（2）如图2，取点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接交于点，连接，，
当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，为的长．
由（1）可知，，
，
．
点与点关于对称，
垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
33． 或
本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据解析式求出点、坐标，由代入数据求出长即可；
（2）先求出点坐标，由角平分线可知，所以当为直角三角形时，其为等腰直角三角形，利用一线三垂直全等，构造等线段，从而建立方程求解即可．
解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
，，
，
，
由等面积可知，，
；
故答案为：；
（2）在中，，
，
如图，过作于点，
根据等面积可得，
把代入可得，
，
，平分，
①如图，当时，则，
过作轴，过作于点，于点，则，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
②如图，当时，则，
过作轴，过作于点，过作于点，
同理可得，
设，，
则，
解得，
，
，；
综上，点坐标为或．
故答案为：或．
34．/
此题主要考查含30度的直角三角形，熟练掌握含30度的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，添加辅助线段，是解题关键．
在上取点G，使，过点G作于点H，连接，则是等边三角形，由是等边三角形，证明，得， 有最小值，，得的最小值为．
解：∵在中，，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在上取点G，使，过点G作于点H，连接，
则是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴（或），
∴，
∴，
∴，
当点E与点H重合时，有最小值，为，
∴的最小值为．
故答案为：．
35． 1 或
此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键．
（1）将代入解答即可；
（2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可．
（1）当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
故答案为：1
（2）①当时，随着的增大而增大，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
②当时，随着的增大而减小，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
综上可知，的取值范围为或
故答案为：或
36．4
本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解．
解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
∴，当三点共线时最小即，
∵当时，最短，
∴即为所求，
∵， 是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵平分，
∴
∵，
设，则
在中，
∵
∴
解得
∴
∵
∴
故答案为：4．
37．
本题考查数形结合，一次函数的图象与性质；一次函数经过定点，函数是将的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，形如V字，开口向下，顶点在，通过分情况讨论和时方程的解，找出两个交点存在的条件即可．
∵一次函数与函数的图象交点由方程决定，
∴当时，，方程化为，即，
若，则，且 ，解得，
当时，，方程化为，即，
若，则，且需，解得或，
∴，
当或时，仅有一个交点；当或且时，也仅有一个交点，
故恰好有两个交点时，的取值范围是．
故答案为：．
38．
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线，利用轴对称的性质求解．
先证明，然后设，则，设，由“双勾股”可得，即可求解，即可求解．
解：连接，
∵点和点关于直线对称，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴设，则
设，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级上册
期末压轴选填题38 道【浙江期末真题汇编】试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.4 含30度角的直角三角形；等腰三角形的定义
2 0.4 根据正方形的性质求线段长；全等的性质和SAS综合（SAS）；几何问题(二元一次方程组的应用)
3 0.4 三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题
4 0.4 等边对等角；三线合一；根据成轴对称图形的特征进行求解；用勾股定理解三角形
5 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；几何问题(二元一次方程组的应用)
6 0.4 分式化简求值
7 0.4 含30度角的直角三角形；一次函数与几何综合；坐标与图形变化——轴对称；等边三角形的判定和性质
8 0.4 含30度角的直角三角形；等边三角形的性质；角平分线的性质定理；角平分线的判定定理
9 0.4 含30度角的直角三角形；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
10 0.4 利用平移的性质求解；等腰三角形的性质和判定；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；已知两点坐标求两点距离
知识点分布
11 0.4 等边对等角；三角形内角和定理的应用；线段垂直平分线的性质
12 0.4 等腰三角形的性质和判定；三线合一；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形
13 0.4 全等三角形综合问题；用勾股定理解三角形
14 0.4 等腰三角形的性质和判定；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三角形内角和定理的应用；角平分线的有关计算
15 0.4 一次函数与几何综合；带有字母的绝对值化简问题；已知两点坐标求两点距离
16 0.4 由不等式组解集的情况求参数
17 0.4 正比例函数的图象；根据一次函数解析式判断其经过的象限
18 0.4 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
19 0.4 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形
20 0.4 三角形三边关系的应用；三线合一；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
知识点分布
二、填空题 21 0.4 等边对等角；三角形内角和定理的应用；折叠问题
22 0.4 根据正方形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；化为最简二次根式；用勾股定理解三角形
23 0.4 同底数幂相乘；新定义下的实数运算
24 0.4 垂线段最短；等腰三角形的性质和判定；一次函数与几何综合；求一次函数解析式
25 0.4 求一次函数自变量或函数值
26 0.4 等腰三角形的性质和判定；公式法解一元二次方程；用勾股定理解三角形
27 0.4 含30度角的直角三角形；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
28 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
29 0.4 垂线段最短；三线合一；根据成轴对称图形的特征进行求解；等边三角形的判定和性质
30 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
知识点分布
31 0.4 等腰三角形的性质和判定；一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形
32 0.4 含30度角的直角三角形；等边对等角；线段问题(轴对称综合题)；用勾股定理解三角形
33 0.4 等腰三角形的性质和判定；一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
34 0.4 含30度角的直角三角形；垂线段最短；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质
35 0.4 求一次函数自变量或函数值；由不等式组解集的情况求参数
36 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；二次根式的混合运算；角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形
37 0.4 两直线的交点与二元一次方程组的解
38 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；等边对等角；用勾股定理解三角形

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