资源简介

19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加减
素养目标
1.掌握二次根式的加减运算法则，能进行二次根式的加减法运算.
2.会灵活运用二次根式的有关性质进行二次根式的加减运算.
教学重难点
重点：二次根式的加减运算法则.
难点：使学生掌握二次根式运算的方法，并能在练习中加以运用.
教学过程
新课导入
　　课件展示例题：现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
能截出两个正方形木板的条件是什么？你能用数学式子表示这个条件吗？
学生通过比较得出＜5，＜5，即木板的宽够，从而把问题转化为木板的长是否够，即转化为比较＋与7.5的大小问题，这就需要计算＋的结果.引出课题“二次根式的加减”.
新课教学
探究点一　可以合并的二次根式
【例1】化简下列二次根式，并指出哪些二次根式是可以合并的.
（1）.（2）－.（3）.（4）（a＞0，b＞0）.（5）b.
【解析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再观察每个最简二次根式的被开方数，被开方数相同的二次根式就可以合并.
【解】（1）＝＝3.
（2）－＝－＝－.
（3）＝＝.
（4）＝＝.
（5）b＝b＝.
（1）和（3），（2）和（5）可以合并.
【方法总结】判断两个二次根式是否可以合并，必须先将其化成最简二次根式，再看被开方数是否相同.若相同，则可以合并，否则不能合并.
探究点二　二次根式的加减运算
【例2】计算：
（1）＋6－2x.
（2）－.
【解析】先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
【解】（1）原式＝×3＋6×－2x·
＝2＋3－2
＝3.
（2）原式＝2－＋－＋
＝＋
＝－.
【方法总结】二次根式的加减法运算的步骤：（1）将每个二次根式都化简；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.可简记如下：一化简，二判断，三合并.
课堂训练
1.计算－的结果是（　　）
A. B.－　　
C.－2　 D.2
2.下列计算正确的是（　　）
A.＋＝ B.－＝
C.3－＝3 D.3＋2＝5
3.计算：
（1）2－6＋.
（2）＋6.
板书设计
第1课时　二次根式的加减
1.二次根式的加减运算的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
2.步骤：一化简，二判断，三合并.
课堂小结
本节课学习了二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.会根据二次根式的加减法法则进行化简运算.
教学反思
　　本节课先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，此问题贴近学生的生活，易激发学生的学习兴趣.由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则，再理解、掌握和运用二次根式的加减运算法则.
　　在二次根式的加减运算中，要将最后结果化为最简二次根式，但几个二次根式是否可以合并，就需要判断被开方数是否相同，没有整式同类项的判断直接.前者往往需要把每一个二次根式化简，这会造成学生学习困难，所以教师在教学过程中引导学生进行类比时，指向一定要明确，由浅入深，总结得出“一化简”“二判断”“三合并”的步骤.
答案
课堂训练
1.C　2.B
3.解：（1）原式＝2×2－6×＋4
＝4－2＋4
＝6.
（2）原式＝×3＋6×
＝4＋3
＝7.
第2课时　二次根式的混合运算
素养目标
1.类比整式及数的混合运算进行二次根式的混合运算.
2.正确地进行二次根式的混合运算和求含有二次根式的代数式的值.
教学重难点
重点：掌握二次根式的混合运算的方法.
难点：会用二次根式的混合运算法则进行有关的计算.
教学过程
新课导入
计划在甲、乙两个城市间修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽4m、下底宽6m、高m的梯形.已知这段路基长500m，那么这段路基的土石方（路基的体积）为多少立方米？（路基的体积＝路基横断面面积×路基的长度）
新课教学
探究点　二次根式的混合运算
类型一　二次根式的混合运算
【例1】计算：
（1）（＋）.
（2）（4－3）÷2.
（3）（＋2）（－3）.
（4）（5＋）（5－）.
（5）（＋2）2.
（6）（2－）2.
【解析】根据单项式乘单项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式的法则及乘法公式进行计算.
【解】（1）原式＝＋＝3＋2.
（2）原式＝4÷2－3÷2＝2－.
（3）原式＝6－3＋2－6＝－.
（4）原式＝52－（）2＝25－7＝18.
（5）原式＝5＋4＋4＝9＋4.
（6）原式＝12－4＋2＝14－4.
【方法总结】二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方，再乘除，最后加减.在二次根式的混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.
类型二　有关二次根式的整数部分和小数部分的运算
【例2】已知7＋和7－的小数部分分别为a，b，试求代数式ab－a＋4b－3的值.
【解析】明确的整数部分是2，再得到7＋＝9＋a，7－＝4＋b，进而可求得a，b的值，最后代入计算即可.
【解】∵的整数部分为2，∴7＋＝9＋a，7－＝4＋b，解得a＝－2＋，b＝3－，
∴ab－a＋4b－3＝（－2＋）×（3－）－（－2＋）＋4×（3－）－3＝－11＋5＋2－＋12－4－3＝0.
【方法总结】先估算出二次根式的整数部分，再用二次根式减去整数部分，得出小数部分，最后把a，b的值代入求值.
类型三　二次根式的化简求值
【例3】已知x＝2－，则x2－4x－3的值为　　　　.
【解析】先利用已知条件得x－2＝－，然后利用整体代入的方法计算即可.∵x＝2－，∴x－2＝－，∴x2－4x－3＝（x－2）2－7＝（－）2－7＝3－7＝－4.
【解】－4
【方法总结】二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.
课堂训练
1.计算：
（1）（＋1）（－1）＋×.
（2）÷.
2.若的整数部分是a，小数部分是b，求a2＋（1＋）ab的值.
板书设计
第2课时　二次根式的混合运算
二次根式的混合运算的法则及公式的运用.
课堂小结
本节课学习了二次根式的混合运算的法则，掌握混合运算的顺序，能够正确地进行混合运算.
教学反思
　　在二次根式的混合运算中，让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系.在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.
学会进行二次根式的加、减、乘、除的混合运算，对用换元法、公式法等解决二次根式的化简问题还有待加强.
答案
课堂训练
1.解：（1）原式＝2－1＋
＝1＋4
＝5.
（2）原式＝÷3
＝＋.
2.解：＝＝.
∵2＜＜3，
∴5＜3＋＜6，
∴2.5＜＜3.
∵的整数部分是a，小数部分是b，
∴a＝2，b＝－2＝，
∴a2＋（1＋）ab＝22＋（1＋）×2×＝4＋（7－1）＝4＋6＝10.

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