资源简介

19.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
素养目标
1.掌握二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算.
2.能逆用二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行化简.
教学重难点
重点：探究二次根式的乘法法则和乘法法则的逆用.
难点：二次根式的性质及乘法法则的正确运用和二次根式的化简.
教学过程
新课导入
我们以前学习过有理数、整式、分式的加、减、乘、除运算，你们认为二次根式能不能进行加、减、乘、除运算？
一块长方形木板的长和宽分别为cm和cm，求这块长方形木板的面积.
×＝？
新课教学
探究点一　二次根式的乘法法则
【例1】计算：
（1）×.
（2）4·.
（3）6×（－3）.
（4）3·2.
【解析】根据二次根式的乘法法则进行运算.
【解】（1）原式＝＝＝4.
（2）原式＝4＝4.
（3）原式＝6×（－3）×＝－18×4＝－72.
（4）原式＝3×2×＝30.
【方法总结】在进行二次根式的乘法运算时，二次根式前面的倍数相乘，被开方数相乘.
探究点二　二次根式乘法法则的逆用
【例2】化简：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）（x≥0）.
【解析】（1）（2）直接利用公式进行化简；（3）（4）化简时先分解因式.
【解】（1）原式＝＝×＝10.
（2）原式＝
＝
＝××
＝28.
（3）原式＝
＝×
＝5.
（4）原式＝
＝··
＝4x.
【方法总结】（1）被开方数一定是积的形式，不能出现＝＋的错误；（2）若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运用二次根式的性质进行化简；（3）最后要检验开出来的数（或式）及留在根号内的数（或式）都必须是非负数.
课堂训练
1.下列计算正确的是（　　）
A.4×＝4 B.5×5＝5
C.4×2＝6 D.4×＝4
2.等式＝·成立的条件是（　　）
A.a≥－1 B.a≤1
C.－1＜a≤1 D.－1≤a≤1
3.计算：
（1）（a≥0，b≥0）.
（2）.
（3）×.
（4）（y≥0）.
（5）6×（－2）.
（6）··.
板书设计
第1课时　二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法则：·＝（a≥0，b≥0）.
2.＝·（a≥0，b≥0）.
课堂小结
本节课学习了二次根式的乘法法则，让学生能根据二次根式的乘法法则进行二次根式的乘法运算，还学习了二次根式乘法法则的逆用，让学生能根据公式的逆用进行二次根式的化简.
教学反思
　　本节课的内容是在上一节二次根式的性质的学习基础上，要求学生能熟练运用乘法法则进行化简和计算.在教学过程中，通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则，学生比较容易接受.在具体进行化简和计算的过程中，学生对二次根式的乘法法则的理解掌握较好，但在运用法则进行计算或化简时，常常忘记计算结果需要化简，尤其是在被开方数是多项式的乘法运算中容易出现错误，对分解因式还不够熟练.因此还要加强训练，否则，在下一节二次根式的除法运算时出现的错误会更多.
总之，在二次根式的乘法运算法则的学习和运用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.
答案
课堂训练
1.D　2.D
3.解：（1）原式＝··＝3a.
（2）原式＝×＝2×9＝18.
（3）原式＝＝＝2.
（4）原式＝＝2y.
（5）原式＝12×（－2）
＝－24
＝－48.
（6）原式＝××···
＝6x3.
第2课时　二次根式的除法
素养目标
1.会运用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.
2.会逆用二次根式的除法法则化简二次根式.
3.理解最简二次根式的概念，知道在二次根式的运算中，把最后结果化为最简二次根式.
教学重难点
重点：二次根式的除法法则、二次根式除法法则的逆用和最简二次根式.
难点：二次根式的除法法则及其逆用.
教学过程
新课导入
物体从水平高度为hm的地方落下与落地时间ts，它们近似地符合公式t＝.一个物体从100m高处落下，则它落地时间t1是多少？
新课教学
探究点一　二次根式的除法法则
【例1】计算：
（1）÷.
（2）－÷.
（3）÷.
（4）（a≥0，b＞0）.
【解析】利用二次根式的除法法则进行计算，且被开方数相除时，可以用“除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简.
【解】（1）原式＝＝＝＝2.
（2）原式＝×
＝－×
＝－×3×2×
＝－20.
（3）原式＝－
＝－
＝－4ab.
（4）原式＝
＝
＝2a.
【方法总结】两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘.
探究点二　二次根式除法法则的逆用
【例2】将下列各式化简：
（1）.
（2）.
（3）a.
（4）（x＞y＞0）.
【解析】（1）先将带分数化为假分数，然后运用性质化简；（2）需要将分子、分母同时乘2，将分母化成一个完全平方数，然后运用性质化简；（3）需要将分子、分母同乘a，再运用性质化简；（4）将被开方数的分子分解因式，并且分子、分母同时乘xy，确保分母开方后不含根号.
【解】（1）原式＝
＝
＝.
（2）原式＝
＝.
（3）原式＝a
＝a·
＝.
（4）原式＝
＝·
＝.
【方法总结】逆用二次根式的除法法则化简二次根式的方法：（1）若被开方数的分母是一个完全平方数（或完全平方式），则可以直接逆用二次根式的除法法则，先将分子、分母分别开平方，然后求商；（2）若被开方数的分母不是完全平方数（或完全平方式），可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数（或完全平方式），然后逆用二次根式的除法法则进行化简.
探究点三　最简二次根式
【例3】下列式子中，是最简二次根式的是（　　）
A. B.
C. D.
【解析】A.符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；B.＝｜a｜，可以化简；C.＝2，可以化简；D.＝，可以化简.
【答案】A
【方法总结】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）被开方数不含分母.
（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
课堂训练
1.计算÷的结果为（　　）
A.　　　　　　　　　B.
C.2 D.
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B.
C. D.
3.计算÷×结果为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
板书设计
第2课时　二次根式的除法
1.二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）.
2.二次根式除法法则的逆用：＝（a≥0，b＞0）.
3.最简二次根式的概念.
课堂小结
本节课学习了二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0），使学生能用除法法则进行二次根式的除法运算；还学习了二次根式的除法法则的逆用及最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的两个条件，能准确地判断哪些式子是最简二次根式.
教学反思
　　本节课的内容是在前一节二次根式的乘法的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.在此过程中教师要给予适当的指导，提出的问题要让学生有一定的探索方向.
答案
课堂训练
1.C　2.D　3.B

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