资源简介

19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
素养目标
1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数.
2.会根据二次根式的意义，求字母的取值范围.
教学重难点
重点：理解二次根式的概念.
难点：理解二次根式的双重非负性.
教学过程
新课导入
你们能用带有根号的式子填空吗？
（1）面积为3的正方形的边长为　　　　，面积为S的正方形的边长为　　　　.
（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为　　　　m.
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与落下的高度h（单位：m）近似满足关系h＝5t2.若用含有h的式子表示t，则t＝　　　　.
上面填的式子，，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
新课教学
探究点一　二次根式的概念
【例1】在式子（x＞0），，（y＝－2），（x＞0），，，x＋y中，二次根式有（　　）
A.2个　 B.3个　 C.4个　 D.5个
【解析】（x＞0），，符合二次根式的概念.（y＝－2），（x＞0）无意义，不是二次根式.属于三次根式.x＋y不是根式.
【答案】B
【方法总结】判断一个式子是否是二次根式，关键是看这个式子是否满足两个条件：①式子的形式上带二次根号；②被开方数是非负数.
探究点二　二次根式有意义的条件
【例2】若＞0，则x的取值范围是（　　）
A.x≤0　　B.x≥0　　C.x＞3　　D.x＜3
【解析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x－3＞0，解得x＞3.
【答案】C
【方法总结】求式子有意义时字母的取值范围的步骤：第一步，明确式子有意义的条件，满足被开方数为非负数.当存在多个二次根式时，必须满足多个被开方数同时为非负数.当二次根式中含有分母时，则还需满足分母不能为零.第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组.第三步，求不等式或不等式组的解集，该解集即为字母的取值范围.
探究点三　二次根式（a≥0）的非负性
【例3】若（m－1）2＋＝0，则m＋n的值是（　　）
A.－1 B.0 C.1 D.2
【解析】由题意，得m－1＝0，n＋2＝0，
解得m＝1，n＝－2，
∴m＋n＝1＋（－2）＝－1.
【答案】A
【方法总结】常见的具有非负性的式子有三类：绝对值、偶次幂、二次根式.当它们的和为0时，必须满足每一项都等于0，列出方程求解即可.
课堂训练
1.下列式子是二次根式的是（　　）
A.　 B.
C. D.
2.（1）已知＋＝0，求a＋b的值.
（2）若x，y均为实数，且x2＝＋＋9，求x＋y的值.
板书设计
第1课时　二次根式的概念
1.二次根式的概念.
2.二次根式有意义的条件.
课堂小结
本节课学习了二次根式的概念及意义，理解二次根式的双重非负性，使学生会根据二次根式的概念判断哪些式子是二次根式，还会根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围.
教学反思
　　本节课的重点是二次根式的概念、意义及二次根式的双重非负性.在教学过程中，要不断引导学生从已有的知识出发，通过观察、思考，发现问题，以学生独立思考为主，关注学生自主学习、合作交流的能力.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）∵＋＝0，且≥0，≥0，∴a－1＝0，3＋b＝0，
解得a＝1，b＝－3，∴a＋b＝－2.
（2）∵x2＝＋＋9，
∴y－5≥0且5－y≥0，∴y≥5且y≤5，
∴y＝5，∴x2＝9，解得x＝±3.
当x＝3时，x＋y＝3＋5＝8；
当x＝－3时，x＋y＝－3＋5＝2.
故x＋y的值为8或2.
第2课时　二次根式的性质
素养目标
1.经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义.
2.会运用二次根式的性质进行二次根式的化简.
教学重难点
重点：理解二次根式的性质.
难点：二次根式的性质的灵活运用.
教学过程
新课导入
等于什么？
我们不妨取一些特殊值作为a的值，如2，－2，3，－3，…，分别计算出对应的的值，看看有什么规律.
＝＝2；＝＝2；
＝＝3；＝＝3；
…
你能概括一下与a的关系吗？
新课教学
探究点一　二次根式的性质：（）2＝a（a≥0）
【例1】计算下列各式：
（1）（）2.（2）.（3）（）2.
（4）（－）2.（5）（3）2.
【解析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质直接进行计算，（4）（5）根据积的乘方分别乘方，再利用二次根式的性质计算.
【解】（1）原式＝4.
（2）原式＝.
（3）原式＝0.
（4）原式＝（－1）2×（）2＝1×0.6＝0.6.
（5）原式＝32×（）2＝9×2＝18.
【方法总结】利用公式（）2＝a时，需要注意它的前提条件是a≥0.当a＜0时，二次根式没有意义.
探究点二　二次根式的性质：＝a（a≥0）
类型一　已知字母的取值范围进行化简
【例2】当1＜a＜2时，代数式－｜1－a｜的值是（　　）
A.－3　　 B.1－2a　
C.3－2a　 D.2a－3
【解析】∵当1＜a＜2时，a－2＜0，1－a＜0，
∴－｜1－a｜
＝｜a－2｜－｜1－a｜
＝2－a－（a－1）
＝2－a－a＋1
＝3－2a.
【答案】C
【方法总结】通过已知字母的取值范围判断出被开方数的底数或绝对值内的式子的正负性，再根据二次根式的性质进行化简.
类型二　与数轴有关的化简
【例3】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：｜a｜－＋＋－（）2.
【解析】利用数轴上点的位置判断出a，a＋c，c－a，以及b的正负，再根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简.
【解】根据题意，得c＜0＜a＜b，且｜a｜＜｜c｜，∴a＋c＜0，c－a＜0，
则原式＝a＋a＋c＋a－c＋a－c－b＝4a－c－b.
【方法总结】运用＝｜a｜进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号，而去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的代数式的符号；根据数轴上的点的位置判断字母和代数式的取值范围，即先确定其符号，然后进行化简.
课堂训练
1.下列计算正确的是（　　）
A.＝±3 B.＝－3　
C.＝4　 D.（2）2＝8
2.若＝a－，则a的取值范围是（　　）
A.a≥ B.0≤a≤
C.a≤ D.一切实数
3.已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简｜a｜＋的结果是（　　）
A.－2a－b　 B.－b　
C.2a＋b　　 D.－2a＋b
4.若x＜2，化简：＋｜4－x｜.
板书设计
第2课时　二次根式的性质
二次根式的性质：①（）2＝a（a≥0）；
②＝a（a≥0）.
课堂小结
本节课学习了二次根式的两个性质：①（）2＝a（a≥0）；②＝a（a≥0）.使学生能运用二次根式的性质进行计算，能根据字母的取值范围或数轴上的字母的取值范围判断被开方数的范围，然后根据二次根式的性质进行化简.
教学反思
　　本节课引导学生边学边做，让学生经历整个学习过程.在学习过程中，引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己初步得出了结论，并且通过其他学生的补充越来越完善.二次根式的性质是二次根式的化简和运算的重要基础.学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简并解决一些综合性较强的问题.由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式的性质的灵活运用存在一定的困难，因此课下还需精选相关的练习题进行巩固加深.
答案
课堂训练
1.C　2.A　3.A
4.解：∵x＜2，
∴x－2＜0，4－x＞0，
∴原式＝｜x－2｜＋｜4－x｜
＝2－x＋4－x
＝6－2x.

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