资源简介

20.1.1勾股定理
素养目标
1.了解勾股定理的文化背景，经历勾股定理的探索过程.
2.在勾股定理的探索过程中，培养合情推理的能力，体会数形结合的思想.
3.掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理进行相关问题的计算.
教学重难点
重点：1.探索和证明勾股定理.
2.掌握勾股定理及会运用勾股定理计算直角三角形的边长.
难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理.
教学过程
新课导入
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.如图所示的是本届大会的会徽的图案.
（1）你们见过这个图案吗？
（2）你们听说过勾股定理吗？
新课教学
探究点一　勾股定理的探索与证明
【例1】如图所示的是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，其中直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c.请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图.
（2）证明勾股定理.
【解析】勾股定理的证明可以通过图形的面积之间的关系来完成.
【解】（1）拼成的图形如图所示.
（2）证明：∵大正方形的面积可以表示为（a＋b）2，也可以表示为c2＋4×ab，∴（a＋b）2＝c2＋4×ab，a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
【方法总结】勾股定理的证明主要是通过拼图法利用面积的关系，拼图又常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；用面积法验证勾股定理的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形、正方形、梯形）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的.
探究点二　勾股定理的运用
类型一　利用勾股定理求直角三角形的边长
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别是a，b，c.
（1）已知a＝b＝6，求c.
（2）已知c＝3，b＝2，求a.
（3）已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
【解析】分清已知量和待求量.∵在Rt△ABC中，a，b，c分别是△ABC的三边长，∴可用勾股定理解决问题.
【解】（1）∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得c＝＝＝6.
（2）∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得a＝＝＝.
（3）∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，c＝5，∴a＝2b.由勾股定理，得（2b）2＋b2＝52，可得b＝.
【方法总结】已知直角三角形的两边长，求第三边的长，关键是先明确所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式.
类型二　构造直角三角形用勾股定理求解
【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，BC－CD＝4.求四边形ABCD的周长.
【解析】连接BD，先证△ABD是等边三角形，得∠ADB＝60°，AB＝AD＝BD＝6，结合∠ADC＝150°可知∠BDC＝90°.设CD＝x，则BC＝x＋4.在Rt△BCD中利用勾股定理可得x的值，从而得出答案.
【解】连接BD，如图.
∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AB＝AD＝BD＝6.
又∵∠ADC＝150°，∴∠BDC＝90°.
设CD＝x，则BC＝x＋4.
在Rt△BCD中，由勾股定理可得x2＋62＝（x＋4）2，
解得x＝，∴BC＝＋4＝.
故四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝6＋＋＋6＝21.
【方法总结】当三角形不是直角三角形时，可作出辅助线来构造直角三角形，设出一未知边的长，利用勾股定理列方程求解.
课堂训练
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠A，∠B，∠C所对的三边长分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的值为（　　）
A.26　　　B.18　　　C.25　　　D.21
2.如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成1个大正方形.若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（　　）
A.121 B.144
C.169 D.19
板书设计
201.1　勾股定理
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课堂小结
本节课学习了勾股定理以及勾股定理的证明.掌握勾股定理的内容并会用勾股定理求直角三角形的边长，会用几何图形证明勾股定理.
教学反思
　　勾股定理是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切联系起来，它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位.整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线，让学生亲身经历勾股定理的探索和验证过程.在教学中要关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极地思考，能否探索出解决问题的方法，能否积极地进行联想（数形结合）以及学生能否有条理地表述活动过程和所获得的结论，关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理等.
答案
课堂训练
1.C　2.C

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