资源简介

20.2.2　勾股定理的逆定理的实际应用
素养目标
1.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提升分析问题、解决问题的能力.
2.借助实际问题中几何图形的形象关系，进一步理解勾股定理的逆定理，培养学生的几何直观，发展学生的空间想象能力.
3.灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题，感受数学学习的实用性.
教学重难点
重点：灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.
难点：从实际问题中抽象出数学模型.
教学过程
新课导入
某品牌婴儿车，简化结构示意图如下.现测得AB＝CD＝60cm，BC＝30cm，AD＝90cm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD.该车是否符合安全标准？
新课教学
探究点一　勾股定理的逆定理的实际应用
【例1】如图，有一艘不明身份的轮船进入我国海域，甲、乙两艘巡逻艇分别立即从相距20nmile的A，B两个港口前去拦截，A，B两个港口位于东西方向的海岸线上，两艘巡逻艇20min后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇的航行速度为48nmile/h，乙巡逻艇的航行速度为36nmile/h，乙巡逻艇的航向为北偏西37°.你知道甲巡逻艇沿哪个方向航行吗？
【解析】由题意求出AB，AC，BC的长，可得出AC2＋BC2＝AB2.由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，最后通过三角形的内角和即可得出答案.
【解】由题意，得AB＝20nmile，AC＝48×＝16（nmile），BC＝36×＝12（nmile），
∴易得AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
∵乙巡逻艇的航向为北偏西37°，
∴∠CBA＝90°－37°＝53°，
∴∠CAB＝180°－∠C－∠CBA＝37°.
∵90°－37°＝53°，
∴甲巡逻艇沿北偏东53°方向航行.
【方法总结】此题主要考查了直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理及方向角的理解及运用.利用勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形是解题的关键.
探究点二　综合运用勾股定理及其逆定理解决问题
【例2】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，边BC上的中线AD＝2，延长AD到点E，使ED＝AD，连接CE.
（1）求证：CE⊥AE.
（2）求BC的长.
【解析】（1）根据题设提供的信息，将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明.（2）根据勾股定理求出CD的长，进而可求出BC的长.
【解】（1）证明：∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD＝BC.
又∵∠ADB＝∠EDC，AD＝ED＝2，
∴△ABD≌△ECD，∴BA＝CE＝3.
∵AE＝AD＋ED＝4，∴AE2＝16.
又∵CE2＝9，AC2＝25，且9＋16＝25，
∴CE2＋AE2＝AC2，
∴△AEC为直角三角形，且∠E＝90°，
即CE⊥AE.
（2）在Rt△CED中，由勾股定理，得CD＝＝，
∴BC＝2CD＝2.
【方法总结】利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法.
课堂训练
如图，供电所的小王师傅要安装一根电线杆，按要求电线杆要与地面垂直.因此，小王师傅从电线杆上离地面8m高的点C处向地面拉一根长10m的钢绳，现测得地面钢绳的固定点A到电线杆底部点B的距离为6m.该电线杆的安装是否符合要求？请说明理由.
板书设计
20.2.2　勾股定理的逆定理的实际应用
利用勾股定理的逆定理解决实际问题中的方向、形状等判断.
课堂小结
本节课学习了如何运用勾股定理的逆定理解决实际问题.将实际场景中的问题抽象成数学中的三角形问题，依据勾股定理的逆定理得出三角形的形状或角度信息，进而解决实际问题.
教学反思
　　在教学过程中，通过实际生活中的航海方向问题等具体实例引入，激发了学生的学习兴趣和探究欲望，让学生深刻感受到数学知识与生活的紧密联系，提高了学生学习数学的积极性.在例题讲解环节，注重引导学生分析问题，逐步厘清解题思路，从实际问题中抽象出数学模型，再运用勾股定理的逆定理进行求解，培养了学生解决实际问题的能力和数学建模能力.大部分学生能够跟随教师的引导，理解并掌握解决此类问题的方法.但一些基础较薄弱的学生，在理解勾股定理逆定理的证明过程以及将实际问题转化为数学模型的过程中存在困难，课堂上个别辅导不够到位，没有及时关注到这部分学生的学习情况，导致他们可能对后续内容的学习产生畏难情绪.课后针对这部分学生进行个别辅导，为他们弥补知识漏洞，增强学习信心.
答案
课堂训练
解：符合要求.理由：由题意，得AB＝6m，BC＝8m，AC＝10m.
∵62＋82＝102，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
即电线杆与地面垂直，
∴该电线杆的安装符合要求.

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