资源简介

20.2.1　勾股定理的逆定理
素养目标
1.理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理.
2.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.
教学重难点
重点：理解并掌握勾股定理的逆定理.
难点：勾股定理的逆定理的证明.
教学过程
新课导入
古埃及人用以下方法画直角三角形：
把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第4个结和第8个结钉牢（拉直绳子）.
你能回答三角形三边有什么关系吗？
32＋42＝52→直角三角形
你能猜想出其中的数学道理吗？
新课教学
探究点一　勾股定理的逆定理
【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.
（1）在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16.
（2）在△ABC中，AC＝a－1，AB＝a＋1，BC＝.
（3）在△ABC中，AC∶AB∶BC＝3∶2∶.
【解析】先确定最长边，然后计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和.
【解】（1）在△ABC中，AC2＋BC2＝122＋162＝400＝202＝AB2，∴△ABC是直角三角形.
（2）在△ABC中，AC2＋AB2＝（a－1）2＋（a＋1）2＝2a2＋2＝（）2＝BC2，∴△ABC是直角三角形.
（3）设AC，AB，BC的长分别为3x，2x，x（x＞0）.在△ABC中，AC2＋AB2＝（3x）2＋（2x）2＝13x2＝（x）2＝BC2，∴△ABC是直角三角形.
【方法总结】已知三角形的三边长，判断这个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）先比较三边的大小，找出最长边；
（2）计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等.若相等，则是直角三角形，并且最长边所对的角是直角；若不相等，则不是直角三角形.
探究点二　勾股数
【例2】下列几组数中，是勾股数的是（　　）
A.1，，　　 B.8，15，17
C.7，14，15　　　 D.，，1
【解析】A.不是，因为和不是正整数；
B.是，因为82＋152＝172，且8，15，17是正整数；
C.不是，因为72＋142≠152；
D.不是，因为与不是正整数.
【答案】B
【方法总结】确定勾股数：首先看这三个数是否是正整数；然后看比较小的两个数的平方是否等于最大数的平方.记住常见的勾股数（3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25）可以提高解题速度.
课堂训练
1.下列各组线段的长中，能够组成直角三角形的一组是（　　）
A.1，2，3　　　 B.2，3，4　　　
C.4，5，6　　　 D.1，，
2.若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a－b）（a2＋b2－c2）＝0，则△ABC是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
D.等腰直角三角形
板书设计
20.2.1　勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数.
课堂小结
本节课学习了勾股定理的逆定理的内容，会根据逆定理的内容判断一个三角形是否是直角三角形.
教学反思
本节课从勾股定理的反面出发，用绳子围直角三角形、根据给定的三边画三角形再完成数据测量、三角形的形状的判定、考古探究，这些都是以小组为单位进行的自主活动，既培养了学生的动手操作能力，又培养了学生的合作精神.为突破“勾股定理的逆定理的证明”这一教学难点，我们又设计了一个由特殊到一般的探索、归纳过程，来凸显“构造直角三角形”这一问题转化的关键.勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的重要方法，除此以外，它还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的素材.作为一种数学模型，它在日常生活中（比如，测量等）也有着极其广泛的应用.
答案
课堂训练
1.D　2.C

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