资源简介

20.1.3　勾股定理的作图与计算
素养目标
1.能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理.
2.能应用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点.
教学重难点
重点：在数轴上寻找表示，，等无理数的点.
难点：用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.
教学过程
新课导入
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝4，b＝1，则c＝　　　　.
（2）若a＝3，c＝，则b＝　　　.
（3）若c＝，b＝2，则a＝　　　　.
2.已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC＝　　　　.　
数轴上的点与实数之间有怎样的关系？
新课教学
探究点一　作长为（n为正整数）的线段
类型一　在数轴上表示无理数
【例1】作图：在数轴上作出表示－的点.
【解析】在数轴上构造直角三角形，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段.
【解】如图所示，OA＝3，AB＝1，AB⊥OA.由勾股定理，得OB＝＝＝.以点O为圆心，OB的长为半径作弧交数轴的负半轴于点P，点P即为数轴上表示－的点.
【方法总结】利用勾股定理作出长为的线段的关键是找到两个整数a，b，使a2＋b2＝n2，因此只要作出直角边为a，b的直角三角形，其斜边的长就是长为的线段.
类型二　矩形与无理数
【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上.若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（　　）
A.2　　　 B.－1
C.－1　　　 D.
【解析】由题意，得AC＝＝＝，
∴AM＝.
又∵点A在数轴上表示的数为－1，
∴点M表示的数为－1.
【答案】C
【方法总结】根据勾股定理求出矩形的对角线的长，再作出以某点为圆心，对角线的长为半径所作的弧在数轴上的交点.
类型三　在网格中表示无理数
【例3】如图所示的是由4个边长为1的小正方形构成的网格，只用无刻度的直尺在这个网格中最多可以作出　　　　条长度为的线段.
【解析】根据勾股定理，得＝，则只需寻找以1，2为直角边长的直角三角形即可.
【解】8
【方法总结】在网格中表示无理数时，先选择无理数所在的三角形，三角形的两直角边长都是网格中小正方形的边长的倍数，无理数则是斜边长，找出符合的直角三角形，则可找出长度为无理数的线段.
探究点二　求最短距离
【例4】一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，有不同的爬行路线.画出平面图示（相同类型画一个），并通过计算说明哪条路线最短，最短路线是多少.
【解析】利用展开图不同，分别结合勾股定理得出AB的长，求出答案.
【解】如图①所示，AB＝＝（cm）；
如图②所示，AB＝＝（cm）；
如图③所示，AB＝＝（cm）.
∵＜＜，
∴蚂蚁按照图①所示的路线爬行，路线最短，最短路线是cm.
【方法总结】解决平面展开图的最短路径问题，画出平面展开图并利用分类讨论是解题关键.
课堂训练
1.如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，则这个点表示的实数为（　　）
A.1 B. C.1.5 D.2第1题图　　第2题图
2.如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则五边形ABCDE的面积为（　　）
A.　 B.　　
C.　　 D.　
3.在数轴上作出对应的点.
板书设计
201.3　勾股定理的作图与计算
1.在数轴上表示无理数.
2.求最短距离.
课堂小结
本节课学习了在数轴上表示长为（n为正整数）的线段，会利用勾股定理在数轴上作出一个无理数对应的点，以及求最短距离.
教学反思
　　巧编习题培养学生思维，目的是以题代点，复习勾股定理的内容，比直接提问定理内容更有效.设置合理情境，提高学习兴趣.通过课件展示一些美丽的勾股图案，介绍它们的画法，调动学生的积极性.具体操作演示作图步骤，加深印象.注重知识形成，及时归纳，提高学习能力.采用学习小组内组长检查，交换批改的方式加以纠正.这样既培养了学生的辨别能力和自我检查评价能力，又能及时纠正，使得问题能够当场得到解决.
答案
课堂训练
1.B　2.D
3.解：过数轴上表示2的点C作数轴的垂线，然后以点C为圆心，1个单位为半径作弧，交垂线于点A，连接OA.在Rt△OAC中，由OC＝2，AC＝1，利用勾股定理得到OA的长为.以点O为圆心，OA的长为半径作弧，与数轴交于点B，点B即为所求作的点.

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