资源简介

20.1.2　勾股定理的实际应用
素养目标
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题.
教学重难点
重点：运用勾股定理解决简单的实际问题.
难点：将实际问题转化为数学问题.
教学过程
新课导入
如图，在一棵树的5m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下来走向离树15m处的池塘，而另一只猴子爬到树顶后直扑池塘（假设其下落的轨迹为直线）.如果两只猴子经过的路程相等，那么你能求出这棵树的高度吗？
新课教学
探究点　勾股定理的应用
类型一　用勾股定理求旗杆的高度
【例1】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2m，如图①；当把绳子的下端拉开8m后，下端刚好接触到地面，如图②.根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
【解析】由题可知，旗杆、绳子与地面构成直角三角形，根据题中的数据，用勾股定理即可解答.
【解】设旗杆高xm，则绳子的长为（x＋2）m.
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆、绳子与地面构成直角三角形.
由题意，得x2＋82＝（x＋2）2，
解得x＝15，
∴旗杆的高度为15m.
【方法总结】在运用勾股定理解决实际问题时，要从实际问题中抽象出数学问题，即建立直角三角形模型，把实际的量抽象成线段的长度，进而转化为求直角三角形的边长.如果没有直角三角形，可以添加辅助线构造出直角三角形，在直角三角形中明确斜边和直角边，已知两边的长可以求出第三边的长.
类型二　用勾股定理求两地的距离
【例2】如图，某电信公司计划在A，B两个乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E处的距离相等.已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km.信号塔应该建在离A乡镇多少千米的地方？
【解析】可以设AE＝xkm，则BE＝（80－x）km.在Rt△ADE中根据勾股定理可以求得DE2，在Rt△BCE中根据勾股定理可以求得CE2，根据DE＝CE可以求得x的值，即可求得AE.
【解】设AE＝xkm，则BE＝（80－x）km.
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
∴DE2＝AD2＋AE2，CE2＝BE2＋BC2.
又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，
∴502＋x2＝（80－x）2＋302，
解得x＝30.
故信号塔应该建在离A乡镇30km的地方.
【方法总结】在运用勾股定理解决距离问题时，应先根据勾股定理找出各直角三角形中各边的关系，再根据其他等量关系列出等式求解.
类型三　勾股定理在方位角中的应用
【例3】如图，北部湾海面上有一艘军舰正在A基地的正东方向且距A基地40nmile的B处训练，突然接到基地命令，要求该军舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治.已知C岛在A基地的北偏东58°方向且距A基地32nmile，在B处的北偏西32°方向上.该军舰从B处出发，平均每小时行驶40nmile.问至少需要多长时间才能把患病的渔民送到基地.
【解析】根据方向角可得出△ACB是直角三角形.在Rt△ACB中，根据勾股定理可求出BC，则AC＋BC即可求得，然后根据时间＝路程÷速度即可解答.
【解】根据题意，得∠CAB＝32°，∠CBA＝58°，则∠C＝180°－32°－58°＝90°，即△ACB是直角三角形.
在Rt△ACB中，BC＝＝24nmile，
则AC＋BC＝32＋24＝56（nmile），
56÷40＝1.4（h）.
故至少需要1.4h才能把患病的渔民送到基地.
【方法总结】在运用勾股定理解决与方位角有关的问题时，若题中没有说明三角形是直角三角形，则应先根据方位角的度数判断出三角形是直角三角形，再运用勾股定理求解.
课堂训练
1.一辆自行车和一辆摩托车在某十字路口相遇后又分别向正北和向正东方向驶去.若自行车与摩托车每秒分别行驶2.5m，6m，则10s后两车相距（　　）
A.55m　 　B.65m　 　C.75m 　　D.85m
2.《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高1丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，竹尖落在地面上，且与竹子底部的距离为3尺，则折断处到地面的距离为（　　）
A.5.45尺　 B.4.55尺
C.5.8尺　 D.4.2尺
3.如图，甲楼在乙楼的南面，它们的设计高度是若干层，且每层楼的高度均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°.
（1）若要求甲楼与乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落到乙楼上，则在设计时两楼之间的距离BD至少为多少米（结果保留根号）？
（2）由于受空间限制，甲楼到乙楼的距离BD＝21m.若仍要求冬天甲楼的影子不能落到乙楼上，则在设计甲楼高度的时候，最高应建几层（结果保留整数）？
板书设计
201.2　勾股定理的实际应用
勾股定理的应用.
课堂小结
本节课学习了勾股定理的实际应用，会把勾股定理用在实际问题中，如求大树的高度、旗杆的高度等.
教学反思
　　在本节课的教学中主要有以下几个特点：
1.在教学中注重自主探索与合作交流，引导学生主动参与探究式学习.通过古代文化激发学生学习数学的兴趣，调动学生思考的积极性，使学生从生活实际中得出数学知识，再回到实际生活中加以运用.
2.本节课注重数学思想方法的渗透，为学生今后的发展拓展了空间.数学教育不仅要关注学生对数学知识的获取，还要关注学生的思维和一般能力的发展.但是，学生在运用勾股定理解决问题的过程中书写不够规范和严谨，在计算技巧方面还有待提高.勾股定理的应用范围比较广，学生运用定理解决实际问题还应多练.
　　答案
课堂训练
1.B　2.B
3.解：（1）由题意可得AB＝6×3＝18.
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴AD＝36.
根据勾股定理可得BD＝＝＝18.
故在设计时两楼之间的距离BD至少为18m.
（2）在Rt△ABD中，设AB＝xm.
∵∠ADB＝30°，
∴AD＝2xm.
根据勾股定理可得AB2＋BD2＝AD2，
即x2＋212＝（2x）2，
解得x＝7（负值已舍去），
7÷3≈4（层）.
故在设计甲楼高度的时候，最高应建4层.

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