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第四章　三角形
第13讲　线与角
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.点、线、面、角 (1)通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念. (2)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义. (3)掌握基本事实：两点确定一条直线. (4)掌握基本事实：两点之间线段最短. (5)理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. (6)理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差. 2.相交线与平行线 (1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质. (2)理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. (3)掌握基本事实：同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (4)理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. (5)识别同位角、内错角、同旁内角. (6)理解平行线的概念. (7)掌握平行线基本事实I：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. (8)掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. (9)探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行. (10)掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.*了解定理的证明. (11)探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补). (12)能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. (13)了解平行于同一条直线的两条直线平行. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
余角、补 角、对 顶角 — — T4/ 3分 —
垂线与角 平分线 — — — — —
平行线的 性质 T24/ 2分 T4/ 3分 T4/ 3分 T4/ 3分 T5/ 3分
平行线的 判定 — — — T4/ 3分 T5/ 3分
考情解读：几何图形初步为中考必考内容，在选择题和填空题中单独考查平行线的性质与判定，在解答题中会结合全等、相似、四边形及圆等知识综合考查.
知识点 对点训练
1.线段中点、角的平分线、垂线、两个基本事实、角的计算 (1)①直线：经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的，直线没有端点. ②射线：直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这点叫作射线的端点，射线向一方无限延伸，射线只有一个端点. ③线段：直线上两点和它们之间的部分叫作线段.线段有两个端点，有长短之分，将某一线段分成两条相等的线段的点叫作该线段的中点. ④两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点间线段的长度叫作两点之间的距离. ⑤1°＝60'，1'＝60″. ⑥1周角＝2平角＝4直角＝360°. (2)对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角相等. (3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. (4)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (5)垂线段公理：直线外一点与已知直线连接的所有线段中， 最短. 1.(1)下列说法正确的是( ) A.两点之间，直线最短 B.不相交的两条直线叫作平行线 C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离 (2)如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是( ) A.∠BAC＝∠BAM　 B.∠BAM＝∠CAM C.∠BAM＝2∠CAM　 D.2∠CAM＝∠BAC (3)计算：50°－15°30'＝ . (4)【几何直观、应用意识】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( )
2.余角和补角(5年1考) (1)如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余. 同角或等角的余角相等. (2)如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补. 同角或等角的补角相等. 2.(1)已知∠A的补角为60°，则∠A＝ °. (2)(2024·北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为( ) A.29° B.32° C.45° D.58°
3.平行线(5年5考) (1)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)平行线的性质： 两直线平行， 相等； 两直线平行， 相等； 两直线平行， 互补. (3)平行线的判定： 相等，两直线平行； 相等，两直线平行； 互补，两直线平行. 3.(1)(2025·湖北)数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示.若∠1＝56°，则∠2的度数是( ) A.34° B.44° C.46° D.56° (2)如图，若∠1＝55°，∠3＋∠4＝180°，则∠2的度数为( ) A.115° B.120° C.125° D.135°
典型例题 变式训练
考查点　相交线与平行线 1.(2023·广东)如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝( ) A.43° B.107° C.53° D.137° 1.(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( ) A.40° B.50°C.60° D.70°
2.(2024·内蒙古)如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数是( ) A.35°48' B.55°12' C.54°12' D.54°52' 2.如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为( ) A.45°　 B.48° C.50° D.58°
3.(2024·泸州)把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝( ) A.10° B.15° C.20° D.30° 3.(2025·黑龙江)将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是( ) A.50° B.60° C.70° D.80°
4.如图，BD平分∠ABC，ED∥BC，∠1＝30°，∠4＝120°. (1)求∠3的度数； (2)求证：DF∥AB. 4.如图，已知点D，E，F，G都在△ABC的边上，EF∥AC，且∠1＋∠2＝180°. (1)求证：AE∥DG； (2)若EF平分∠AEB，∠C＝40°，求∠BDG的度数.
答题规范
示例：[RJ七下P25第3(1)题] (5分)如图，AB∥CD，CB∥DE.求证：∠B＋∠D＝180°.
1.(2025·常州)如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行.这一判断过程体现的数学依据是( )
A.垂线段最短 B.内错角相等，两直线平行
C.两点确定一条直线 D.平行于同一条直线的两条直线平行
2.如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝( )
A.20° B.30°
C.40° D.50°
3.(2024·福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
4.(2024·赤峰)将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为( )
A.100° B.105°
C.115° D.120°
5.如图，一副三角尺摆放在桌面上，已知直线l1∥l2，点A，E，F在l2上，点D在l1上，三角尺BC一边交l1于点G，若∠CGD＝28°，则∠ADF的度数是( )
A.62° B.67°
C.77° D.82°
6.如图，∠A＋∠C＝180°，点P为AC上一点，∠1＋∠2＝60°，则∠BPD＝ .
【几何直观】如图，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝( )
A.48°　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.66°
C.72° D.78°
第14讲　三角形与多边形
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.了解三角形重心的概念. 5.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
三角形的稳定性 — T3/ 3分 — — —
三角形的边、角 关系和重要线段 — T5/ 3分 — T4/ 3分 T15/ 3分 T22/ 2分 T17/ 4分 T19/ 2分 T21/ 9分
多边形的 相关概念 — — — — —
考情解读：三角形的基础知识在选择题和填空题中常单独考查，三角形中的重要线段也常结合特殊四边形、图形变换和函数等进行综合考查.
知识点 对点训练
1.三角形的基本概念、性质(5年8考) (1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段. (2)三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段. (3)三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段. (4)边与边的关系：三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边. (5)角与角的关系： ①三角形的内角和等于180°. ②三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和. ③三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角. 1.(1)(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的( ) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 (2)下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是( ) A.2 cm，3 cm，4 cm　　 B.1 cm，2 cm，3 cm C.3 cm，4 cm，5 cm　　 D.4 cm，5 cm，6 cm
(6)中位线定理：三角形的中位线 于第三边，且等于第三边的 . (7)稳定性：三角形具有 . (3)如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝ . (4)(2022·广东)如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝( ) A. C.1 D.2 (5)(2022·广东)下列图形中有稳定性的是( ) A.三角形 B.平行四边形 C.长方形 D.正方形
2.多边形 (1)内角和定理：n边形的内角和等于 . (2)外角和定理：多边形的外角和都等于 . (3)经过n边形的一个顶点可以作 条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形. (4)正多边形的性质：①正多边形的各边 ；②正多边形的各角 . 2.(1)花窗多见于中国古典建筑中，如图为六边形花窗，其内角和为 . (2)一个多边形的内角和的度数可能是( ) A.1 700° B.1 800° C.1 900° D.2 000°
典型例题 变式训练
考查点　三角形的基本概念、性质 1.小明有两根长度分别为4 cm和7 cm的木棒，他想钉一个三角形的木框.现有4根木棒供他选择，其长度分别为3 cm，6 cm，11 cm，12 cm.小明可以选择的木棒长度为( ) A.3 cm和6 cm B.6 cm C.11 cm和12 cm D.11 cm 1.已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足＝0，那么这个三角形的最大边c的取值范围是( ) A.c＞8 B.8＜c＜14 C.6＜c＜8 D.2＜c＜14
2.(2024·广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( ) A.45° B.50° C.60° D.65° 2.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则四边形DBFE的周长是( ) A.13 B. C.17 D.19
3.如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是( ) A.20 B.24 C.26 D.28 3.已知AD是△ABC的中线，且△ABD的面积为13 cm2，则△ABC的面积等于 cm2.
考查点　多边形 4.(2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 4.(2024·包头)已知一个n边形的内角和是900°，则n＝ .
1.根据中线将对边平分成两条相等的线段的性质，可求解与三角形的周长有关的问题；根据中线将三角形分为两个面积相等的三角形的性质，可求解与其面积有关的问题.
2.求多边形边数或者角度时，可利用多边形内角和公式巧列方程进行求解.
答题规范
示例：(RJ八上P12例1) (5分)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
1.(2025·南充)如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是( )
A.120° B.130°
C.140° D.150°
2.(2025·广东)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝( )
A.20° B.40°
C.70° D.110°
3.若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是 三角形.
4.(2025·攀枝花)如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为( )
A.30° B.36°
C.40° D.45°
5.(2024·遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40°
C.45° D.60°
6.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A－∠P＝( )
A.70° B.60°
C.50° D.40°
7.如图①，已知在△ABC中，AB＝AC.小明的作法如图②所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的( )
A.中心 B.内心
C.外心 D.重心
(2025·黑龙江)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为( )
A.
C.2 D.
第15讲　等腰三角形与直角三角形
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 2.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
等腰三角形的 性质与判定 T13/ 4分 T22/ 3分 T18/ 3分 T23/ 1分 —
直角三角形的 性质与判定 T20/ 4分 T24/ 2分 T22/ 3分 T20/ 3分 T4/ 3分 T21/ 2分 T22/ 7分
考情解读：特殊三角形是中考的必考内容之一，在选择题和填空题中主要利用性质和判定求线段的长度、角度和面积等；在解答题中常结合图形变换、四边形、坐标系或圆等背景综合考查.
知识点 对点训练
1.等腰三角形和等边三角形(5年4考) (1)等腰三角形 定义：两边相等的三角形叫作等腰三角形. 性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，即“ ”； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 重合，简称“ ”. (2)等边三角形 性质：具有等腰三角形的所有性质；三边相等；三个内角相等且都等于60°. 判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 1.(1)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，∠C＝50°，AD⊥BC，则∠B＝ ，∠1＝ ，∠2＝ ，BD＝ . 第(1)题图　　　　第(2)题图 (2)如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于( ) A.15° B.20° C.25° D.30°
2.直角三角形(5年7考) 2.(1)满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为( ) A.AB＝，BC＝4，AC＝5 B.AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D.＝0 (2)(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是( ) A. B. C.2－2 D.2
典型例题 变式训练
考查点　等腰三角形和等边三角形 1.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( ) A.100° B.115° C.130° D.145° 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝5，则BC的长为( ) A.7.5 B.10 C.15 D.20
2.(2024·自贡)如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢( ) A.(24－12)m B.(24－8)m C.(24－6)m D.(24－4)m 2.(2025·安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是( ) A.4 D.3
考查点　直角三角形 3.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(0，1)，则点C的坐标为( ) A.(－3，1.5) B.(－4，1.5) C.(－3，2) D.(－4，2) 3.如图，直线y＝4x＋4与坐标轴交于A，B两点，点C为x轴负半轴上一点，∠CAB＝45°，则点C的坐标是 .
答题规范
示例：(RJ八上P84第2题) (7分)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.
1.(2025·陕西)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC.若DE＝8，AD＝5，则AB的长为( )
A.13 B.12
C.10 D.9
3.(2024·广元)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上.若CD＝3，BC＝1，则AD的长为( )
A.
4.(2025·广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝ .
5.(2024·包头)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为( )
A.
D.π
6.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝3，AD＝2，BD＝，连接CD交AB于点E，且E为边AB的中点，则DE的长为 .
7.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O(0，0)，A(0，4)，B(3，0)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角平分线相交于点P，则点P的横坐标为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
8.(2020·广东)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.
(2023·广东)综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论.
第16讲　全等三角形
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 3.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 4.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 5.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
全等三角形 性质与判定 T23/ 3分 T18/ 8分 T22/ 2分 T23/ 2分 — —
角平分线和 线段的垂直 平分线 T7/ 3分 T20/ 3分 — T22/ 2分 T17/ 4分 —
考情解读：全等三角形是中考常考知识点，常与特殊三角形、四边形、圆或者图形变换结合起来进行综合考查.
知识点 对点训练
1.全等三角形的性质和判定 (5年4考) 1.(1)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC.其中不能判定△ABC≌△DCB的是 (填序号). (2)如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是根据三角形的全等判定( ) A.SAS带① B.SSS带② C.ASA带③ D.AAS带③
2.角平分线定理与线段的垂直平分线定理(5年4考) (1)角平分线定理与逆定理： ①定理：如图， ∵OC为∠AOB的平分线， ， ∴PD＝PE. ②逆定理：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OP为∠AOB的 . (2)线段的垂直平分线定理与逆定理： ①定理：如图， ∵直线CD是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC. ②逆定理：∵AC＝BC， ∴点C在线段AB的垂直平分线上. 2.(1)(2024·青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于点D，PD＝2，则点P到OA的距离是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接MN交AB于点E.已知AC＝5，AB＝9，则△ADE的周长为( ) A.17 B.16 C.15 D.14
典型例题 变式训练
考查点　全等三角形的性质与判定 1.(2025·自贡)如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF.求证：AE＝BF. 1.(2024·乐山)如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD.求证：∠C＝∠D.
2.如图，点B，F，C，E四点在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请从下列三个条件： ①BF＝EC；②AC∥DF；③AC＝DF中选择一个合适的条件使AB∥DE. (1)选择的条件是 (填序号)； (2)证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE. 2.如图，在△ABC和△ADE中，D是BC边上一点，AC＝AE，∠C＝∠E，已知∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.
考查点　角平分线与线段的垂直平分线 3.(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( ) A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 3.(2025·连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8
4.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) A. 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，若E是AB的中点，则AB的长为( ) A.2 B.3 C. ＋2
证明三角形全等时寻找边相等或角相等的条件
答题规范
示例：(BS七下P117第4题) (7分)如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E，F，又知D是EF的中点，求证：△BED≌△CFD.
1.(2025·凉山州)如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为( )
A.56° B.60°
C.62° D.64°
2.(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.如图，△ABC中，F是BC边上的中点，CD交AF于点E，∠DAE＝∠DEA，CE＝9，则AB的长是( )
A.4.5 B.7
C.9 D.10
4.(2025·河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD.
5.如图，△OAB的顶点A，B分别在射线OP，OQ上，边AB的垂直平分线CE与线段AB，OA分别交于点D，E，过点C作CG⊥OP于点G、作CH⊥OQ于点H，∠CBH＝∠CAG.
(1)求证：△ACG≌△BCH；
(2)连接OC，若∠AOC＝30°，求证：AB＝BC.
【模型观念】如图，△ABC和△ADE都是等边三角形.将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA＋PB＝PC(或PA＋PC＝PB)成立.
(1)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系 并加以证明.
(2)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系 直接写出结论，不需要证明.
第17讲　相似三角形
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比. 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明. 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方. 6.了解图形的位似，知道利用位似可以把一个图形放大或缩小. 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
平行线分线 段成比例 — — — — —
相似三角形的 性质与判定 T23/ 4分 T23/ 4分 T15/ 3分 T22/ 4分 T23/ 4分 T22/ 13分 T23/ 3分 T12/ 3分 T23/ 6分
考情解读：图形的相似是中考必考知识点，也是重点考查内容，通常考查相似的识别、构造、推理、计算，也会结合四边形、圆、图形变换、函数等进行综合考查.
知识点 对点训练
1.比例线段的概念和性质 (1)比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段. (2)比例的基本性质： ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果 (a，b，c，d都不等于0)，那么. (3)等比性质：若，且b＋d＋f＋…＋n≠0，则 . 1.(1)下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( ) A.1，2，3，4　 B.1，2，2，4 C.3，5，9，13　 D.1，2，2，3 (2)已知2a＝3b，b≠0，则a∶b的值为( ) A.6 B.2 C. (3)(2025·成都)若＝3，则＝ . (4)已知＝2，且b＋d＋f≠0，若a＋c＋e＝10，则b＋d＋f＝ .
2.平行线分线段成比例和黄金分割 (1)平行线分线段成比例 ①如图①，∵a∥b∥c， ∴ ， . ②推论：如图②，∵EF∥BC， ∴ ， . (2)黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的 ，AC与AB的比叫作黄金比.其中 ≈0.618. 2.(1)(2025·乐山)如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)【模型观念】如图，已知D，E分别为AB，AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，则AD的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (3)主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20 m，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x m 时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为x)，则x满足的方程是( ) A.(20－x)2＝20x B.x2＝20(20－x) C.x(20－x)＝202 D.以上都不对
3.相似三角形的性质和判定(5年9考) 　　　　　　　　　　 3.(1)(2025·河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是( ) A.∠B＋∠4＝180° B.CD∥AB C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3 (2)(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB＝36 cm，A'B'＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为 cm.
4.位似图形 (1)位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A'的连线都经过同一个点O，且有OA'＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫作 多边形，点O叫作位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比. (2)位似多边形的性质：①位似多边形一定 ，位似多边形具有相似多边形的一切性质；②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于 . 4.(2025·浙江)如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0).若DE的长为3，则D'E'的长为( ) A. D.5
典型例题 变式训练
考查点　相似三角形的性质与判定 1.(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 1. 如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点. (1)△ADQ与△QCP相似吗 为什么 (2)连接AP，△ADQ与△AQP相似吗 为什么
2.如图，给出下列条件： ①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③； ④AC2＝AD·AB；⑤.其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，D，E两点分别在线段AB和AC上，在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③AD·AB＝AE·AC；④AD∶AC＝DE∶BC.其中能使△ADE与△ACB相似的是 .(填序号)
答题规范
示例：(RJ九下P43第7题) (7分)如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4 cm，BC＝10 cm，求BD的长.
1.(2025·长春)将直角三角形纸片ABC(∠C＝90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是( )
A.MN∥DE∥PQ B.BC＝2DE＝4MN
C.AN＝BQ＝
2.(2024·凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是( )
A.90 cm2 B.135 cm2
C.150 cm2 D.375 cm2
3.(2025·广东)如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 .
4.(2025·广州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若，则 .
5.(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“丶”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2 cm，则BC的长为 cm(结果保留根号).
6.(2023·广东)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 .
7.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB·AE＝AD·AC.
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)若，BD＝4，求CE的长.
1.【推理能力】如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若＝1∶3，则的值为 .
2.(分类讨论思想)如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点.当△ADP与△BCP相似时，DP＝ .
第18讲　锐角三角函数
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值. 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
锐角三角函数 T16/ 4分 T20/ 3分 T11/ 3分 — T22/ 2分 T14/ 3分
解直角三角形 — — — — —
解直角三角形 的应用 — — T18/ 7分 T18/ 7分 T10/3分 T21/9分
考情解读：锐角三角函数是广东中考的必考内容，常考点有特殊角三角函数值的计算、利用三角函数值求线段的长，以及解决实际问题等.
知识点 对点训练
1.锐角三角函数(5年5考) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以∠A为例，则∠A的锐角三角函数如下表. 定义表达式正弦sinA＝sinA＝余弦cosA＝cosA＝正切tanA＝tanA＝
1.(1)(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝( ) A. (2)(2024·长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为( ) A.asin θ km B. km C.acos θ km D. km
2.30°，45°，60°特殊角的三角函数值(5年4考) αsinαcosαtanα30° 45° 160°
2.(1)(2025·广东)计算20－2sin 30°的结果是 . (2)在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝ . (3)(2024·长沙)计算：－2cos 30°－(π－6.8)0＝ .
3.方向角 (1)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫作方向角. (2)如图，OA，OB，OC，OD的方向角分别是北偏东30°、 45°(东南方向)、 60°、 60°. 3.如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 n mile.(结果保留一位小数，≈1.73)
4.仰角、俯角 (1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角. 4.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( ) A.140 m C.180 m
5.坡度(坡比)、 坡角 (1)如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(坡比).用字母i表示，即i＝h∶l.如 i＝1∶5等. (2)把坡面与水平面的夹角记作α(叫作坡角)，那么i＝＝tanα. 5.(2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是 .
典型例题 变式训练
考查点　锐角三角函数 (2021·广东改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D.AD＝BD，求tan∠ABC的值. 　　　　　　　　　　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E，D，且BD＝2AC. (1)求∠B的度数； (2)求tan∠BAC(结果保留根号).
1.求锐角三角函数值或边长时，常用的方法有：①构造直角三角形；②转化角；③等面积法；
④利用勾股定理；⑤建立平面直角坐标系.
2.在解直角三角形时，当只有一个三角形，可以直接求解；当有两个三角形，先分析两个直角三角形中的等量关系，再列方程求解.
答题规范
示例：(RJ九下P78第2题) (7分)如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC＝10 m，∠B＝36°，求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长.(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 36°≈0.588，cos 36°≈0.809，tan 36°≈0.727)
1.(2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是( )
A.3 B.6
C.8 D.9
2.(2023·广州)如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为( )
A.
n mile
3.(2025·上海)如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7 m的门框，某人CD高1.8 m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为 .(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.33，保留1位小数)
4.如图，在△ABC中，将∠B沿BC边上的高AE折叠，使得点B落在BC边上的点F处，若∠FAC＝15°，∠B＝60°，AB＝6，则AC＝ .
5.(2025·广东)如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG.若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是( )
A.
6.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
7.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD于点H，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据≈1.73)
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.
【推理能力】(2025·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为 .第四章　三角形
第13讲　线与角
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.点、线、面、角 (1)通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念. (2)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义. (3)掌握基本事实：两点确定一条直线. (4)掌握基本事实：两点之间线段最短. (5)理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. (6)理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差. 2.相交线与平行线 (1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质. (2)理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. (3)掌握基本事实：同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (4)理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. (5)识别同位角、内错角、同旁内角. (6)理解平行线的概念. (7)掌握平行线基本事实I：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. (8)掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. (9)探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行. (10)掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.*了解定理的证明. (11)探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补). (12)能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. (13)了解平行于同一条直线的两条直线平行. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
余角、补 角、对 顶角 — — T4/ 3分 —
垂线与角 平分线 — — — — —
平行线的 性质 T24/ 2分 T4/ 3分 T4/ 3分 T4/ 3分 T5/ 3分
平行线的 判定 — — — T4/ 3分 T5/ 3分
考情解读：几何图形初步为中考必考内容，在选择题和填空题中单独考查平行线的性质与判定，在解答题中会结合全等、相似、四边形及圆等知识综合考查.
知识点 对点训练
1.线段中点、角的平分线、垂线、两个基本事实、角的计算 (1)①直线：经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的，直线没有端点. ②射线：直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这点叫作射线的端点，射线向一方无限延伸，射线只有一个端点. ③线段：直线上两点和它们之间的部分叫作线段.线段有两个端点，有长短之分，将某一线段分成两条相等的线段的点叫作该线段的中点. ④两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点间线段的长度叫作两点之间的距离. ⑤1°＝60'，1'＝60″. ⑥1周角＝2平角＝4直角＝360°. (2)对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角相等. (3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. (4)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (5)垂线段公理：直线外一点与已知直线连接的所有线段中，　垂线段　最短. 1.(1)下列说法正确的是(C) A.两点之间，直线最短 B.不相交的两条直线叫作平行线 C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离 (2)如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是(C) A.∠BAC＝∠BAM　 B.∠BAM＝∠CAM C.∠BAM＝2∠CAM　 D.2∠CAM＝∠BAC (3)计算：50°－15°30'＝　34°30'　. (4)【几何直观、应用意识】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是(A)
2.余角和补角(5年1考) (1)如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余. 同角或等角的余角相等. (2)如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补. 同角或等角的补角相等. 2.(1)已知∠A的补角为60°，则∠A＝ 120 °. (2)(2024·北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为(B) A.29° B.32° C.45° D.58°
3.平行线(5年5考) (1)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)平行线的性质： 两直线平行，　同位角　相等； 两直线平行，　内错角　相等； 两直线平行，　同旁内角　互补. (3)平行线的判定： 同位角　相等，两直线平行； 内错角　相等，两直线平行； 同旁内角　互补，两直线平行. 3.(1)(2025·湖北)数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示.若∠1＝56°，则∠2的度数是(D) A.34° B.44° C.46° D.56° (2)如图，若∠1＝55°，∠3＋∠4＝180°，则∠2的度数为(C) A.115° B.120° C.125° D.135°
典型例题 变式训练
考查点　相交线与平行线 1.(2023·广东)如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝(D) A.43° B.107° C.53° D.137° 1.(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为(B) A.40° B.50°C.60° D.70°
2.(2024·内蒙古)如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数是(C) A.35°48' B.55°12' C.54°12' D.54°52' 2.如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为(B) A.45°　 B.48° C.50° D.58°
3.(2024·泸州)把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝(B) A.10° B.15° C.20° D.30° 3.(2025·黑龙江)将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是(C) A.50° B.60° C.70° D.80°
4.如图，BD平分∠ABC，ED∥BC，∠1＝30°，∠4＝120°. (1)求∠3的度数； (2)求证：DF∥AB. (1)解：∵BD平分∠ABC，∠1＝30°， ∴∠ABD＝∠1＝30°，∠ABC＝60°. ∵ED∥BC， ∴∠3＝∠ABC＝60°. (2)证明：∵∠ABC＝60°，∠4＝120°， ∴∠ABC＋∠4＝180°.∴DF∥AB. 4.如图，已知点D，E，F，G都在△ABC的边上，EF∥AC，且∠1＋∠2＝180°. (1)求证：AE∥DG； (2)若EF平分∠AEB，∠C＝40°，求∠BDG的度数. (1)证明：∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠1. ∵∠1＋∠2＝180°，∴∠CAE＋∠2＝180°.∴AE∥DG. (2)解：∵EF∥AC，∠C＝40°， ∴∠BEF＝∠C＝40°. ∵EF平分∠AEB，∴∠BEF＝∠1＝40°. ∴∠AEB＝80°. 由(1)，知AE∥DG，∴∠BDG＝∠AEB＝80°.
答题规范
示例：[RJ七下P25第3(1)题] (5分)如图，AB∥CD，CB∥DE.求证：∠B＋∠D＝180°. 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C.　2分 ∵CB∥DE， ∴∠C＋∠D＝180°.　4分 ∴∠B＋∠D＝180°.　5分
1.(2025·常州)如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行.这一判断过程体现的数学依据是(B)
A.垂线段最短 B.内错角相等，两直线平行
C.两点确定一条直线 D.平行于同一条直线的两条直线平行
2.如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝(D)
A.20° B.30°
C.40° D.50°
3.(2024·福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(A)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
4.(2024·赤峰)将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为(B)
A.100° B.105°
C.115° D.120°
5.如图，一副三角尺摆放在桌面上，已知直线l1∥l2，点A，E，F在l2上，点D在l1上，三角尺BC一边交l1于点G，若∠CGD＝28°，则∠ADF的度数是(C)
A.62° B.67°
C.77° D.82°
6.如图，∠A＋∠C＝180°，点P为AC上一点，∠1＋∠2＝60°，则∠BPD＝　60°　.
【几何直观】如图，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝(C)
A.48°　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.66°
C.72° D.78°
第14讲　三角形与多边形
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.了解三角形重心的概念. 5.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
三角形的稳定性 — T3/ 3分 — — —
三角形的边、角 关系和重要线段 — T5/ 3分 — T4/ 3分 T15/ 3分 T22/ 2分 T17/ 4分 T19/ 2分 T21/ 9分
多边形的 相关概念 — — — — —
考情解读：三角形的基础知识在选择题和填空题中常单独考查，三角形中的重要线段也常结合特殊四边形、图形变换和函数等进行综合考查.
知识点 对点训练
1.三角形的基本概念、性质(5年8考) (1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段. (2)三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段. (3)三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段. (4)边与边的关系：三角形任意两边之和　大于　第三边，任意两边之差　小于　第三边. (5)角与角的关系： ①三角形的内角和等于180°. ②三角形的一个外角　等于　与它不相邻的两个内角的和. ③三角形的一个外角　大于　任何一个与它不相邻的内角. 1.(1)(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的(B) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 (2)下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是(B) A.2 cm，3 cm，4 cm　　 B.1 cm，2 cm，3 cm C.3 cm，4 cm，5 cm　　 D.4 cm，5 cm，6 cm
(6)中位线定理：三角形的中位线　平行　于第三边，且等于第三边的　一半　. (7)稳定性：三角形具有　稳定性　. (3)如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝　110°　. (4)(2022·广东)如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝(D) A. C.1 D.2 (5)(2022·广东)下列图形中有稳定性的是(A) A.三角形 B.平行四边形 C.长方形 D.正方形
2.多边形 (1)内角和定理：n边形的内角和等于　(n－2)×180°　. (2)外角和定理：多边形的外角和都等于　360°　. (3)经过n边形的一个顶点可以作　(n－3)　条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形. (4)正多边形的性质：①正多边形的各边　相等　；②正多边形的各角　相等　. 2.(1)花窗多见于中国古典建筑中，如图为六边形花窗，其内角和为　720°　. (2)一个多边形的内角和的度数可能是(B) A.1 700° B.1 800° C.1 900° D.2 000°
典型例题 变式训练
考查点　三角形的基本概念、性质 1.小明有两根长度分别为4 cm和7 cm的木棒，他想钉一个三角形的木框.现有4根木棒供他选择，其长度分别为3 cm，6 cm，11 cm，12 cm.小明可以选择的木棒长度为(B) A.3 cm和6 cm B.6 cm C.11 cm和12 cm D.11 cm 1.已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足＝0，那么这个三角形的最大边c的取值范围是(B) A.c＞8 B.8＜c＜14 C.6＜c＜8 D.2＜c＜14
2.(2024·广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(D) A.45° B.50° C.60° D.65° 2.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则四边形DBFE的周长是(D) A.13 B. C.17 D.19
3.如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是(B) A.20 B.24 C.26 D.28 3.已知AD是△ABC的中线，且△ABD的面积为13 cm2，则△ABC的面积等于　26　cm2.
考查点　多边形 4.(2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(A) A.10 B.11 C.12 D.13 4.(2024·包头)已知一个n边形的内角和是900°，则n＝　7　.
1.根据中线将对边平分成两条相等的线段的性质，可求解与三角形的周长有关的问题；根据中线将三角形分为两个面积相等的三角形的性质，可求解与其面积有关的问题.
2.求多边形边数或者角度时，可利用多边形内角和公式巧列方程进行求解.
答题规范
示例：(RJ八上P12例1) (5分)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：∵∠BAC＝40°，AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠BAC＝20°.　2分 ∵∠B＝75°， ∴∠ADB＝180°－∠DAB－∠B＝180°－20°－75°＝85°.　5分
1.(2025·南充)如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是(D)
A.120° B.130°
C.140° D.150°
2.(2025·广东)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(C)
A.20° B.40°
C.70° D.110°
3.若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是　直角　三角形.
4.(2025·攀枝花)如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为(B)
A.30° B.36°
C.40° D.45°
5.(2024·遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(C)
A.36° B.40°
C.45° D.60°
6.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A－∠P＝(D)
A.70° B.60°
C.50° D.40°
7.如图①，已知在△ABC中，AB＝AC.小明的作法如图②所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的(C)
A.中心 B.内心
C.外心 D.重心
(2025·黑龙江)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为(A)
A.
C.2 D.
第15讲　等腰三角形与直角三角形
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 2.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
等腰三角形的 性质与判定 T13/ 4分 T22/ 3分 T18/ 3分 T23/ 1分 —
直角三角形的 性质与判定 T20/ 4分 T24/ 2分 T22/ 3分 T20/ 3分 T4/ 3分 T21/ 2分 T22/ 7分
考情解读：特殊三角形是中考的必考内容之一，在选择题和填空题中主要利用性质和判定求线段的长度、角度和面积等；在解答题中常结合图形变换、四边形、坐标系或圆等背景综合考查.
知识点 对点训练
1.等腰三角形和等边三角形(5年4考) (1)等腰三角形 定义：两边相等的三角形叫作等腰三角形. 性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，即“　等边对等角　”； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、　底边上的高　重合，简称“　三线合一　”. (2)等边三角形 性质：具有等腰三角形的所有性质；三边相等；三个内角相等且都等于60°. 判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是　60°　的等腰三角形是等边三角形. 1.(1)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，∠C＝50°，AD⊥BC，则∠B＝　50°　，∠1＝　40°　，∠2＝　40°　，BD＝　3　. 第(1)题图　　　　第(2)题图 (2)如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于(A) A.15° B.20° C.25° D.30°
2.直角三角形(5年7考) 2.(1)满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为(C) A.AB＝，BC＝4，AC＝5 B.AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D.＝0 (2)(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是(B) A. B. C.2－2 D.2
典型例题 变式训练
考查点　等腰三角形和等边三角形 1.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(B) A.100° B.115° C.130° D.145° 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝5，则BC的长为(C) A.7.5 B.10 C.15 D.20
2.(2024·自贡)如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(D) A.(24－12)m B.(24－8)m C.(24－6)m D.(24－4)m 2.(2025·安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(B) A.4 D.3
考查点　直角三角形 3.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(0，1)，则点C的坐标为(C) A.(－3，1.5) B.(－4，1.5) C.(－3，2) D.(－4，2) 3.如图，直线y＝4x＋4与坐标轴交于A，B两点，点C为x轴负半轴上一点，∠CAB＝45°，则点C的坐标是 　.
答题规范
示例：(RJ八上P84第2题) (7分)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD. 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC.　2分 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC.　4分 ∴∠ADB＝∠ABD.　5分 ∴AB＝AD.　7分
1.(2025·陕西)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(C)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC.若DE＝8，AD＝5，则AB的长为(A)
A.13 B.12
C.10 D.9
3.(2024·广元)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上.若CD＝3，BC＝1，则AD的长为(A)
A.
4.(2025·广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝ －1　.
5.(2024·包头)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为(B)
A.
D.π
6.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝3，AD＝2，BD＝，连接CD交AB于点E，且E为边AB的中点，则DE的长为 　.
7.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O(0，0)，A(0，4)，B(3，0)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角平分线相交于点P，则点P的横坐标为(B)
A.5 B.6
C.7 D.8
8.(2020·广东)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF.
在△BDF和△CEF中，
∴△BDF≌△CEF(AAS).∴BF＝CF.∴∠FBC＝∠FCB.∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形.
(2023·广东)综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论.
(1)解：∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)证明：∵A1B1为正方形的对角线，∴∠A1B1C1＝45°.
设每个方格的边长为1，则AB＝，AC＝，BC＝.
∴BC2＋AC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形.
又AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC＝45°＝∠A1B1C1.
第16讲　全等三角形
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 3.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 4.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 5.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
全等三角形 性质与判定 T23/ 3分 T18/ 8分 T22/ 2分 T23/ 2分 — —
角平分线和 线段的垂直 平分线 T7/ 3分 T20/ 3分 — T22/ 2分 T17/ 4分 —
考情解读：全等三角形是中考常考知识点，常与特殊三角形、四边形、圆或者图形变换结合起来进行综合考查.
知识点 对点训练
1.全等三角形的性质和判定 (5年4考) 1.(1)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC.其中不能判定△ABC≌△DCB的是　②　(填序号). (2)如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是根据三角形的全等判定(C) A.SAS带① B.SSS带② C.ASA带③ D.AAS带③
2.角平分线定理与线段的垂直平分线定理(5年4考) (1)角平分线定理与逆定理： ①定理：如图， ∵OC为∠AOB的平分线，　PD⊥OA，PE⊥OB　， ∴PD＝PE. ②逆定理：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OP为∠AOB的　平分线　. (2)线段的垂直平分线定理与逆定理： ①定理：如图， ∵直线CD是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC. ②逆定理：∵AC＝BC， ∴点C在线段AB的垂直平分线上. 2.(1)(2024·青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于点D，PD＝2，则点P到OA的距离是(C) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接MN交AB于点E.已知AC＝5，AB＝9，则△ADE的周长为(D) A.17 B.16 C.15 D.14
典型例题 变式训练
考查点　全等三角形的性质与判定 1.(2025·自贡)如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF.求证：AE＝BF. 证明：∵∠ABE＝∠BAF， ∴CB＝CA. ∵CE＝CF， ∴CB＋CE＝CA＋CF，即BE＝AF. 在△ABE和△BAF中， ∴△ABE≌△BAF(SAS). ∴AE＝BF. 1.(2024·乐山)如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD.求证：∠C＝∠D. 证明：∵AB是∠CAD的平分线， ∴∠CAB＝∠DAB. 在△CAB和△DAB中， ∴△CAB≌△DAB(SAS). ∴∠C＝∠D.
2.如图，点B，F，C，E四点在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请从下列三个条件： ①BF＝EC；②AC∥DF；③AC＝DF中选择一个合适的条件使AB∥DE. (1)选择的条件是　②(答案不唯一)　(填序号)； (2)证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS). ∴∠B＝∠E. ∴AB∥DE. 2.如图，在△ABC和△ADE中，D是BC边上一点，AC＝AE，∠C＝∠E，已知∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE. 证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC. ∴∠BAC＝∠DAE. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(ASA).
考查点　角平分线与线段的垂直平分线 3.(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(C) A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 3.(2025·连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(C) A.5 B.6 C.7 D.8
4.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(C) A. 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，若E是AB的中点，则AB的长为(A) A.2 B.3 C. ＋2
证明三角形全等时寻找边相等或角相等的条件
答题规范
示例：(BS七下P117第4题) (7分)如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E，F，又知D是EF的中点，求证：△BED≌△CFD. 证明：∵BE⊥AE，CF⊥AE， ∴∠E＝∠CFD＝90°.　2分 ∵D是EF的中点， ∴DE＝DF.　4分 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(ASA).　7分
1.(2025·凉山州)如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为(C)
A.56° B.60°
C.62° D.64°
2.(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有(D)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.如图，△ABC中，F是BC边上的中点，CD交AF于点E，∠DAE＝∠DEA，CE＝9，则AB的长是(C)
A.4.5 B.7
C.9 D.10
4.(2025·河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD.
证明：(1)∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，
即∠BAC＝∠FAD.
在△ABC和△AFD中，
∴△ABC≌△AFD(ASA).
(2)由(1)得△ABC≌△AFD，∴AB＝AF.
∵BE＝FE，∴AE⊥BF，即AC⊥BD.
5.如图，△OAB的顶点A，B分别在射线OP，OQ上，边AB的垂直平分线CE与线段AB，OA分别交于点D，E，过点C作CG⊥OP于点G、作CH⊥OQ于点H，∠CBH＝∠CAG.
(1)求证：△ACG≌△BCH；
(2)连接OC，若∠AOC＝30°，求证：AB＝BC.
证明：(1)∵CE为边AB的垂直平分线，∴AC＝BC.
∵CG⊥OP，CH⊥OQ，∴∠AGC＝∠BHC＝90°.
在△ACG和△BCH中，
∴△ACG≌△BCH(AAS).
(2)∵△ACG≌△BCH，∴CG＝CH.
又CG⊥OP，CH⊥OQ，∴OC为∠POQ的平分线.
∴∠BOC＝∠AOC＝30°.∴∠AOB＝60°.
∵∠CBH＋∠OBC＝180°，∠CBH＝∠CAG，
∴∠CAG＋∠OBC＝180°.
∴在四边形OACB中，∠ACB＝360°－(∠CAG＋∠OBC＋∠AOB)＝120°.
∵CE垂直平分AB，∴CD⊥AB，AD＝BD＝AB.
∵AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝60°.
∵在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，
∴＝sin 60°＝＝2·.
∴AB＝BC.
【模型观念】如图，△ABC和△ADE都是等边三角形.将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA＋PB＝PC(或PA＋PC＝PB)成立.
(1)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系 并加以证明.
(2)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系 直接写出结论，不需要证明.
解：(1)PB＝PA＋PC.证明如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE.
∴∠DAB＝∠EAC.
∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠ABD＝∠ACE.
又AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP(SAS).
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP.∴∠PAF＝∠CAB＝60°.
∴△AFP是等边三角形.∴PF＝PA.
∴PB＝PF＋BF＝PA＋PC.
(2)PC＝PA＋PB.
第17讲　相似三角形
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比. 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明. 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方. 6.了解图形的位似，知道利用位似可以把一个图形放大或缩小. 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
平行线分线 段成比例 — — — — —
相似三角形的 性质与判定 T23/ 4分 T23/ 4分 T15/ 3分 T22/ 4分 T23/ 4分 T22/ 13分 T23/ 3分 T12/ 3分 T23/ 6分
考情解读：图形的相似是中考必考知识点，也是重点考查内容，通常考查相似的识别、构造、推理、计算，也会结合四边形、圆、图形变换、函数等进行综合考查.
知识点 对点训练
1.比例线段的概念和性质 (1)比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即　a∶b＝c∶d　，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段. (2)比例的基本性质： ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果　ad＝bc　(a，b，c，d都不等于0)，那么. (3)等比性质：若，且b＋d＋f＋…＋n≠0，则　. 1.(1)下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是(B) A.1，2，3，4　 B.1，2，2，4 C.3，5，9，13　 D.1，2，2，3 (2)已知2a＝3b，b≠0，则a∶b的值为(C) A.6 B.2 C. (3)(2025·成都)若＝3，则＝　4　. (4)已知＝2，且b＋d＋f≠0，若a＋c＋e＝10，则b＋d＋f＝　5　.
2.平行线分线段成比例和黄金分割 (1)平行线分线段成比例 ①如图①，∵a∥b∥c， ∴　，　. ②推论：如图②，∵EF∥BC， ∴　，　. (2)黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的 黄金分割点 ，AC与AB的比叫作黄金比.其中 ≈0.618. 2.(1)(2025·乐山)如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为(B) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)【模型观念】如图，已知D，E分别为AB，AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，则AD的长为(B) A.3 B.4 C.5 D.6 (3)主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20 m，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x m 时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为x)，则x满足的方程是(A) A.(20－x)2＝20x B.x2＝20(20－x) C.x(20－x)＝202 D.以上都不对
3.相似三角形的性质和判定(5年9考) 　　　　　　　　　　 3.(1)(2025·河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(D) A.∠B＋∠4＝180° B.CD∥AB C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3 (2)(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB＝36 cm，A'B'＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为　20　cm.
4.位似图形 (1)位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A'的连线都经过同一个点O，且有OA'＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫作　位似　多边形，点O叫作位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比. (2)位似多边形的性质：①位似多边形一定　相似　，位似多边形具有相似多边形的一切性质；②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于　相似比　. 4.(2025·浙江)如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0).若DE的长为3，则D'E'的长为(C) A. D.5
典型例题 变式训练
考查点　相似三角形的性质与判定 1.(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2， ∴BC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ∵， ∴. ∴△ABE∽△ECF. 1. 如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点. (1)△ADQ与△QCP相似吗 为什么 (2)连接AP，△ADQ与△AQP相似吗 为什么 解：(1)△ADQ∽△QCP.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠C＝∠D＝90°. 又Q是CD的中点， ∴QC＝DQ＝AD. ∵BP＝3PC， ∴CP＝. 又∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP. (2)△ADQ∽△AQP.理由如下： ∵△ADQ∽△QCP， ∴∠AQD＝∠QPC，∠DAQ＝∠CQP，. ∴∠CQP＋∠AQD＝∠DAQ＋∠AQD＝90°. ∴∠AQP＝90°.∴∠D＝∠AQP. 又，QC＝DQ， ∴，即.∴△ADQ∽△AQP.
2.如图，给出下列条件： ①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③； ④AC2＝AD·AB；⑤.其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为(B) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，D，E两点分别在线段AB和AC上，在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③AD·AB＝AE·AC；④AD∶AC＝DE∶BC.其中能使△ADE与△ACB相似的是　①②③　.(填序号)
答题规范
示例：(RJ九下P43第7题) (7分)如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4 cm，BC＝10 cm，求BD的长. 解：∵∠B＝∠B，∠BDA＝∠BAC， ∴△ABD∽△CBA.　3分 ∴. 　5分 ∵AB＝4 cm，BC＝10 cm， ∴BD＝＝1.6(cm).　7分
1.(2025·长春)将直角三角形纸片ABC(∠C＝90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是(D)
A.MN∥DE∥PQ B.BC＝2DE＝4MN
C.AN＝BQ＝
2.(2024·凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(D)
A.90 cm2 B.135 cm2
C.150 cm2 D.375 cm2
3.(2025·广东)如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是　1∶3　.
4.(2025·广州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若，则　.
5.(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“丶”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2 cm，则BC的长为　(－1)　cm(结果保留根号).
6.(2023·广东)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为　15　.
7.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB·AE＝AD·AC.
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)若，BD＝4，求CE的长.
(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC.∴∠BAD＝∠CAE.
∵AB·AE＝AD·AC，∴.
又∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.
(2)解：∵，∴设AC＝x，BC＝3x.∴在Rt△ABC中，AB＝x.
∵△ABD∽△ACE，∴.∴CE＝2.
1.【推理能力】如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若＝1∶3，则的值为 　.
2.(分类讨论思想)如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点.当△ADP与△BCP相似时，DP＝　1或4或2.5　.
第18讲　锐角三角函数
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值. 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
锐角三角函数 T16/ 4分 T20/ 3分 T11/ 3分 — T22/ 2分 T14/ 3分
解直角三角形 — — — — —
解直角三角形 的应用 — — T18/ 7分 T18/ 7分 T10/3分 T21/9分
考情解读：锐角三角函数是广东中考的必考内容，常考点有特殊角三角函数值的计算、利用三角函数值求线段的长，以及解决实际问题等.
知识点 对点训练
1.锐角三角函数(5年5考) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以∠A为例，则∠A的锐角三角函数如下表. 定义表达式正弦sinA＝sinA＝余弦cosA＝cosA＝正切tanA＝tanA＝
1.(1)(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝(C) A. (2)(2024·长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(A) A.asin θ km B. km C.acos θ km D. km
2.30°，45°，60°特殊角的三角函数值(5年4考) αsinαcosαtanα30° 45° 160°
2.(1)(2025·广东)计算20－2sin 30°的结果是　0　. (2)在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝ 　. (3)(2024·长沙)计算：－2cos 30°－(π－6.8)0＝　3　.
3.方向角 (1)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫作方向角. (2)如图，OA，OB，OC，OD的方向角分别是北偏东30°、　南偏东　45°(东南方向)、　南偏西　60°、　北偏西　60°. 3.如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是　20.8　n mile.(结果保留一位小数，≈1.73)
4.仰角、俯角 (1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角. 4.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(B) A.140 m C.180 m
5.坡度(坡比)、 坡角 (1)如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(坡比).用字母i表示，即i＝h∶l.如 i＝1∶5等. (2)把坡面与水平面的夹角记作α(叫作坡角)，那么i＝＝tanα. 5.(2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是　15 m　.
典型例题 变式训练
考查点　锐角三角函数 (2021·广东改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D.AD＝BD，求tan∠ABC的值. 解：设AD＝x. ∵AD＝BD，∴BD＝3x. ∵点D在BC的垂直平分线上， ∴CD＝BD＝3x. ∴AC＝AD＋CD＝4x. 在Rt△ABD中， AB＝x. ∴tan∠ABC＝. 　　　　　　　　　　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E，D，且BD＝2AC. (1)求∠B的度数； (2)求tan∠BAC(结果保留根号). 解：(1)如图，连接AD. ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD. ∴∠DAB＝∠B. ∵BD＝2AC， ∴AD＝2AC. 又∠C＝90°，∴∠ADC＝30°. ∵∠ADC＝∠DAB＋∠B，∴∠B＝15°. (2)设AC＝a，则AD＝BD＝2a，CD＝a. ∴BC＝2a＋a. ∴tan∠BAC＝.
1.求锐角三角函数值或边长时，常用的方法有：①构造直角三角形；②转化角；③等面积法；
④利用勾股定理；⑤建立平面直角坐标系.
2.在解直角三角形时，当只有一个三角形，可以直接求解；当有两个三角形，先分析两个直角三角形中的等量关系，再列方程求解.
答题规范
示例：(RJ九下P78第2题) (7分)如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC＝10 m，∠B＝36°，求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长.(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 36°≈0.588，cos 36°≈0.809，tan 36°≈0.727) 解：∵△ABC是等腰三角形，且BD＝CD， ∴BD＝BC＝5 m，AD⊥BC.　3分 在Rt△ABD中， AD＝BD·tan 36°≈5×0.727≈3.6(m)， 　5分 AB＝≈6.2(m).　7分
1.(2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是(B)
A.3 B.6
C.8 D.9
2.(2023·广州)如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为(D)
A.
n mile
3.(2025·上海)如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7 m的门框，某人CD高1.8 m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为　1.2 m　.(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.33，保留1位小数)
4.如图，在△ABC中，将∠B沿BC边上的高AE折叠，使得点B落在BC边上的点F处，若∠FAC＝15°，∠B＝60°，AB＝6，则AC＝　3　.
5.(2025·广东)如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG.若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是(B)
A.
6.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
解：如图，连接AB，取AB的中点D，连接CD.
∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°.
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝sin 50°＝，
∴AD＝AC·sin 50°≈10×0.766＝7.66(m).
∴AB＝2AD≈2×7.66≈15.3(m).
答：A，B两点间的距离约是15.3 m.
7.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD于点H，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据≈1.73)
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.
解：(1)∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°.
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠BCE＝90°.
∴∠CBE＝30°.∴BC＝ m.∴AD＝ m.
∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，
∴AP＝AD·cos∠PAD＝ m.∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1(m).
(2)在Rt△BCE中，BE＝＝3.2 m.
在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝2.7 m.
∵该充电站有20个停车位，∴QM＝BQ＋20BE＝66.7 m.
∵四边形ABCD是矩形，∴PN＝QM＝66.7 m.
【推理能力】(2025·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为　10　.

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