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第二章　方程(组)与不等式(组)
第5讲　一次方程(组)及应用
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. 2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程. 3.掌握消元法，能解二元一次方程组. 4.*能解简单的三元一次方程组. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
一次方程(组) 的解法 T11/ 4分 — — — —
一次方程(组) 的应用 — T19/ 9分 — — —
考情解读：一次方程(组)经常以计算题或实际应用题的形式考查，属于广东中考常考内容.
知识点 对点训练
1.等式的基本性质 (1)性质1：等式两边加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式. 若a＝b，则a±m＝b±m. (2)性质2：等式两边乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式. 若a＝b，则am＝bm； 若a＝b，则(d≠0). 1.根据等式的性质，下列各式变形正确的是( ) A.若，则a＝b B.若ac＝bc，则a＝b C.若a2＝b2，则a＝b D.若－x＝6，则x＝－2
2.一元一次方程 (1)一元一次方程的有关概念： ①只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫作一元一次方程.其一般形式是ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0). ②使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解. (2)解一元一次方程的步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 2.(1)下列各式中，是一元一次方程的是( ) A.x＋2y＝1 B.x＋3 C.2x＋3＝2　　　 D.x2－3x＝－2 (2)(2025·遂宁)已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝ . (3)方程＝1的解是 .
3.二元一次方程(组)(5年1考) (1)二元一次方程：含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程，叫作二元一次方程. (2)二元一次方程组：共含有 个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. (3)二元一次方程组的解法： 二元一次方程组一元一次方程 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元法和 消元法两种. 3.(1)对于二元一次方程组将①式代入②式，消去y可以得到( ) A.x＋2x－1＝7 B.x＋2x－2＝7 C.x＋x－1＝7 D.x＋2x＋2＝7 (2)已知是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为 . (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
4.一次方程(组)的应用(5年1考) (1)解应用题的步骤：①审清题意；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦作答(包括单位). (2)解应用题常见的题型： ①工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间. ②利息问题：利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息. ③行程问题：路程＝速度×时间.其中， 相遇问题：s甲＋s乙＝s总. 同地异时追及问题：前者走的路程＝追者走的路程. 异地同时追及问题：前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程. ④利润问题：利润＝售价－进价； 利润率＝×100%. ⑤增长率问题：增长后的量＝基础量×(1＋增长率). 4.(1)(2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马 设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为( ) A.240x＝150(x＋12) B.240x＝150(x－12) C.150x＝240(x＋12) D.150x＝240(x－12) (2)(2025·宜宾)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何 ”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两 若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，则列出方程组应为( ) A. C.
典型例题 变式训练
考查点　一次方程(组)的解法及应用 1.解方程：x－. 1.解方程：＝1.
2.(2024·浙江)解方程组： 2.解方程组：
3.(2022·广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了 4元.问学生人数和该书单价各是多少 3.(2025·吉林)吉林省长白山盛产人参，为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品每盒的售价分别为25元、20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
列方程(组)解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题，而列方程(组)的关键是找等量关系.在找等量关系时，要注意文字描述和数学语言的互化，如“多”“少”“增加了(到)”“多少倍”……注意从语言叙述中找等量关系.另外，注意单位换算为统一单位.
答题规范
示例：(RJ七上P133例1) (7分)某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名
1.(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是( )
A.x＝y B.x＝2y
C.x＝4y D.x＝5y
2.(2025·黑龙江)为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案( )
A.6 B.7
C.4 D.5
3.小红利用右图天平测量螺母和螺栓的质量，得到以下数据：5个螺母和10个螺栓共重200 g；1个螺母和3个螺栓共重50 g.设每个螺母重x g，每个螺栓重y g，则可列出方程组为( )
A.
4.(2021·广东)二元一次方程组 .
5(2025·河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b.如图，将甲纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则a＋b＝ .
6.已知关于x，y的方程组的解相同.求a，b的值.
【运算能力】已知关于x，y的二元一次方程组若m，n满足二元一次方程组则m＋2n＝( )
A.0 B.2
C.4 D.6
第6讲　分式方程及应用
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. 2.能解可化为一元一次方程的分式方程. 3.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
分式方程 及其解法 — — — T9/ 3分 T16/ 7分
分式方程 的应用 T22/ 4分 — T17/ 7分 — —
考情解读：分式方程在广东中考中常结合具体情景列分式方程解决实际问题，属于中考的常考内容.
知识点 对点训练
1.分式方程的概念及解法(5年2考) (1)分式方程：分母中含有 的方程叫作分式方程. (2)分式方程的解法： ①去分母，在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，我们称它为原分式方程的增根，原分式方程无解. 1.(1)(2025·湖南)将分式方程去分母后得到的整式方程为( ) A.x＋1＝2x B.x＋2＝1 C.1＝2x D.x＝2(x＋1) (2)(2024·广东)方程的解为( ) A.x＝3　　　　　 B.x＝－9 C.x＝9　　　 D.x＝－3 (3)(2025·凉山州)若关于x的分式方程＝3无解，则m＝ .
2.分式方程的应用(5年2考) 分式方程的应用题与一元一次方程的应用题类似，不同的是要注意检验： ①检验所求的解是不是所列方程的解； ②检验所求的解是否符合题意. 2.(2025·深圳)某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是( ) A. ＝3 C.
典型例题 变式训练
考查点　分式方程的解法及应用 1.解方程：. 1.(2025·威海)解分式方程：.
2.为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵 2.(2025·山西)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.
答题规范
示例：(RJ八上P167例3) (7分)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快
1.(2024·泸州)分式方程的解是( )
A.x＝－
D.x＝3
2.(2025·绥化)用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15 t，A货车运输450 t所用时间与B货车运输300 t所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x t，则可列方程为( )
A.
3.(2025·遂宁)若关于x的分式方程－1无解，则a的值为( )
A.2 B.3
C.0或2 D.－1或3
4.代数式的值相等，则x＝ .
5.(2025·广东)在解分式方程－2时，小李的解法如下：
第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2. 第二步：1－x＝－1－2. 第三步：－x＝－1－2－1. 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x＝4.
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
6.为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10 000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10 000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来上涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个.
(1)求第一批足球每个的进价.
(2)若该商店将第一批足球以每个70元，第二批足球以每个80元的价格全部售出，则其盈利 元.
【运算能力】(2024·重庆B卷)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 .
第7讲　一元二次方程及应用
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解一元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
一元二次方程 及其解法 T14/ 4分 T14/ 3分 — — —
一元二次方程根 的判别式及根 与系数的关系 — — — T13/ 3分 T13/ 3分
一元二次方程 的应用 — — — — T7/ 3分
考情解读：一元二次方程是广东中考的常考内容，主要考查学生利用一元二次方程的相关知识分析问题和解决实际问题的能力.
知识点 对点训练
1. 一元二次方程(5年1考) (1)定义：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫作一元二次方程. (2)一般形式： ，其中 叫作二次项， 叫作一次项， 叫作常数项；二次项的系数是 ，一次项的系数是 . 1.(1)下列方程中，是关于x的一元二次方程的有( ) ①3x2＋2x－1；②－2＝0；③ax2＋bx＋c＝0；④2x2＋2x＝2x2－1；⑤2x2＋3xy－2＝0；⑥(x－2)(3x－1)＝1. A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 (2)(2022·广东)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝ .
2.一元二次方程的解法(5年1考) (1)直接开平方法：若x2＝a(a≥0)，则x＝ . (2)配方法：将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化成的形式. 2.(1)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是( ) A.(x＋6)2＝28 B.(x－6)2＝28 C.(x＋3)2＝1 D.(x－3)2＝1
(3)公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝ (b2－4ac≥0). (4)因式分解法：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的 ；③令每个因式都等于 ，得到两个一元一次方程，再解这两个一元一次方程. (2)方程x2－2x－24＝0的根是( ) A.x1＝6，x2＝4 B.x1＝6，x2＝－4 C.x1＝－6，x2＝4 D.x1＝－6，x2＝－4
3.根的判别式(5年2考) 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac. ①b2－4ac＞0 一元二次方程有 的实数根； ②b2－4ac＝0 一元二次方程有 的实数根； ③b2－4ac＜0 一元二次方程 实数根； ④b2－4ac≥0 一元二次方程有实数根. 3.(2025·安徽)下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A.x2＋1＝0 B.x2－2x＋1＝0 C.x2＋x＋1＝0 D.x2＋x－1＝0
4.一元二次方程根与系数的关系 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1，x2，那么x1＋ x2＝－，x1x2＝. 4.(2025·湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是( ) A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝4 D.x1x2＝3
5.一元二次方程的应用(5年1考) (1)面积问题：矩形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高. (2)增长率问题：设a为原来的量，n为增长(下降)次数，b为增长(下降)后的量，当x为平均增长率时，则a(1＋x)n＝b；当x为平均下降率时，则a(1－x)n＝b. (3)销售利润问题：单件利润＝售价－成本； 商品的总利润＝单件利润×销售件数. (4)互赠、握手问题：x人互赠礼物x(x－1)个；x人两两握手x(x－1)次. 5.(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500 万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为( ) A.2 500(1＋x)2＝9 100 B.2 500(1－x)2＝9 100 C.2 500(1－2x)2＝9 100 D.2 500(1＋2x)2＝9 100
典型例题 变式训练
考查点　一元二次方程及应用 1.解方程：x2－3x＋2＝0. 1.解方程：2x2－2x－1＝0.
2.(2025·内江)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是( ) A.a≤2 B.a＜2 C.a≤2且a≠1 D.a＜2且a≠1 2.关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关
3.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出.根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天将可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元 3.端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160 kg；若每千克每降低3元，每天的销售量将增加120 kg. 根据他们的对话，解决下面所给问题： 超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元
答题规范
示例：(RJ九上P19探究1) (7分)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人
1.(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是( )
A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0
C.x1＝3，x2＝－2 D.x1＝－2，x2＝－1
2.(2025·河北)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2024·牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
A.20% B.22%
C.25% D.28%
4.(2025·广东)不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是 .
5.(2024·广东)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝ .
6.解方程：x2－2x－3＝0.
7.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2且－x1x2＝9，求m的值.
【运算能力、推理能力】已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为( )
A.0 B.－10
C.3 D.10
第8讲　一元一次不等式(组)及应用
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质. 2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 3.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
不等式的概念 及性质 — — — — —
一元一次不等式 (组)及其解法 T18/ 6分 T16/ 8分 T8/ 3分 T12/ 3分 —
一元一次不等式 的应用 — — T14/ 3分 — —
考情解读：一元一次不等式(组)在广东中考中常以单一知识点考查为主的选择题出现，或以纯计算的解答题出现，所以求解不等式(组)是本讲的关键.
知识点 对点训练
1.不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去) ，不等号的方向 . 如果a＞b，那么a±c b±c. (2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向 . 如果a＞b，c＞0，那么ac bc. (3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向 . 如果a＞b，c＜0，那么ac bc. 1.(1)(2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a g水、b g水，a＞b.都加入c g水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是( ) A.a＋c＞b＋c B.a＋c＝b＋c C.a＋c＜b＋c D.a－c＜b－c (2)(2024·苏州)若a＞b－1，则下列结论一定正确的是( ) A.a＋1＜b B.a－1＜b C.a＞b D.a＋1＞b (3)如果不等式bx＞a的解集是x＜，那么下列结论正确的是( ) A.a＞0 B.b＞0 C.a＜0 D.b＜0
2.一元一次不等式(组)的解法(5年4考) (1)解一元一次不等式的步骤：①去分母； ② ；③ ； ④ ；⑤未知数的系数化为1. (2)解一元一次不等式组的步骤：①分别求出不等式组中 的解集；②找出它们的 ，就得到不等式组的解集. 注意：①未知数的系数化为1时，如果不等式两边乘或除以负数，不等号的方向要改变.②用数轴表示不等式(组)的解集要注意：大于向右画，小于向左画；要注意空心圆圈与实心点的区别. 2.解不等式＞x－1，下列在数轴上表示的解集正确的是( ) (2)(2025·内蒙古)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
3.一元一次不等式的应用(5年1考) (1)步骤：审题(找出不等关系)；设未知数；列不等式；解不等式；检验并写出答案. (2)注意关键词：应紧紧抓住题目中“最大”“最小”“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词，把不等关系用不等式表示出来. 3.(1)(2025·宜宾)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是( ) A.14道 B.13道 C.12道 D.11道 (2)(2023·广东)某商品进价4元，标价 5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 折.
典型例题 变式训练
考查点　一元一次不等式(组)的解法及应用 1.(1)(2025·福建)不等式x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是( ) A　B C　D (2)(2022·广东)解不等式组： 1.(2025·深圳)解一元一次不等式组并在数轴上表示. 解：由不等式①，得 . 由不等式②，得 . 在数轴上表示为 所以，原不等式组的解集为 .
2.某班在庆祝建校50周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品.已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同. (1)笔记本和钢笔的单价各为多少元 (2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本 2.(2025·湖南)同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等. (1)求A种材料和B种材料的单价. (2)若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件
不等式组的解集取法口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解集.
答题规范
示例：(RJ七下P140例2) (7分)x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x都成立
1.(2024·河北)下列数中，能使不等式5x－1＜6成立的x的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2024·上海)如果x＞y，那么下列正确的是( )
A.x＋5＜y＋5 B.x－5＜y－5
C.5x＞5y D.－5x＞－5y
3.(2024·浙江)不等式组的解集在数轴上表示为( )
4.某班开展数学探究与实践活动，现将全班分为若干小组，若每小组5人，则剩下 10人；若每小组7人，则有一个小组超过3人但不足7人.设有x个小组，可列不等式组为 .
5.(2025·黑龙江)关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 .
6.(2025·苏州)解不等式组：
7.(2024·贵州)为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩
【运算能力】若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 .第二章　方程(组)与不等式(组)
第5讲　一次方程(组)及应用
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. 2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程. 3.掌握消元法，能解二元一次方程组. 4.*能解简单的三元一次方程组. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
一次方程(组) 的解法 T11/ 4分 — — — —
一次方程(组) 的应用 — T19/ 9分 — — —
考情解读：一次方程(组)经常以计算题或实际应用题的形式考查，属于广东中考常考内容.
知识点 对点训练
1.等式的基本性质 (1)性质1：等式两边加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式. 若a＝b，则a±m＝b±m. (2)性质2：等式两边乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式. 若a＝b，则am＝bm； 若a＝b，则(d≠0). 1.根据等式的性质，下列各式变形正确的是(A) A.若，则a＝b B.若ac＝bc，则a＝b C.若a2＝b2，则a＝b D.若－x＝6，则x＝－2
2.一元一次方程 (1)一元一次方程的有关概念： ①只含有　一　个未知数，并且未知数的最高次数是　1　的整式方程，叫作一元一次方程.其一般形式是ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0). ②使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解. (2)解一元一次方程的步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 2.(1)下列各式中，是一元一次方程的是(C) A.x＋2y＝1 B.x＋3 C.2x＋3＝2　　　 D.x2－3x＝－2 (2)(2025·遂宁)已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝　2　. (3)方程＝1的解是　x＝10　.
3.二元一次方程(组)(5年1考) (1)二元一次方程：含有　两　个未知数，并且所含未知数的项的次数都是　1　的方程，叫作二元一次方程. (2)二元一次方程组：共含有　两　个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. (3)二元一次方程组的解法： 二元一次方程组一元一次方程 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有　代入　消元法和　加减　消元法两种. 3.(1)对于二元一次方程组将①式代入②式，消去y可以得到(B) A.x＋2x－1＝7 B.x＋2x－2＝7 C.x＋x－1＝7 D.x＋2x＋2＝7 (2)已知是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为　1　. (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为(B) A.0 B.1 C.2 D.3
4.一次方程(组)的应用(5年1考) (1)解应用题的步骤：①审清题意；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦作答(包括单位). (2)解应用题常见的题型： ①工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间. ②利息问题：利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息. ③行程问题：路程＝速度×时间.其中， 相遇问题：s甲＋s乙＝s总. 同地异时追及问题：前者走的路程＝追者走的路程. 异地同时追及问题：前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程. ④利润问题：利润＝售价－进价； 利润率＝×100%. ⑤增长率问题：增长后的量＝基础量×(1＋增长率). 4.(1)(2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马 设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为(A) A.240x＝150(x＋12) B.240x＝150(x－12) C.150x＝240(x＋12) D.150x＝240(x－12) (2)(2025·宜宾)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何 ”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两 若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，则列出方程组应为(A) A. C.
典型例题 变式训练
考查点　一次方程(组)的解法及应用 1.解方程：x－. 解：6x－3(x－2)＝6＋2(2x－1). 6x－3x＋6＝6＋4x－2. 6x－3x－4x＝6－6－2. －x＝－2. x＝2. 1.解方程：＝1. 解：3(x＋1)－(2x－3)＝6. 3x＋3－2x＋3＝6. 3x－2x＝6－3－3. x＝0.
2.(2024·浙江)解方程组： 解： ①×3＋②，得10x＝5.解得x＝. 将x＝代入①，得1－y＝5.解得y＝－4. ∴原方程组的解为 2.解方程组： 解：整理方程组，得 ②－①×2，得－5x＝5.解得x＝－1. 将x＝－1代入①，得－4＋y＝5.解得y＝9. ∴原方程组的解为
3.(2022·广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了 4元.问学生人数和该书单价各是多少 解：设学生人数是x人，该书单价是y元. 根据题意，得 答：学生人数是7人，该书单价是53元. 3.(2025·吉林)吉林省长白山盛产人参，为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品每盒的售价分别为25元、20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. 解：设该游客购买甲种商品x盒，乙种商品y盒. 根据题意，得 答：该游客购买甲种商品6盒，乙种商品4盒.
列方程(组)解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题，而列方程(组)的关键是找等量关系.在找等量关系时，要注意文字描述和数学语言的互化，如“多”“少”“增加了(到)”“多少倍”……注意从语言叙述中找等量关系.另外，注意单位换算为统一单位.
答题规范
示例：(RJ七上P133例1) (7分)某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名 解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母.　1分 根据题意，得2 000(22－x)＝2×1 200x.　3分 解得x＝10.　5分 22－x＝12.　6分 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.　7分
1.(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是(C)
A.x＝y B.x＝2y
C.x＝4y D.x＝5y
2.(2025·黑龙江)为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案(C)
A.6 B.7
C.4 D.5
3.小红利用右图天平测量螺母和螺栓的质量，得到以下数据：5个螺母和10个螺栓共重200 g；1个螺母和3个螺栓共重50 g.设每个螺母重x g，每个螺栓重y g，则可列出方程组为(A)
A.
4.(2021·广东)二元一次方程组　.
5(2025·河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b.如图，将甲纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则a＋b＝　99　.
6.已知关于x，y的方程组的解相同.求a，b的值.
解：由题意，可得方程组
代入原方程组，得3a＋2，3＋b＝15.
解得a＝－4，b＝12.
【运算能力】已知关于x，y的二元一次方程组若m，n满足二元一次方程组则m＋2n＝(A)
A.0 B.2
C.4 D.6
第6讲　分式方程及应用
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. 2.能解可化为一元一次方程的分式方程. 3.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
分式方程 及其解法 — — — T9/ 3分 T16/ 7分
分式方程 的应用 T22/ 4分 — T17/ 7分 — —
考情解读：分式方程在广东中考中常结合具体情景列分式方程解决实际问题，属于中考的常考内容.
知识点 对点训练
1.分式方程的概念及解法(5年2考) (1)分式方程：分母中含有　未知数　的方程叫作分式方程. (2)分式方程的解法： ①去分母，在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，我们称它为原分式方程的增根，原分式方程无解. 1.(1)(2025·湖南)将分式方程去分母后得到的整式方程为(A) A.x＋1＝2x B.x＋2＝1 C.1＝2x D.x＝2(x＋1) (2)(2024·广东)方程的解为(C) A.x＝3　　　　　 B.x＝－9 C.x＝9　　　 D.x＝－3 (3)(2025·凉山州)若关于x的分式方程＝3无解，则m＝　－1　.
2.分式方程的应用(5年2考) 分式方程的应用题与一元一次方程的应用题类似，不同的是要注意检验： ①检验所求的解是不是所列方程的解； ②检验所求的解是否符合题意. 2.(2025·深圳)某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是(A) A. ＝3 C.
典型例题 变式训练
考查点　分式方程的解法及应用 1.解方程：. 解：方程两边同乘2(x－1)，得2＋2x－2＝3. 解得x＝. 检验：当x＝时，2(x－1)≠0. ∴原分式方程的解为x＝. 1.(2025·威海)解分式方程：. 解：方程两边同乘2x－1，得x－2－2x＋1＝－1. 解得x＝0. 检验：当x＝0时，2x－1≠0. 故原分式方程的解为x＝0.
2.为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵 解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树(1＋20%)x棵. 根据题意，得＝2， 解得x＝500. 经检验，x＝500是原分式方程的解，且符合题意. 答：原计划每天种植梨树500棵. 2.(2025·山西)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里. 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里. 根据题意，得＝22. 解得x＝2. 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意. 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里.
答题规范
示例：(RJ八上P167例3) (7分)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的. 　1分 根据题意，得＝1.　3分 解得x＝1.　5分 经检验，x＝1是原分式方程的解，且符合题意. 　6分 由上可知，乙队单独施工1个月可以完成全部工程，甲队单独施工1个月可以完成总工程的，故乙队的施工速度快.　7分
1.(2024·泸州)分式方程的解是(D)
A.x＝－
D.x＝3
2.(2025·绥化)用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15 t，A货车运输450 t所用时间与B货车运输300 t所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x t，则可列方程为(C)
A.
3.(2025·遂宁)若关于x的分式方程－1无解，则a的值为(D)
A.2 B.3
C.0或2 D.－1或3
4.代数式的值相等，则x＝　7　.
5.(2025·广东)在解分式方程－2时，小李的解法如下：
第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2. 第二步：1－x＝－1－2. 第三步：－x＝－1－2－1. 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x＝4.
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
解：小李的解法中，第一步是去分母.去分母的依据是等式的基本性质.
小李的解答过程不正确.正确的解答过程：
方程两边同乘x－2，得·(x－2)＝－·(x－2)－2(x－2).
整理，得1－x＝－1－2x＋4.移项、合并同类项，得x＝2.检验：当x＝2时，x－2＝0.
∴原分式方程无解.
6.为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10 000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10 000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来上涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个.
(1)求第一批足球每个的进价.
(2)若该商店将第一批足球以每个70元，第二批足球以每个80元的价格全部售出，则其盈利　6 800　元.
解：(1)设第一批足球每个的进价是x元，则第二批足球每个的进价是(1＋25%)x元.
根据题意，得＝40.解得x＝50.
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一批足球每个的进价是50元.
【运算能力】(2024·重庆B卷)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是　12　.
第7讲　一元二次方程及应用
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解一元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
一元二次方程 及其解法 T14/ 4分 T14/ 3分 — — —
一元二次方程根 的判别式及根 与系数的关系 — — — T13/ 3分 T13/ 3分
一元二次方程 的应用 — — — — T7/ 3分
考情解读：一元二次方程是广东中考的常考内容，主要考查学生利用一元二次方程的相关知识分析问题和解决实际问题的能力.
知识点 对点训练
1. 一元二次方程(5年1考) (1)定义：只含有　一　个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的整式方程，叫作一元二次方程. (2)一般形式：　ax2＋bx＋c＝0(a≠0)　，其中　ax2　叫作二次项，　bx　叫作一次项，　c　叫作常数项；二次项的系数是　a　，一次项的系数是　b　. 1.(1)下列方程中，是关于x的一元二次方程的有(A) ①3x2＋2x－1；②－2＝0；③ax2＋bx＋c＝0；④2x2＋2x＝2x2－1；⑤2x2＋3xy－2＝0；⑥(x－2)(3x－1)＝1. A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 (2)(2022·广东)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝　1　.
2.一元二次方程的解法(5年1考) (1)直接开平方法：若x2＝a(a≥0)，则x＝　±　. (2)配方法：将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化成的形式. 2.(1)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(D) A.(x＋6)2＝28 B.(x－6)2＝28 C.(x＋3)2＝1 D.(x－3)2＝1
(3)公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝ 　(b2－4ac≥0). (4)因式分解法：①将方程的右边化为　0　；②将方程的左边化成两个一次因式的　积　；③令每个因式都等于　0　，得到两个一元一次方程，再解这两个一元一次方程. (2)方程x2－2x－24＝0的根是(B) A.x1＝6，x2＝4 B.x1＝6，x2＝－4 C.x1＝－6，x2＝4 D.x1＝－6，x2＝－4
3.根的判别式(5年2考) 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac. ①b2－4ac＞0 一元二次方程有　两个不相等　的实数根； ②b2－4ac＝0 一元二次方程有　两个相等　的实数根； ③b2－4ac＜0 一元二次方程　没有　实数根； ④b2－4ac≥0 一元二次方程有实数根. 3.(2025·安徽)下列方程中，有两个不相等的实数根的是(D) A.x2＋1＝0 B.x2－2x＋1＝0 C.x2＋x＋1＝0 D.x2＋x－1＝0
4.一元二次方程根与系数的关系 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1，x2，那么x1＋ x2＝－，x1x2＝. 4.(2025·湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(D) A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝4 D.x1x2＝3
5.一元二次方程的应用(5年1考) (1)面积问题：矩形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高. (2)增长率问题：设a为原来的量，n为增长(下降)次数，b为增长(下降)后的量，当x为平均增长率时，则a(1＋x)n＝b；当x为平均下降率时，则a(1－x)n＝b. (3)销售利润问题：单件利润＝售价－成本； 商品的总利润＝单件利润×销售件数. (4)互赠、握手问题：x人互赠礼物x(x－1)个；x人两两握手x(x－1)次. 5.(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500 万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(A) A.2 500(1＋x)2＝9 100 B.2 500(1－x)2＝9 100 C.2 500(1－2x)2＝9 100 D.2 500(1＋2x)2＝9 100
典型例题 变式训练
考查点　一元二次方程及应用 1.解方程：x2－3x＋2＝0. 解：(x－1)(x－2)＝0. x－1＝0或x－2＝0. x1＝1，x2＝2. 1.解方程：2x2－2x－1＝0. 解：a＝2，b＝－2，c＝－1. ∵Δ＝(－2)2－4×2×(－1)＝12＞0， ∴x＝. ∴x1＝，x2＝.
2.(2025·内江)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(C) A.a≤2 B.a＜2 C.a≤2且a≠1 D.a＜2且a≠1 2.关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情况是(C) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关
3.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出.根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天将可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元 解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5(200－x)]个. 依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000. 整理，得x2－360x＋32 400＝0. 解得x1＝x2＝180. 180＜200，符合题意. 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元. 3.端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160 kg；若每千克每降低3元，每天的销售量将增加120 kg. 根据他们的对话，解决下面所给问题： 超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元 解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润 3 640 元. 由题意，得(38－x－22)＝3 640. 整理，得x2－12x＋27＝0. 解得x1＝3，x2＝9. ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝9.∴售价为38－9＝29(元). 答：这种水果的销售价应为每千克29元.
答题规范
示例：(RJ九上P19探究1) (7分)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 　1分 由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121.　4分 解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去).　6分 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人. 　7分
1.(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(B)
A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0
C.x1＝3，x2＝－2 D.x1＝－2，x2＝－1
2.(2025·河北)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(C)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2024·牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(C)
A.20% B.22%
C.25% D.28%
4.(2025·广东)不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是　有两个不相等的实数根　.
5.(2024·广东)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝　1　.
6.解方程：x2－2x－3＝0.
解：(x－3)(x＋1)＝0.
∴x－3＝0或x＋1＝0.
解得x1＝3，x2＝－1.
7.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2且－x1x2＝9，求m的值.
(1)证明：Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋8.
∵无论m取何值，m2＋8＞0恒成立，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)解：∵x1，x2是方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.
∴－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(m＋2)2－3(m－1)＝9.
解得m1＝1，m2＝－2.
【运算能力、推理能力】已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为(A)
A.0 B.－10
C.3 D.10
第8讲　一元一次不等式(组)及应用
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质. 2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 3.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
不等式的概念 及性质 — — — — —
一元一次不等式 (组)及其解法 T18/ 6分 T16/ 8分 T8/ 3分 T12/ 3分 —
一元一次不等式 的应用 — — T14/ 3分 — —
考情解读：一元一次不等式(组)在广东中考中常以单一知识点考查为主的选择题出现，或以纯计算的解答题出现，所以求解不等式(组)是本讲的关键.
知识点 对点训练
1.不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)　同一个数(或式子)　，不等号的方向　不变　. 如果a＞b，那么a±c　＞　b±c. (2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向　不变　. 如果a＞b，c＞0，那么ac　＞　bc. (3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向　改变　. 如果a＞b，c＜0，那么ac　＜　bc. 1.(1)(2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a g水、b g水，a＞b.都加入c g水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是(A) A.a＋c＞b＋c B.a＋c＝b＋c C.a＋c＜b＋c D.a－c＜b－c (2)(2024·苏州)若a＞b－1，则下列结论一定正确的是(D) A.a＋1＜b B.a－1＜b C.a＞b D.a＋1＞b (3)如果不等式bx＞a的解集是x＜，那么下列结论正确的是(D) A.a＞0 B.b＞0 C.a＜0 D.b＜0
2.一元一次不等式(组)的解法(5年4考) (1)解一元一次不等式的步骤：①去分母； ②　去括号　；③　移项　； ④　合并同类项　；⑤未知数的系数化为1. (2)解一元一次不等式组的步骤：①分别求出不等式组中　各不等式　的解集；②找出它们的　公共部分　，就得到不等式组的解集. 注意：①未知数的系数化为1时，如果不等式两边乘或除以负数，不等号的方向要改变.②用数轴表示不等式(组)的解集要注意：大于向右画，小于向左画；要注意空心圆圈与实心点的区别. 2.解不等式＞x－1，下列在数轴上表示的解集正确的是(D) (2)(2025·内蒙古)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(C)
3.一元一次不等式的应用(5年1考) (1)步骤：审题(找出不等关系)；设未知数；列不等式；解不等式；检验并写出答案. (2)注意关键词：应紧紧抓住题目中“最大”“最小”“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词，把不等关系用不等式表示出来. 3.(1)(2025·宜宾)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是(C) A.14道 B.13道 C.12道 D.11道 (2)(2023·广东)某商品进价4元，标价 5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打　8.8　折.
典型例题 变式训练
考查点　一元一次不等式(组)的解法及应用 1.(1)(2025·福建)不等式x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是(C) A　B C　D (2)(2022·广东)解不等式组： 解： 由①，得x＞1.由②，得x＜2. ∴不等式组的解集为1＜x＜2. 1.(2025·深圳)解一元一次不等式组并在数轴上表示. 解：由不等式①，得　x≥－1　. 由不等式②，得　　x＜4　. 在数轴上表示为 所以，原不等式组的解集为　－1≤x＜4　.
2.某班在庆祝建校50周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品.已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同. (1)笔记本和钢笔的单价各为多少元 (2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本 解：(1)设钢笔的单价为x元，则笔记本的单价为(x＋2)元. 依题意，得 . 解得x＝10. 经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意. 故笔记本的单价为10＋2＝12(元). 答：笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元. (2)设购买y本笔记本，则购买(50－y)支钢笔. 依题意，得12y＋10(50－y)≤540. 解得y≤20. ∴y的最大值为20. 故最多可以购买20本笔记本. 2.(2025·湖南)同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等. (1)求A种材料和B种材料的单价. (2)若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件 解：(1)设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为(x－3)元. 由题意，得4x＝6(x－3). 解得x＝9. ∴x－3＝6. 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元. (2)设能购买A种材料m件，则能购买B种材料(50－m)件. 由题意，得9m＋6(50－m)≤360. 解得m≤20. 答：最多能购买A种材料20件.
不等式组的解集取法口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解集.
答题规范
示例：(RJ七下P140例2) (7分)x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x都成立 解：由题意，得 解不等式①，得x＞－.　2分 解不等式②，得x≤4.　4分 所以不等式组的解集为－＜x≤4.　5分 所以x可取的整数值为－2，－1，0，1，2，3，4.　7分
1.(2024·河北)下列数中，能使不等式5x－1＜6成立的x的值为(A)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2024·上海)如果x＞y，那么下列正确的是(C)
A.x＋5＜y＋5 B.x－5＜y－5
C.5x＞5y D.－5x＞－5y
3.(2024·浙江)不等式组的解集在数轴上表示为(A)
4.某班开展数学探究与实践活动，现将全班分为若干小组，若每小组5人，则剩下 10人；若每小组7人，则有一个小组超过3人但不足7人.设有x个小组，可列不等式组为 　.
5.(2025·黑龙江)关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　－2≤a＜－1　.
6.(2025·苏州)解不等式组：
解：
解不等式①，得x＞－2.解不等式②，得x＞3.∴不等式组的解集是x＞3.
7.(2024·贵州)为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩
解：(1)设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生.
根据题意，得
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生.
(2)设种植甲作物a亩，则种植乙作物(10－a)亩.
根据题意，得5a＋6(10－a)≤55.解得a≥5.
答：至少种植甲作物5亩.
【运算能力】若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　4　.

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