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专题四　数学建模
第37讲　代数类
　　通过建立方程(组)、 一元一次不等式(组)、函数模型解决实际问题.
1.已知电灯电路两端的电压U为220 V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是(A) A.R至少2 000 Ω B.R至多2 000 Ω C.R至少24.2 Ω D.R至多24.2 Ω 2.(2024·枣庄)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(B) A.200 B.300 C.400 D.500 3.某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元.则有　3　种购买方案. 4.如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙足够长)，则这个菜地的最大面积为　32　m2. 5.(2025·成都)2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个. (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件. 解：(1)设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元. ∴＋7.解得x＝25. 经检验，x＝25是原方程的根. 答：每个A种挂件的价格为25元. (2)设该游客购买m个A种挂件，则购买(m＋5)个B种挂件. ×25＝20(元). 由题意，得25m＋20(m＋5)≤600.∴m≤. 又m为整数，∴m的最大值为11，即该游客最多购买11个A种挂件.
典型考题 变式训练
类型一　方程(组)与不等式应用题 1.低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深.“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元；销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元. (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元 (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13 000 元，最少需要购买甲型自行车多少台 解：(1)设该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为x元、y元. 根据题意，得 答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150元、100元. (2)设需要购买甲型自行车a台，则购买乙型自行车(20－a)台. 依题意，得500a＋800(20－a)≤13 000. 解得a≥10. 答：最少需要购买甲型自行车10台. 1.某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，A型车每台进货价格比B型车每台进货价格少3万元，该公司用24万元购买A型车的数量和用30万元购买B型车的数量相同. (1)求购买一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元 (2)该公司准备用不超过300万，采购A，B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台 解：(1)设一台B型新能源汽车的进货价格是x万元，则一台A型新能源汽车的进货价格是(x－3)万元. 由题意，得.解得x＝15. 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意. ∴x－3＝12. 答：购买一台A型新能源汽车的进货价格是12万元，购买一台B型新能源汽车的进货价格是15万元. (2)设需要采购A型新能源汽车a台，则采购B型新能源汽车(22－a)台. 由题意，得12a＋15(22－a)≤300.解得a≥10. 答：最少需要采购A型新能源汽车10台.
类型二　方程(组)与一次函数应用题 2.(2025·眉山)国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱.现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下： 食品 类别能量 (单位：Kcal)蛋白质 (单位：g)脂肪 (单位： g)碳水化 合物 (单位：g)A240127.529.8B28013927.6
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份 (2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份 解：(1)设应选用A种食品x份，B种食品y份. 根据题意，得 解得 答：应选用A种食品3份，B种食品2份. (2)设应选用A种食品m份，则选用B种食品份，即(6－m)份. 根据题意，得12m＋13(6－m)≥76. 解得m≤2. 设每份午餐的能量为w Kcal. 依题意，得w＝240m＋280(6－m)＝－40m＋1 680. ∵－40＜0， ∴w随m的增大而减小. ∴当m＝2时，w取得最小值. 此时6－m＝4. 答：应选用A种食品2份，B种食品4份. 2.(2020·广东)某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”.每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2 m2，建 A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60 m2建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的. (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米 (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的 3倍.求建造这90个摊位的最大费用. 解：(1)设每个B类摊位占地面积为x m2，则每个A类摊位占地面积为(x＋2)m2. 由题意，得.解得x＝3. 经检验，x＝3是原方程的解. ∴x＋2＝5. 答：每个A，B类摊位占地面积分别为5 m2和 3 m2. (2)设建造A类摊位a个，则建造B类摊位(90－a)个，最大费用为y元. 由题意，得y＝5a×40＋3×30(90－a)＝110a＋8 100. ∵110＞0，∴y随a的增大而增大. 由90－a≥3a，解得a≤22.5. ∵a为正整数，∴a的最大值为22. ∴当a＝22时，ymax＝110×22＋8 100＝10 520. 答：建造这90个摊位的最大费用为10 520元.
类型三　方程(组)与二次函数应用题 3.(2024·遂宁)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为 7 200 元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为 3 200 元. (1)求A，B两种客房每间定价分别是多少元 (2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额w最大，最大营业额为多少元 解：(1)设A 种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为为y元. 由题意，得 答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元. (2)设A种客房每间定价为a元， 则w＝(a－220)2＋4 840. ∵－＜0， ∴当a＝220时，w取最大值，最大值为4 840. 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额最大，最大营业额为4 840元. 3.(2021·广东)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时， 每天可售出100 盒；每盒售价提高1元时，每天少售出 2 盒. (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2)设猪肉粽每盒售价 x元( 50≤x≤65 )， y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求 y关于 x 的函数解析式及最大利润. 解：(1)设猪肉粽每盒进价 a 元，则豆沙粽每盒进价(a －10)元. 由题意，得.解得a＝40. 经检验，a＝40 是原方程的解. ∴a－10＝40－10＝30. 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元. (2)由题意，得当猪肉粽每盒售 x元时，每天可售[100－2(x－50)]盒(50≤x≤65). ∴y＝(x－40)·[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800. ∵－2＜0，且50≤x≤65， ∴当 x＝65 时，y取最大值，最大值为1 750. 答：y 关于 x 的函数解析式为y＝－2x2＋280x－8 000(50≤x≤65)，最大利润为1 750 元.
类型四　函数应用题 4.(2024·贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值. 销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…
(1)求y与x的函数解析式. (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少 (3)若超市决定每销售一盒糖果就向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，则赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值. 解：(1)设y与x的函数解析式为y＝kx＋b. 把x＝12，y＝56和x＝20，y＝40代入， 得 ∴y与x的函数解析式为y＝－2x＋80. (2)设日销售利润为w元. 根据题意，得w＝(x－10)·y ＝(x－10)·(－2x＋80) ＝－2x2＋100x－800 ＝－2(x－25)2＋450. ∴当x＝25时，w有最大值，最大值为450. ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元. (3)设日销售利润为w'元. 根据题意，得w'＝(x－10－m)·y ＝(x－10－m)·(－2x＋80) ＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m. ∴当x＝－时， w'＝－2＋(100＋2m)－800－80m. ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴－2＋(100＋2m)－800－80m＝392. 化简，得m2－60m＋116＝0.解得m1＝2，m2＝58. 当m＝58时，x＝＝54， 则每盒的利润为54－10－58＜0(舍去). ∴m的值为2. 4.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天3569…硫化物的浓度y/(mg/L)4.52.72.251.5…
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式. (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式. (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L 为什么 解：(1)设当0≤x≤3时，y关于x的函数解析式为y＝kx＋b. 由题意， 得 解得 ∴y＝－2.5x＋12(0≤x＜3). (2)∵3×4.5＝5×2.7＝6×2.25＝9×1.5＝13.5， ∴y是x的反比例函数.∴y＝(x≥3). (3)能.理由如下： 当x＝15时，y＝＝0.9. ∵0.9＜1， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L.
1.(2024·甘肃)如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6 的图象，点B(6，2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车　能　完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
2.(2025·内江)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元.
(1)求A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求W关于a的函数解析式，并求出W的最大值.
解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元.
由题意，得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元.
(2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400－m)个.
由题意，得40(400－m)＋20m≤12 000.
解得m≥200.
∴m的最小值为200.
答：至少需要购进B款纪念品200个.
(3)由题意，得W＝(a－40)[200－5(a－60)]
＝－5(a－70)2＋4 500.
∵－5＜0，60≤a≤100，
∴当a－70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4 500.
第38讲　几何类
1.了解几何常见模型，如手拉手全等相似模型、倍长中线模型、对角互补模型和123模型等.
2.通过图形建模实现知识多元化认知，顺利找到解题的方法.
3.通过观察与联想，构造出图形模型，把复杂的问题转化为简单的问题求解.
1.【手拉手全等模型】如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ. 求证：(1)△BEC≌△ADC； (2)△PQC是等边三角形. 证明：(1)∵△ABC和△DCE为等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°. ∴∠ACD＝∠BCE. 在△BEC和△ADC中，， ∴△BEC≌△ADC(SAS). (2)∵△ADC≌△BEC，∴∠ADC＝∠BEC. ∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°. 在△DPC和△EQC中， ∴△DPC≌△EQC(ASA).∴CP＝CQ. ∵∠QCP＝60°，∴△PQC是等边三角形. 2.【手拉手相似模型】如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D. (1)若AB＝3AD，BC＝6，求DE的长； (2)连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE. 解：(1)∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE. ∴∠BAC＝∠DAE. 又∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE.∴. ∴DE＝2. (2)证明：如图.∵△ABC∽△ADE， ∴. 又∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE. 3.【倍长中线模型】如图，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围. 解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE. ∵AD为BC边上中线， ∴CD＝BD. 在△DAC和△DEB中，， ∴△DAC≌△DEB(SAS).∴AC＝EB＝4. ∵AB－BE＜AE＜AB＋BE，AB＝6， ∴2＜AE＜10.∴1＜AD＜5. ∴BC边上的中线AD的取值范围是1＜AD＜5. 4.【对角互补模型】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为(B) A.15 B.12.5 C.14.5 D.17 5.【123模型】如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α＋β＝　45°　.
典型考题 变式训练
将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE. (1)如图①，当点D恰好落在BC上时，连接CE. ①当∠B＝70°，∠ACB＝50°时，求证：AC⊥DE. ②当△ABC满足什么条件时，四边形ABCE是平行四边形 说明理由. ①证明：如图①，设AC，ED相交于点F. 由旋转，可得△ABC≌△ADE. ∴∠B＝∠ADE＝70°，AB＝AD. ∴∠B＝∠ADB＝70°. ∴∠FDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝40°. 又∠ACB＝50°， ∴∠CFD＝180°－∠FDC－∠ACB＝180°－40°－50°＝90°.∴AC⊥DE. ②解：当△ABC中，BC＝AC时，四边形ABCE是平行四边形.理由如下： 如图.∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠2＝∠DAE－∠2， 即∠1＝∠3. ∵BC＝AC，∴∠B＝∠BAC. ∴∠5＝180°－2∠B. 同理，可得∠1＝180°－2∠B. ∴∠5＝∠1.∴∠5＝∠3.∴AE∥BC. 又BC＝AC，AC＝AE，∴BC＝AE. ∴四边形ABCE是平行四边形. (2)如图②，当旋转角为60°时，DE交BC于点P，连接AP.当AC＝6，∠C＝45°时，求PE的长. 解：如图②，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N.设DE 与AC交于点H. ∴∠ANE＝∠AMC＝90°. ∵∠C＝∠E＝45°，AC＝AE， ∴△AMC≌△ANE(AAS). ∴AM＝AN. ∴PA平分∠MPN，即∠APN＝∠MPN. ∵∠C＝∠E，∠AHE＝∠PHC，旋转角为60°， ∴∠HPC＝∠HAE＝60°. ∴∠BPH＝180°－∠HPC＝180°－60°＝120°. ∴∠APN＝∠MPN＝×120°＝60°. ∵在等腰直角三角形ANE中，AE＝AC＝6， ∴NE＝AN＝. ∵在Rt△APN中，∠APN＝60°， ∴∠PAN＝30°. ∴PN＝. ∴PE＝PN＋NE＝. 课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想” (1)如图①，在等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，点D在△ABC内部，连接AD，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接DE，CD，BE.请写出BE和CD的数量关系：　BE＝CD　，位置关系：　BE⊥CD　，并证明. 解：证明：∵AC＝AB， ∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°. ∵∠CAD＋∠DAB＝∠CAB＝90°， ∠DAB＋∠BAE＝∠DAE＝90°， ∴∠CAD＝∠BAE. ∴△CAD≌△BAE(SAS). ∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE. 延长CD交BE于点F，如图①所示. ∵∠FCB＋∠ABC＋∠ABE＝∠FCB＋∠ABC＋∠ACD＝∠ABC＋∠ACB＝90°， ∴∠CFB＝180°－(∠FCB＋∠ABC＋∠ABE)＝180°－90°＝90°. ∴BE⊥CD. (2)如图②，在等腰△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，AD＝2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接DE，BD，BE，取BD的中点M，连接CM. ①当点D在△ABC内部，猜想并证明BE与CM的数量关系和位置关系； ②当B，M，E三点共线时(M，E在AB的下方)，请直接写出CM的长度. 解：①BE＝2CM，BE⊥CM.证明如下： 如图②，取AB的中点为F，BE的中点为P，连接FC，FP，FM，延长CM交BE于点O. 又BD的中点为M， ∴FP是△ABE的中位线， FM是△ABD的中位线. ∴FP∥AE，FP＝AE，FM∥AD，FM＝AD. ∵AD绕点A顺时针旋转90°得到AE， ∴AD＝AE，AD⊥AE. ∴FP＝FM，FP⊥FM. ∴∠PFM＝90°. ∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，AB的中点为F， ∴CF⊥AB，CF＝BF.∴∠CFB＝90°. ∵∠CFM＝∠CFB－∠BFM＝90°－∠BFM， ∠BFP＝∠PFM－∠BFM＝90°－∠BFM， ∴∠CFM＝∠BFP. 又CF＝BF，FM＝FP， ∴△CFM≌△BFP(SAS). ∴CM＝BP，∠FCM＝∠FBP. ∵BE的中点为P，∴BE＝2BP＝2CM. ∵∠FBP＋∠CBA＋∠MCB＝∠FCM＋∠CBA＋∠MCB＝∠FCB＋∠CBA＝180°－∠CFB＝180°－90°＝90°， ∴∠COB＝180°－(∠FBP＋∠CBA＋∠MCB)＝180°－90°＝90°.∴BE⊥CM. ②CM＝.
　　图形建模就是指建立几何图形模型的整个过程，对真实原型进行提炼、抽象、简单化，以及确立、检验、解释、应用、向外拓展的过程.
　　利用观察与联想等思想，准确恰当构造出一个或者多个同源问题相关的辅助条件或问题.建立图形模型，把复杂的问题化为简单的问题求解.
1.(2024·广州)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(C)
A.18　　　　　　　　　 B.9
C.9 D.
2.在△ABC中，∠C＝90°，点M是线段BC上的一点，连接AM.
(1)如图①，AC＝BC，AM是△ABC的角平分线，ME⊥AB于点E.
①当CM＝4时，求AB的长；
②若△ABC的中线CO交AM于点F，判断CF与ME的关系，并说明理由.
(2)如图②，若BM＝AC，点N是AC上的一点，且AN＝CM，连接BN交AM于点P，求∠BPM的度数.
解：(1)①设AC＝BC＝x.
∵AM是△ABC的角平分线，ME⊥AB，∠C＝90°，
∴CM＝ME＝4，BM＝x－4.
∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝＝45°.
∴△BEM为等腰直角三角形.即BM＝ME.
∴x－4＝4.解得x＝4＋4.则AB＝.
②CF＝ME且CF∥ME.理由如下：
如图①.∵△ABC为等腰直角三角形，CO为中线，∴CO⊥AB.
又ME⊥AB，∴ME∥CO，即CF∥ME.∴∠EMA＝∠MFC.
由①知，EM＝CM，AM＝AM，
∴Rt△AME≌Rt△AMC(HL).∴∠EMA＝∠CMA＝∠MFC.∴FC＝CM＝EM.
综上所述，CF＝ME且CF∥ME.
(2)如图②，过点M作ME∥AN，使ME＝AN，连接NE，BE.
∴四边形AMEN为平行四边形.∴NE＝AM，ME⊥BC，∠1＝∠2.∵AN＝MC，∴ME＝CM.
在△BEM和△AMC中，
∴△BEM≌△AMC(SAS).∴BE＝AM＝NE，∠3＝∠4.
∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝90°，即∠BEN＝90°.
∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°.
∵AM∥NE，∴∠BPM＝∠BNE＝45°.专题四　数学建模
第37讲　代数类
　　通过建立方程(组)、 一元一次不等式(组)、函数模型解决实际问题.
1.已知电灯电路两端的电压U为220 V，通过灯泡的电流强度I( )的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是( ) A.R至少2 000 Ω B.R至多2 000 Ω C.R至少24.2 Ω D.R至多24.2 Ω 2.(2024·枣庄)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( ) A.200 B.300 C.400 D.500 3.某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元.则有 种购买方案. 4.如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙足够长)，则这个菜地的最大面积为 m2. 5.(2025·成都)2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个. (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
典型考题 变式训练
类型一　方程(组)与不等式应用题 1.低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深.“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元；销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元. (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元 (2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13 000 元，最少需要购买甲型自行车多少台 1.某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，A型车每台进货价格比B型车每台进货价格少3万元，该公司用24万元购买A型车的数量和用30万元购买B型车的数量相同. (1)求购买一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元 (2)该公司准备用不超过300万，采购A，B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台
类型二　方程(组)与一次函数应用题 2.(2025·眉山)国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱.现有A，B两种食品，每份食品的质量为50 g，其核心营养素如下： 食品 类别能量 (单位：Kcal)蛋白质 (单位：g)脂肪 (单位： g)碳水化 合物 (单位：g)A240127.529.8B28013927.6
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份 (2)若每份午餐选用这两种食品共300 g，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份 2.(2020·广东)某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”.每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2 m2，建 A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60 m2建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的. (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米 (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的 3倍.求建造这90个摊位的最大费用.
类型三　方程(组)与二次函数应用题 3.(2024·遂宁)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为 7 200 元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为 3 200 元. (1)求A，B两种客房每间定价分别是多少元 (2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额w最大，最大营业额为多少元 3.(2021·广东)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时， 每天可售出100 盒；每盒售价提高1元时，每天少售出 2 盒. (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2)设猪肉粽每盒售价 x元( 50≤x≤65 )， y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求 y关于 x 的函数解析式及最大利润.
类型四　函数应用题 4.(2024·贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值. 销售单价x/元…1214161820…销售量y/盒…5652484440…
(1)求y与x的函数解析式. (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少 (3)若超市决定每销售一盒糖果就向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，则赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值. 4.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天3569…硫化物的浓度y/(mg/L)4.52.72.251.5…
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式. (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式. (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L 为什么
1.(2024·甘肃)如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6 的图象，点B(6，2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
2.(2025·内江)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元.
(1)求A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求W关于a的函数解析式，并求出W的最大值.
第38讲　几何类
1.了解几何常见模型，如手拉手全等相似模型、倍长中线模型、对角互补模型和123模型等.
2.通过图形建模实现知识多元化认知，顺利找到解题的方法.
3.通过观察与联想，构造出图形模型，把复杂的问题转化为简单的问题求解.
1.【手拉手全等模型】如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ. 求证：(1)△BEC≌△ADC； (2)△PQC是等边三角形. 2.【手拉手相似模型】如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D. (1)若AB＝3AD，BC＝6，求DE的长； (2)连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE. 3.【倍长中线模型】如图，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围. 4.【对角互补模型】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为( ) A.15 B.12.5 C.14.5 D.17 5.【123模型】如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α＋β＝ .
典型考题 变式训练
将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE. (1)如图①，当点D恰好落在BC上时，连接CE. ①当∠B＝70°，∠ACB＝50°时，求证：AC⊥DE. ②当△ABC满足什么条件时，四边形ABCE是平行四边形 说明理由. (2)如图②，当旋转角为60°时，DE交BC于点P，连接AP.当AC＝6，∠C＝45°时，求PE的长. 课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想” (1)如图①，在等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，点D在△ABC内部，连接AD，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接DE，CD，BE.请写出BE和CD的数量关系： ，位置关系： ，并证明. (2)如图②，在等腰△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，AD＝2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接DE，BD，BE，取BD的中点M，连接CM. ①当点D在△ABC内部，猜想并证明BE与CM的数量关系和位置关系； ②当B，M，E三点共线时(M，E在AB的下方)，请直接写出CM的长度.
　　图形建模就是指建立几何图形模型的整个过程，对真实原型进行提炼、抽象、简单化，以及确立、检验、解释、应用、向外拓展的过程.
　　利用观察与联想等思想，准确恰当构造出一个或者多个同源问题相关的辅助条件或问题.建立图形模型，把复杂的问题化为简单的问题求解.
1.(2024·广州)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( )
A.18　　　　　　　　　 B.9
C.9 D.
2.在△ABC中，∠C＝90°，点M是线段BC上的一点，连接AM.
(1)如图①，AC＝BC，AM是△ABC的角平分线，ME⊥AB于点E.
①当CM＝4时，求AB的长；
②若△ABC的中线CO交AM于点F，判断CF与ME的关系，并说明理由.
(2)如图②，若BM＝AC，点N是AC上的一点，且AN＝CM，连接BN交AM于点P，求∠BPM的度数.

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