资源简介

专题三　函数综合运用
第33讲　函数与方程
1.能列方程(组)求出一次函数、反比例函数、二次函数的解析式.
2.理解函数图象交点坐标即为这两个函数的解析式组成的方程组的解.
3.会求两个函数图象的交点坐标.
1.若关于x的方程ax＋m＝0的解为x＝－2，则直线y＝ax＋m一定经过点(A) A.(－2，0) B.(－2，－2) C.(0，－2) D.(－2，2) 2.(2025·汕头三模)如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点P(1，m)，则关于x，y的方程组　. 3.物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A.已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B浮在水面上的高度h(mm)与铁块A的质量x(g)(如表)，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块A质量为100 g时，木块B浮在水面上的高度h为(C) 实验次数一二三铁块A质量x/g255075高度h/mm443832
A.30 mm B.28 mm C.26 mm D.24 mm 4.若一次函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于两点，且其中一个交点的坐标为(－2，)，则另一个交点的坐标为　(2，－)　. 5.(2024·泸州)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为(A) A.0 B.1 C.2 D.3 6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2－bx＋a＝0的根的情况是(C) A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 7.如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴和y轴相交于C，A(0，3)两点，且与正比例函数y2＝－2x的图象交于点B(m，2). (1)方程组　； (2)求一次函数y1＝kx＋b的解析式. 解：把A(0，3)，B(－1，2)代入y1＝kx＋b(k≠0)中， 得 ∴一次函数解析式为y1＝x＋3.
典型考题 变式训练
如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，一次函数图象经过点B(1，1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C. (1)求一次函数解析式； (2)求点D的坐标； (3)求△COP的面积； (4)不解关于x，y的方程(k＋3)x＋b＝0，直接写出方程的解. 解：(1)∵正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)， ∴－3m＝3，解得m＝－1. ∴P(－1，3). 把(1，1)和(－1，3)代入一次函数y＝kx＋b， 得 ∴一次函数解析式是y＝－x＋2. (2)由(1)知一次函数解析式是y＝－x＋2， 令x＝0，则y＝2.∴D(0，2). (3)由(1)知一次函数解析式是y＝－x＋2， 令y＝0，得－x＋2＝0，解得x＝2. ∴点C(2，0).∴OC＝2. ∵P(－1，3)， ∴S△COP＝OC·|yP|＝×2×3＝3. (4)由图象可知，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(－1，3)，所以方程的解为x＝－1. 已知关于x，y的方程组的解相同. (1)求a，b的值； (2)若直线l1：y＝ax＋1与直线l2：y＝－x＋b分别交y轴于点A，B，两直线交于点P，求△ABP的面积. 解：(1)根据题意， 得 将 解得 (2)由(1)可知a＝1，b＝－1， ∴直线l1的解析式为y＝x＋1，直线l2的解析式为y＝－x－1. ∴点A(0，1)，B(0，－1).∴AB＝2. 联立 ∴点P的横坐标为－. ∴S△ABP＝AB·.
1.两个函数图象交点的坐标即为由函数解析式组成的方程组的解，反之方程组的解即为方程改写成函数时的图象的交点坐标.
2.求交点坐标时，可以用函数图象法，也可以用解方程组法.
3.求函数解析式的一般方法为待定系数法.
具体步骤：①设函数解析式；②把点坐标代入解析式；③解方程组；④写结论.
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(m，1)，B两点，与x轴、y轴交于C，D两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点P是第四象限内反比例函数图象上的一点，△COP的面积是△AOD的面积的2倍，求点P的坐标.
解：(1)∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴－3＝，解得k2＝－2.∴反比例函数的解析式为y＝－.
∵点A(m，1)在反比例函数y＝－的图象上，∴1＝－，解得m＝－2.∴A(－2，1).
∵点A(－2，1)，B在一次函数y＝k1x＋b的图象上，∴
∴一次函数的解析式为y＝－x－2.
(2)由(1)，得一次函数的解析式为y＝－x－2.
令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则0＝－x－2，解得x＝－.
∴C，D(0，－2).∴OC＝，OD＝2.
∴S△AOD＝·OD·|xA|＝×2×2＝2.∴S△COP＝2S△AOD＝4.
设点P(n＞0)，∴S△COP＝·OC·＝4.
解得n＝.
2.如图，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长；
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式.
解：(1)由x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.
∵点A位于点B的左侧，∴A(－2，0).
∵直线y＝x＋m经过点A，∴－2＋m＝0.解得m＝2.∴点D的坐标为(0，2).
∴AD＝.
(2)由题意，可设新抛物线的函数解析式为y＝x2＋bx＋2.
∵y＝x2＋bx＋2＝，∴点C'的坐标为.
∵CC'平行于直线AD，且经过点C(0，－4)，
∴直线CC'的解析式为y＝x－4.∴把点C'的坐标代入，得2－－4.
解得b1＝－4，b2＝6.∴新抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋2或y＝x2＋6x＋2.
第34讲　函数与不等式
1.已知自变量或自变量的大小关系，能利用函数图象或函数解析式比较函数值的大小.
2.已知函数值的大小关系，能利用函数图象判断出自变量的取值范围.
1.已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b＜0的解集是(B) A.x＞2 B.x＜2 C.x≥2 D.x≤2 2.如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P(m，4)，则关于x的不等式kx＋b＞x＋2的解集是(D) A.x＜4 B.x＞4 C.x＞2 D.x＜2 3.(2025·徐州)如图为一次函数y＝kx＋b的图象，关于x的不等式k(x－3)＋b＜0的解集为(C) A.x＜－4 B.x＞－4 C.x＜2 D.x＞2 4.如图，一次函数y＝k1x＋b(k1和b均为常数且k1＜0)与反比例函数y＝(k2为常数且k2＜0)的图象交于A，B两点，其横坐标为－1和3，则关于x的不等式＞k1x＋b的解集是　－1＜x＜0或x＞3　. 5.如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx＋b的解集是　1＜x＜4　. 6.如图，y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数 y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(A) A.－1≤x≤9 B.－1≤x＜9 C.－1＜x≤9 D.x≤－1或x≥9 7.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－1(a，b均不为0)与双曲线y＝(k≠0)的图象相交于A(－2，m)，B(－1，n)，C(1，2)三点，则不等式ax2＋bx＜＋1的解集是　－2＜x＜－1或0＜x＜1　.
典型考题 变式训练
一次函数y1＝kx＋b和y2＝－4x＋a的图象如图所示，且A(0，4)，C(－2，0). (1)由图可知，不等式kx＋b＞0的解集是　x＞－2　. (2)若不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1. ①求点B的坐标； ②求a的值. 解：①∵A(0，4)，C(－2，0)在一次函数y1＝kx＋b上， ∴ ∴y1＝2x＋4. ∵不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1， ∴点B的横坐标是1. 当x＝1时，y1＝2×1＋4＝6. ∴点B的坐标为(1，6). ②∵点B(1，6)，∴6＝－4×1＋a.解得a＝10. 如图，直线l1的函数解析式为y1＝x＋1且l1与x轴交于点D.直线l2的函数解析式为y2＝kx＋b且经过定点A(4，0)，B(－1，5)，直线l1与l2相交于点C.请根据图象求出y2＞y1＞0的解集. 解：将A(4，0)，B(－1，5)代入y2＝kx＋b， 得 ∴直线l2的函数解析式为y2＝－x＋4. 联立 ∴点C的坐标是(2，2). 当y1＝0时，x＝－2.∴点D的坐标是(－2，0). 由图象，可知y2＞y1＞0的解集为－2＜x＜2.
几何法：利用函数的图象，判断未知数的取值范围(即不等式的解集)，解题的关键是求函数与坐标轴(或两图象)的交点坐标.
代数法：根据函数值的大小关系，把函数解析式转化成不等式，求不等式的解集.
1.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(2，6)，B(－3，－4)两点.
(1)设直线AB的解析式为y＝ax＋m.
①求直线AB与抛物线的解析式；
②直接写出不等式ax＋m＜x2＋bx＋c的解集.
(2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线y＝x＋n与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围.
解：(1)①由题意，得
∴抛物线的解析式为 y＝x2＋3x－4.
由题意，得
∴直线AB的解析式为 y＝2x＋2.
②x＞2或x＜－3.
(2)如图.
令y＝x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4.
∴M(－4，0)，N(1，0).
当直线y＝x＋n经过N(1，0)时，可得n＝－1；
当直线y＝x＋n经过M(－4，0)时，可得n＝4.
∴当－1＜n＜4时，恰好有两个公共点.
翻折后在x轴上方的二次函数解析式为y＝－x2－3x＋4.
当直线y＝x＋n与二次函数y＝－x2－3x＋4的图象只有一个交点时，x＋n＝－x2－3x＋4.
整理，得 x2＋4x＋n－4＝0，
则Δ＝16－4(n－4)＝0，解得 n＝8.
∴当n＞8时，恰好有两个公共点.
综上所述，n的取值范围为 －1＜n＜4或n＞8.
2.如图，抛物线y＝x2＋bx与直线y＝－x＋2相交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标、抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)已知P(t，m)和Q(4，n)是抛物线上两点，且m＜n，求t的取值范围；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式－x＋2≥x2＋bx的解集.
解：(1)将y＝0代入y＝－x＋2，得－x＋2＝0，解得x＝2.
∴点A的坐标为(2，0).
将A(2，0)代入y＝x2＋bx，得4＋2b＝0.解得b＝－2.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x.
联立方程组
∴点B的坐标为(－1，3).
由y＝x2－2x，得抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.
当x＝1时，y＝1－2＝－1.∴抛物线的顶点坐标为(1，－1).
(2)将(4，n)代入y＝x2－2x，得n＝16－8＝8.
∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴(4，8)关于对称轴的对称点为(－2，8).
∵m＜8，抛物线开口向上，∴t的取值范围为－2＜t＜4.
(3)由图象，可知不等式－x＋2≥x2＋bx的解集为－1≤x≤2.
第35讲　函数与代数式
1.在函数图象上任取一点，把点的坐标作为未知数，利用函数解析式求代数式的值.
2.能利用代数式表示特定量(例如：线段长、面积)的大小，并能求出最值.
1.(2025·苏州)若y＝x＋1，则代数式2y－2x＋3的值为　5　. 2.已知点M(m，n)在直线y＝x＋3上，则代数式m2－2mn＋n2的值为(C) A.3 B.6 C.9 D.12 3.已知直线y＝ax＋b与直线y＝x＋2交于点B(－2，n)，则代数式的值为(D) A.3 B.2 C.1 D.0 4.在平面直角坐标系中，函数y＝(x＞0)与y＝x＋5的图象交于点P(a，b)，则代数式的值是(B) A. B. C. D. 5.二次函数y＝x2－2的图象经过点(a，b)，则代数式b2＋6a2的最小值是(C) A.2 B.3 C.4 D.5 6.设y1＝，y2＝(k＞1)，当2≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a－，则ak的值为(A) A.2 B. C. D. 7.数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20 m的铁丝剪成两段. (1)把每段首尾相连各围成一个正方形.要使这两个正方形的面积之和等于13 m2，应该怎么剪这根铁丝 (2)若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少 解：(1)设剪断后第一段铁丝长为x m，则第二段铁丝长为(20－x)m. 由题意，得＝13. 化简，得x2－20x＋96＝0. 解得x1＝8，x2＝12. 当x＝8时，20－x＝12；当x＝12时，20－x＝8. ∴较短部分长为8 m，较长部分长为12 m. 答：应该把铁丝剪成8 m和12 m的两部分. (2)设两圆面积之和为S m2，剪断后第一段铁丝长为 y m，则第二段铁丝长为(20－y)m. 由题意，得S＝π ＝(y－10)2＋(0＜y＜20). ∵＞0， ∴当y＝10时，S有最小值，最小值为. 答：两圆面积之和的最小值是 m2.
典型考题 变式训练
如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(0，24)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为(18，6). (1)求直线l1，l2的表达式. (2)点C为线段OB上一动点(点C不与点O，B重合)，作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF. ①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标(用含a的代数式表示)； ②若矩形CDEF的面积为60，请求出此时点C的坐标. 解：(1)设直线l1的表达式为y＝k1x， 它过B(18，6)， ∴18k1＝6，解得k1＝. ∴直线l1的表达式为 y＝x. 设直线l2的表达式为y＝k2x＋b，它过A(0，24)，B(18，6)， ∴ ∴直线l2的表达式为y＝－x＋24. (2)①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a， ∴a＝x，x＝3a.∴点C的坐标为(3a，a). ∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为3a. ∵点D在直线l2上， ∴y＝－3a＋24.∴D(3a，－3a＋24). ②∵C(3a，a)，D(3a，－3a＋24)， ∴CF＝3a，CD＝－3a＋24－a＝－4a＋24. ∵矩形CDEF的面积为60， ∴S矩形CDEF＝CF·CD＝3a(－4a＋24)＝60. 解得a＝1或a＝5. 当a＝1时，3a＝3，故C(3，1)； 当a＝5时，3a＝15，故C(15，5). 综上所述，点C的坐标为(3，1)或(15，5). 如图①，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D. (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值. (2)若点P是边BC上的一个动点，连接AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M(如图②).当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值. 解：(1)①∵四边形OABC是边长为3的正方形， ∴A(3，0)，B(3，3)，C(0，3). ②把A(3，0)，C(0，3)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，得 (2)∵AP⊥PM， ∴∠APM＝90°. ∴∠APB＋∠CPM＝90°. ∵∠B＝∠APB＋∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠CPM. ∵∠B＝∠PCM＝90°， ∴△MCP∽△PBA. ∴，即.∴3n＝m(3－m). ∴n＝－(0≤m≤3). ∵－＜0， ∴当m＝时，n的值最大，最大值是.
1.利用函数解析式求出未知数之间的数量关系，代入代数式求值；
2.若直接代入不能求出代数式的值，可先化简代数式，再代入求值.
1.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过(－1，m2＋2m＋1)，(0，m2＋2m＋2)两点，其中m为常数.
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设(a，y1)，(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，请比较y2－y1与0的大小，并说明理由.
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过(－1，m2＋2m＋1)，(0，m2＋2m＋2)两点，
∴
即b＝2，c＝m2＋2m＋2.
(2)由(1)，得y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2.
令y＝0，得x2＋2x＋m2＋2m＋2＝0.
∵抛物线与x轴有公共点，∴Δ＝4－4(m2＋2m＋2)≥0.∴(m＋1)2≤0.
∵(m＋1)2≥0，∴m＋1＝0.∴m＝－1.
(3)由(1)，得y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2.
∵(a，y1)，(a＋2，y2)是抛物线上的两点，
∴y1＝a2＋2a＋m2＋2m＋2，y2＝(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2.
∴y2－y1＝[(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2]－[a2＋2a＋m2＋2m＋2]＝4(a＋2).
当a＋2≥0，即a≥－2时，y2－y1≥0；当a＋2＜0，即a＜－2时，y2－y1＜0.
2.(2024·佛山一模)二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象与x轴交于A，B两点.
(1)若A，B两点坐标分别是(－1，0)，(6，0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；
(2)若该二次函数的最小值为－4，求b－c的最大值.
解：(1)把(－1，0)，(6，0)代入y＝x2＋bx＋c，
得
∴二次函数的表达式为y＝x2－5x－6.
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝－.
(2)y＝x2＋bx＋c＝.
∵二次函数的最小值为－4，
∴c－(b－2)2＋5.
∵－＜0，
∴当b＝2时，b－c有最大值，最大值为5.
3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2＋6x＋2的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2.直线l：y＝kx＋b经过M，N两点.
(1)若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；
(2)结合图象，直接写出不等式x2＋6x＋2＜kx＋b的解集；
(3)若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与(1)中的抛物线C2存在公共点，求3－4q的最大值.
解：(1)∵y＝(x＋2)2－4，∴M(－2，－4).
∴沿x轴翻折后的对称点坐标为(－2，4).
∵抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，
∴抛物线C2的顶点坐标为(2，4).∴p＝2－(－2)＝4.
∵抛物线C2与C1开口大小相同，开口方向相反，
∴抛物线C2的解析式为y＝－(x－2)2＋4＝－x2＋6x－2.
(2)由图象知，不等式x2＋6x＋2＜kx＋b的解集为－2＜x＜0.
(3)令x＝0，则y＝x2＋6x＋2＝2.∴N(0，2).
将M(－2，－4)，N(0，2)代入y＝kx＋b中，得
∴直线l的解析式为y＝3x＋2.
∵直线l沿y轴向下平移q个单位长度后与抛物线y＝－x2＋6x－2存在公共点，
∴方程－x2＋6x－2＝3x＋2－q有实数根，即3x2－6x＋8－2q＝0有实数根.∴Δ＝(－6)2－4×3×(8－2q)≥0，解得q≥.
∵－4＜0，∴当q＝时，3－4q的值最大，最大值为－7.
4.如图①，抛物线经过A(－5，0)，B(1，0)，C(0，5)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PB＋PC的值最小，求点P的坐标.
(3)如图②，点M是线段AC上的点(不与A，C重合)，过M作MN∥y轴交抛物线于N.若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长，并求出MN的最大值.
解：(1)∵抛物线过点A(－5，0)，B(1，0)，
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－1).
将C(0，5)代入解析式，得a＝－1.
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋5)(x－1)＝－x2－4x＋5.
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5.
∴抛物线的对称轴为直线x＝－2.
∴点A，B关于抛物线对称轴直线x＝－2对称.
∵点P在抛物线的对称轴上，∴PB＝PA.
∴当A，P，C三点共线时，PB＋PC的值最小.
设直线AC的解析式为y＝kx＋c.∴∴直线AC的解析式为y＝x＋5.
令x＝－2，则y＝3.∴P(－2，3).
(3)由(2)，得直线AC的解析式为y＝x＋5.∴M(m，m＋5).
∵点N在抛物线上，MN∥y轴，∴N(m，－m2－4m＋5).
∴MN＝－m2－4m＋5－m－5＝－m2－5m＝－(m＋2.5)2＋6.25(－5＜m＜0).
∴当m＝－2.5时，MN的值最大，最大值为6.25.
第36讲　函数综合
1.以中考常考的函数综合题为训练背景，让学生感受中考函数题的考查难度.
2.通过解题归纳考查的知识和方法，了解命题者的设问方式.
1.如图，一次函数y＝－x＋3的图象与反比例函数y＝－的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n)，连接OA，OB.点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标. 解：如图，连接OP. 设直线AB与y轴的交点为C，则C(0，3). 又A(－1，4)，B(4，n)， ∴S△AOC＝， S△AOB＝S△AOC＋S△BOC ＝×3×4 ＝. ∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，S△AOP＋S△BOP＝S△AOB， ∴S△AOP＝. ∵S△AOC＜S△AOP，S△COP＝S△AOP－S△AOC＝＝1， ∴. ∵点P在线段AB上， ∴yP＝－. 2.(2020·广东)如图，点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C.反比例函数y＝(x＞0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG. (1)填空：k＝　2　； (2)求△BDF的面积； (3)求证：四边形BDFG为平行四边形. 解：(2)如图，连接OD. 则S△BDF＝S△OBD＝S△BOA－S△OAD＝×2＝3. (3)证明：设D，则B. ∴E，BD＝4m－m＝3m. ∵点G与点O关于点C对称，∴G(8m，0). 设直线DE的解析式为y＝px＋n，将点D，E的坐标代入， 得 ∴直线DE的解析式为y＝－. 令y＝0，则x＝5m.∴F(5m，0). ∴FG＝8m－5m＝3m.∴BD＝FG. 又FG∥BD， ∴四边形BDFG为平行四边形. 3.(2021·广东)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数 y＝图象的一个交点为P(1，m). (1)求m的值； (2)若PA＝2AB，求k的值. 解：(1)∵P(1，m)为反比例函数y＝图象上一点，∴m＝＝4. (2)在一次函数y＝kx＋b(k＞0)中， 令y＝0，即kx＋b＝0，得x＝－. 令x＝0，则y＝b.∴B(0，b). ∵PA＝2AB， 由图象得，可分为以下两种情况： ①当点B在y轴正半轴时，b＞0，过点P作PH⊥x轴交x轴于点H，如图. ∵PH⊥A1H，B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O， ∴△A1OB1∽△A1HP. ∵PA＝2AB， ∴. ∴A1O＝OH＝1＝，B1O＝PH＝2＝b. ∴b＝2.∴k＝2. ②当点B在y轴负半轴时，b＜0，过点P作PQ⊥y轴于点Q，如图. ∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠PB2Q， ∴△A2OB2∽△PQB2. ∵PA＝2AB，∴. ∴A2O＝，B2O＝. ∴b＝－2.∴k＝6.综上所述，k＝2或k＝6. 4.(2022·广东)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，连接CP，过P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P坐标. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4， ∴B(－3，0). ∴ ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. (2)如图，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F. 设P(m，0)，则PA＝1－m. ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴C(－1，－4).∴CF＝4. ∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA.∴. ∵QE⊥AP，CF⊥AP，∴EQ∥FC. ∴△AQE∽△ACF.∴. ∴，即.∴QE＝1－m. ∴S△CPQ＝S△PCA－S△PQA ＝PA·CF－PA·QE ＝(1－m)×4－(1－m)(1－m) ＝－(m＋1)2＋2. ∵－3≤m≤1，∴当m＝－1时，S△CPQ有最大值，最大值为2. ∴△CPQ面积的最大值为2，此时点P坐标为(－1，0). 5.(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点. (1)求此二次函数的表达式. (2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ.若x2＝x1＋3，求证：的值为定值. (3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值. (1)解：∵二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)， ∴5＝－4＋c，解得c＝9. ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋9. (2)证明：当y＝0时，0＝－x2＋9，解得x1＝－3，x2＝3. ∴B(3，0). 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 则 ∴直线AB的表达式为y＝－x＋3. 设P(x1，－＋9)，则Q(x1＋3，－＋9)，D(x1，－x1＋3)，C(x1，0). ∴PD＝－＋9－(－x1＋3)＝－＋x1＋6＝(x1＋2)(－x1＋3)，CD＝－x1＋3. ∴＝3. ∴的值为定值. (3)解：设P(x1，－＋9)，则Q(－2x1，－4＋9). 设直线PQ的表达式为y＝mx＋n， 则 ∴直线PQ的表达式为y＝x1x－2＋9. 当x＝x1－1时，y＝x1(x1－1)－2. ∴当x1＝－时，线段MN的长度最大，最大值为. 6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A，B(5，0)，且过点C(－1，6). (1)求抛物线的解析式. (2)若直线y1与抛物线交于点M(m，yM)，N(n，yN)，已知m≤1≤n，mn＜0，且当m≤x≤n时，y的最小值为2m，最大值为4n.当y1＜y时，求x的取值范围. (3)设抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接AD，过点A的直线y2＝k2x＋b2(k2＞0)上是否存在一点P，使得△ABP与△ADE相似 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋k. 把(5，0)和(－1，6)代入，得 ∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋8. (2)由(1)，得抛物线顶点坐标为(1，8). ∴当m≤1≤n时，y的最大值为8，即4n＝8，解得n＝2.由抛物线的对称性，得当x＝2和x＝0时函数值相等. 又m≤1≤n且mn＜0，∴m＜0＜1≤n.∴当x＝m时，y取得最小值，即－(m－1)2＋8＝2m. 解得m1＝3(舍)，m2＝－5.∴当y1＜y时，x的取值范围是－5＜x＜2. (3)存在.将y＝0代入y＝－(x－1)2＋8，解得x1＝－3，x2＝5.∴A(－3，0). 由题意得AE＝4，DE＝8，AB＝8，∴AD＝4. ①当∠PAB＝∠DAE，∠PBA＝∠DEA时，如图①所示.∴△AED∽△ABP.∴，即. 解得PB＝16.∴点P的坐标为(5，16). ②当∠PAB＝∠EAD，∠PBA＝∠EDA时，如图②所示. ∴△AED∽△APB.∴，即.解得AP＝，BP＝.过点P作PG⊥x轴于点G，如图②所示.∴△AGP∽△AED.∴.∵S△APB＝AB·PG＝AP·BP，∴PG＝.易得AG＝. ∴OG＝.∴点P的坐标为. ③当∠PAB＝∠ADE，∠PBA＝∠AED时，如图③所示.∴△AED∽△PBA.∴，即. 解得BP＝4.∴点P的坐标为(5，4). ④当∠PAB＝∠EDA，∠PBA＝∠EAD时，如图④所示.∴△AED∽△BPA.∴，即.解得AP＝，BP＝.过点P作PH⊥x轴于点H，如图④所示. ∴△BHP∽△AED.∴. ∵S△APB＝AP·PB＝AB·PH，∴PH＝.易得BH＝.∴点P的坐标为. 综上所述，点P的坐标为(5，16)或或(5，4)或.专题三　函数综合运用
第33讲　函数与方程
1.能列方程(组)求出一次函数、反比例函数、二次函数的解析式.
2.理解函数图象交点坐标即为这两个函数的解析式组成的方程组的解.
3.会求两个函数图象的交点坐标.
1.若关于x的方程ax＋m＝0的解为x＝－2，则直线y＝ax＋m一定经过点( ) A.(－2，0) B.(－2，－2) C.(0，－2) D.(－2，2) 2.(2025·汕头三模)如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点P(1，m)，则关于x，y的方程组 . 3.物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A.已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B浮在水面上的高度h(mm)与铁块A的质量x(g)(如表)，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块A质量为100 g时，木块B浮在水面上的高度h为( ) 实验次数一二三铁块A质量x/g255075高度h/mm443832
A.30 mm B.28 mm C.26 mm D.24 mm 4.若一次函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于两点，且其中一个交点的坐标为(－2，)，则另一个交点的坐标为 . 5.(2024·泸州)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2－bx＋a＝0的根的情况是( ) A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 7.如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴和y轴相交于C，A(0，3)两点，且与正比例函数y2＝－2x的图象交于点B(m，2). (1)方程组 ； (2)求一次函数y1＝kx＋b的解析式.
典型考题 变式训练
如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，一次函数图象经过点B(1，1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C. (1)求一次函数解析式； (2)求点D的坐标； (3)求△COP的面积； (4)不解关于x，y的方程(k＋3)x＋b＝0，直接写出方程的解. 已知关于x，y的方程组的解相同. (1)求a，b的值； (2)若直线l1：y＝ax＋1与直线l2：y＝－x＋b分别交y轴于点A，B，两直线交于点P，求△ABP的面积.
1.两个函数图象交点的坐标即为由函数解析式组成的方程组的解，反之方程组的解即为方程改写成函数时的图象的交点坐标.
2.求交点坐标时，可以用函数图象法，也可以用解方程组法.
3.求函数解析式的一般方法为待定系数法.
具体步骤：①设函数解析式；②把点坐标代入解析式；③解方程组；④写结论.
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(m，1)，B两点，与x轴、y轴交于C，D两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点P是第四象限内反比例函数图象上的一点，△COP的面积是△AOD的面积的2倍，求点P的坐标.
2.如图，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长；
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式.
第34讲　函数与不等式
1.已知自变量或自变量的大小关系，能利用函数图象或函数解析式比较函数值的大小.
2.已知函数值的大小关系，能利用函数图象判断出自变量的取值范围.
1.已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b＜0的解集是( ) A.x＞2 B.x＜2 C.x≥2 D.x≤2 2.如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P(m，4)，则关于x的不等式kx＋b＞x＋2的解集是( ) A.x＜4 B.x＞4 C.x＞2 D.x＜2 3.(2025·徐州)如图为一次函数y＝kx＋b的图象，关于x的不等式k(x－3)＋b＜0的解集为( ) A.x＜－4 B.x＞－4 C.x＜2 D.x＞2 4.如图，一次函数y＝k1x＋b(k1和b均为常数且k1＜0)与反比例函数y＝(k2为常数且k2＜0)的图象交于A，B两点，其横坐标为－1和3，则关于x的不等式＞k1x＋b的解集是 . 5.如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx＋b的解集是 . 6.如图，y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数 y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( ) A.－1≤x≤9 B.－1≤x＜9 C.－1＜x≤9 D.x≤－1或x≥9 7.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－1(a，b均不为0)与双曲线y＝(k≠0)的图象相交于A(－2，m)，B(－1，n)，C(1，2)三点，则不等式ax2＋bx＜＋1的解集是 .
典型考题 变式训练
一次函数y1＝kx＋b和y2＝－4x＋a的图象如图所示，且A(0，4)，C(－2，0). (1)由图可知，不等式kx＋b＞0的解集是 . (2)若不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1. ①求点B的坐标； ②求a的值. 如图，直线l1的函数解析式为y1＝x＋1且l1与x轴交于点D.直线l2的函数解析式为y2＝kx＋b且经过定点A(4，0)，B(－1，5)，直线l1与l2相交于点C.请根据图象求出y2＞y1＞0的解集.
几何法：利用函数的图象，判断未知数的取值范围(即不等式的解集)，解题的关键是求函数与坐标轴(或两图象)的交点坐标.
代数法：根据函数值的大小关系，把函数解析式转化成不等式，求不等式的解集.
1.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(2，6)，B(－3，－4)两点.
(1)设直线AB的解析式为y＝ax＋m.
①求直线AB与抛物线的解析式；
②直接写出不等式ax＋m＜x2＋bx＋c的解集.
(2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线y＝x＋n与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围.
2.如图，抛物线y＝x2＋bx与直线y＝－x＋2相交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标、抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)已知P(t，m)和Q(4，n)是抛物线上两点，且m＜n，求t的取值范围；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式－x＋2≥x2＋bx的解集.
第35讲　函数与代数式
1.在函数图象上任取一点，把点的坐标作为未知数，利用函数解析式求代数式的值.
2.能利用代数式表示特定量(例如：线段长、面积)的大小，并能求出最值.
1.(2025·苏州)若y＝x＋1，则代数式2y－2x＋3的值为 . 2.已知点M(m，n)在直线y＝x＋3上，则代数式m2－2mn＋n2的值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 3.已知直线y＝ax＋b与直线y＝x＋2交于点B(－2，n)，则代数式的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 4.在平面直角坐标系中，函数y＝(x＞0)与y＝x＋5的图象交于点P(a，b)，则代数式的值是( ) A. B. C. D. 5.二次函数y＝x2－2的图象经过点(a，b)，则代数式b2＋6a2的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.设y1＝，y2＝(k＞1)，当2≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a－，则ak的值为( ) A.2 B. C. D. 7.数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20 m的铁丝剪成两段. (1)把每段首尾相连各围成一个正方形.要使这两个正方形的面积之和等于13 m2，应该怎么剪这根铁丝 (2)若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少
典型考题 变式训练
如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(0，24)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为(18，6). (1)求直线l1，l2的表达式. (2)点C为线段OB上一动点(点C不与点O，B重合)，作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF. ①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标(用含a的代数式表示)； ②若矩形CDEF的面积为60，请求出此时点C的坐标. 如图①，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D. (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值. (2)若点P是边BC上的一个动点，连接AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M(如图②).当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值.
1.利用函数解析式求出未知数之间的数量关系，代入代数式求值；
2.若直接代入不能求出代数式的值，可先化简代数式，再代入求值.
1.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过(－1，m2＋2m＋1)，(0，m2＋2m＋2)两点，其中m为常数.
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设(a，y1)，(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，请比较y2－y1与0的大小，并说明理由.
2.(2024·佛山一模)二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象与x轴交于A，B两点.
(1)若A，B两点坐标分别是(－1，0)，(6，0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；
(2)若该二次函数的最小值为－4，求b－c的最大值.
3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2＋6x＋2的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2.直线l：y＝kx＋b经过M，N两点.
(1)若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；
(2)结合图象，直接写出不等式x2＋6x＋2＜kx＋b的解集；
(3)若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与(1)中的抛物线C2存在公共点，求3－4q的最大值.
4.如图①，抛物线经过A(－5，0)，B(1，0)，C(0，5)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PB＋PC的值最小，求点P的坐标.
(3)如图②，点M是线段AC上的点(不与A，C重合)，过M作MN∥y轴交抛物线于N.若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长，并求出MN的最大值.
第36讲　函数综合
1.以中考常考的函数综合题为训练背景，让学生感受中考函数题的考查难度.
2.通过解题归纳考查的知识和方法，了解命题者的设问方式.
1.如图，一次函数y＝－x＋3的图象与反比例函数y＝－的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n)，连接OA，OB.点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标. 2.(2020·广东)如图，点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C.反比例函数y＝(x＞0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG. (1)填空：k＝ ； (2)求△BDF的面积； (3)求证：四边形BDFG为平行四边形. 3.(2021·广东)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数 y＝图象的一个交点为P(1，m). (1)求m的值； (2)若PA＝2AB，求k的值. 4.(2022·广东)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，连接CP，过P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P坐标. 5.(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点. (1)求此二次函数的表达式. (2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ.若x2＝x1＋3，求证：的值为定值. (3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值. 6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A，B(5，0)，且过点C(－1，6). (1)求抛物线的解析式. (2)若直线y1与抛物线交于点M(m，yM)，N(n，yN)，已知m≤1≤n，mn＜0，且当m≤x≤n时，y的最小值为2m，最大值为4n.当y1＜y时，求x的取值范围. (3)设抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接AD，过点A的直线y2＝k2x＋b2(k2＞0)上是否存在一点P，使得△ABP与△ADE相似 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

展开更多......

收起↑