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专题二　尺规作图
第32讲　尺规作图
1.能根据题意，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成几种基本的尺规作图.
2.利用基本作图方法，结合几何图形的性质，探究所得图形的某些基本特性.
1.(2025·陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB(保留作图痕迹，不写作法). 解：如图，点P即为所求. 2.(1)如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE＋EP＝AC(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图中，如果AC＝5 cm，AP＝3 cm，那么△APE的周长是　8　cm. 解：(1)如图，点E即为所求. (2)[提示]由作图可知 EP＝EC， ∴△APE的周长为AP＋AE＋EP＝AP＋AE＋EC＝AP＋AC＝3＋5＝8(cm). 3.如图，在等腰三角形OAB中，OA＝OB. (1)在线段AB(不含端点)上找到一个点P，使得△OAP∽△BAO； (2)在(1)的条件下，若OA＝6，AB＝9，求PB的长. 解：(1)如图，点P即为所求. (2)∵△OAP∽△BAO， ∴.∴AP＝4.∴PB＝9－4＝5. 4.已知：如图，在△ABC中，点D为AC边上的一点. (1)过点D作直线DE∥BC，交线段AB于点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图形中，若＝3，求的值. 解：(1)如图，直线DE即为所求. (2)∵DE∥BC，＝3，∴＝3. ∴AE＝3EB. ∴. 5.【问题背景】无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段.在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点，再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可. 【问题探究】如图①，已知平行四边形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF，连接EF，仅用无刻度直尺在EF上画点O，使点O为EF的中点.操作方法是：连接AC，则AC与EF的交点即为点O. 理由如下： 连接AF，CE，如图②. 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. ∵BE＝DF，∴AE＝CF. 又CF∥AE， ∴四边形AECF为平行四边形(依据是　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　). ∴OE＝OF.∴O为EF的中点. 【问题解决】如图③，已知菱形ABCD，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺在AD上画点G，使AG＝AE，并说明作法的正确性(不写作法，保留作图痕迹). 解：如图③，点G即为所求.理由如下： 设AC与DE的交点为O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC. 又AO＝AO， ∴△DAO≌△BAO(SAS). ∴∠ADE＝∠ABG. 又∠BAG＝∠DAE， ∴△BAG≌△DAE(ASA). ∴AG＝AE. 6.(1)如图，已知 ABCD，利用无刻度的直尺和圆规作图得到新的四边形EBFD，根据作图痕迹可判断四边形EBFD是　菱形　(填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”). (2)如图，在下列网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程请用虚线表示，画图的结果请用实线表示. ①在图①中，M，N的端点均在格点上，作出线段MN的中点P； ②在图②中，作出△ABC的中位线MN，使得点M在AB上，点N在AC上； ③在图③中，作平行四边形ABCE，点D是边AB与网格线的交点，过点D作直线平分四边形ABCE的周长. 解：①如图①所示，点P即为所求. ②如图②所示，线段MN即为所求. ③如图③所示，平行四边形ABCE、直线DF即为所求.
典型考题 变式训练
实践操作：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法). (1)作∠BCA的平分线，交AB于点O； (2)以O为圆心，OB为半径作圆. 综合运用：在你所作的图中， (3)请判断AC与☉O的位置关系，并说明理由； (4)若BC＝6，AB＝8，求☉O的半径. 解：(1)如图，射线CO即为所求. (2)如图，☉O即为所求. (3)AC与☉O相切.理由如下： 如图，过点O作OE⊥AC交AC于点E. ∵OC平分∠ACB，∠ABC＝90°，OE⊥AC， ∴OE＝OB. ∴OE是☉O的半径. ∴AC与☉O相切. (4)∵BC＝6，AB＝8，∠ABC＝90°， ∴AC＝＝10. ∵CB与☉O的切点为B，∴CE＝CB＝6. 设BO＝x，则EO＝x，AO＝8－x，AE＝10－6＝4. 在Rt△AOE中，AE2＋EO2＝AO2， 即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3. ∴☉O的半径为3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D. (1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作☉O(不写作法，保留作图痕迹)； (2)判断直线BC与☉O的位置关系，并说明理由； (3)若(1)中的☉O与边AB的另一个交点为E，AB＝6，BD＝2，求的长(结果保留根号和π). 解：(1)如图，☉O即为所求. (2)直线BC与☉O相切.理由如下： 如图，连接OD. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC. ∴∠ODA＝∠DAC.∴OD∥AC. ∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC. 又OD为☉O半径， ∴BC为☉O的切线，即直线BC与☉O相切. (3)如图，设☉O的半径为r，则OB＝6－r. 在Rt△ODB中，∠ODB＝90°， ∴OB2＝OD2＋BD2，即(6－r)2＝r2＋(2)2， 解得r＝2. ∴OB＝6－2＝4. ∴∠OBD＝30°，∠DOB＝60°. ∴π.
　　在具体情境中结合几何图形的性质和基本作图方法，将复杂的作图转化为基本作图，常见方法有：求作中点、求作到两端点距离相等的点转化为作线段垂直平分线；求作平行线转化为作角相等；求作高转化为过一点作已知直线的垂线.当需要进一步求值或证明时，解题关键是熟悉基本几何图形的性质，运用尺规作图中的结果，逐步推理、计算即可.当需要进一步探究结论时，则先要大胆猜想，再逐步推理验证即可.
1.如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点.
(1)尺规作图：请在图①中作☉O，使得☉O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
(2)在(1)的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的☉O的劣弧与PM，PN所围成图形的面积是　3－π　.
解：(1)如图①，☉O即为所求.
2.(2025·威海)【问题提出】已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝，tan β＝，求∠α＋∠β的度数.
【问题解决】(1)如图①，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α＋∠β的度数(点A，B，C，D都在格点上).
【策略迁移】
(2)已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则∠α＋∠β＝　90　°.
(3)已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tan α＝，tan β＝，∠α＋∠β＝∠θ，求tan θ的值.
(提示：在正方形网格中画图求解)
解：(1)如图①，连接BC.
∵AB＝BC＝，AC＝，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∴∠BAC＝45°.
由题意，得∠BAD＝∠α，∠CAD＝∠β，∴∠α＋∠β＝∠BAC＝45°.
(3)如图②.
由题意，得∠α＝∠GEH，∠β＝∠FEH，∴∠θ＝∠α＋∠β＝∠GEF.
∵GF＝，GE＝2，EF＝5，∴GF2＋GE2＝EF2.∴∠EGF＝90°.
∴在Rt△EGF中，tan θ＝.专题二　尺规作图
第32讲　尺规作图
1.能根据题意，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成几种基本的尺规作图.
2.利用基本作图方法，结合几何图形的性质，探究所得图形的某些基本特性.
1.(2025·陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB(保留作图痕迹，不写作法). 2.(1)如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE＋EP＝AC(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图中，如果AC＝5 cm，AP＝3 cm，那么△APE的周长是 cm. 3.如图，在等腰三角形OAB中，OA＝OB. (1)在线段AB(不含端点)上找到一个点P，使得△OAP∽△BAO； (2)在(1)的条件下，若OA＝6，AB＝9，求PB的长. 4.已知：如图，在△ABC中，点D为AC边上的一点. (1)过点D作直线DE∥BC，交线段AB于点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图形中，若＝3，求的值. 5.【问题背景】无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段.在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点，再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可. 【问题探究】如图①，已知平行四边形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF，连接EF，仅用无刻度直尺在EF上画点O，使点O为EF的中点.操作方法是：连接AC，则AC与EF的交点即为点O. 理由如下： 连接AF，CE，如图②. 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. ∵BE＝DF，∴AE＝CF. 又CF∥AE， ∴四边形AECF为平行四边形(依据是 ). ∴OE＝OF.∴O为EF的中点. 【问题解决】如图③，已知菱形ABCD，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺在AD上画点G，使AG＝AE，并说明作法的正确性(不写作法，保留作图痕迹). 6.(1)如图，已知 ABCD，利用无刻度的直尺和圆规作图得到新的四边形EBFD，根据作图痕迹可判断四边形EBFD是 (填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”). (2)如图，在下列网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程请用虚线表示，画图的结果请用实线表示. ①在图①中，M，N的端点均在格点上，作出线段MN的中点P； ②在图②中，作出△ABC的中位线MN，使得点M在AB上，点N在AC上； ③在图③中，作平行四边形ABCE，点D是边AB与网格线的交点，过点D作直线平分四边形ABCE的周长.
典型考题 变式训练
实践操作：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法). (1)作∠BCA的平分线，交AB于点O； (2)以O为圆心，OB为半径作圆. 综合运用：在你所作的图中， (3)请判断AC与☉O的位置关系，并说明理由； (4)若BC＝6，AB＝8，求☉O的半径. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D. (1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作☉O(不写作法，保留作图痕迹)； (2)判断直线BC与☉O的位置关系，并说明理由； (3)若(1)中的☉O与边AB的另一个交点为E，AB＝6，BD＝2，求的长(结果保留根号和π).
　　在具体情境中结合几何图形的性质和基本作图方法，将复杂的作图转化为基本作图，常见方法有：求作中点、求作到两端点距离相等的点转化为作线段垂直平分线；求作平行线转化为作角相等；求作高转化为过一点作已知直线的垂线.当需要进一步求值或证明时，解题关键是熟悉基本几何图形的性质，运用尺规作图中的结果，逐步推理、计算即可.当需要进一步探究结论时，则先要大胆猜想，再逐步推理验证即可.
1.如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点.
(1)尺规作图：请在图①中作☉O，使得☉O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
(2)在(1)的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的☉O的劣弧与PM，PN所围成图形的面积是 .
2.(2025·威海)【问题提出】已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝，tan β＝，求∠α＋∠β的度数.
【问题解决】(1)如图①，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α＋∠β的度数(点A，B，C，D都在格点上).
【策略迁移】
(2)已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则∠α＋∠β＝ °.
(3)已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tan α＝，tan β＝，∠α＋∠β＝∠θ，求tan θ的值.
(提示：在正方形网格中画图求解)

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