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第七章　图形的变换
第25讲　定义、命题、定理
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 3.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 4.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. 5.通过实例体会反证法的含义. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
判断命题 真假，再证 明或举反例 — — — — T19/ 9分
考情解读：一般考查学生对命题真假的判断、逆命题的概念，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质和定理.
知识点 对点训练
1.命题 判断一件事情的语句，叫作命题. 正确的命题称为 ，不正确的命题称为 . 要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件而不具备命题的结论，这种例子称为 . 1.要说明命题“若a＞b，则a2＞ab”是假命题，能举的一个反例是( ) A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝1 C.a＝4，b＝－1 D.a＝－2，b＝－3
2.逆命题 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 ，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题是另一个命题的 . 2.下列说法正确的是( ) A.命题一定有逆命题 B.所有的定理一定有逆定理 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题
3.定理、命题的证明(5年1考) (1)公认的真命题称为 ，真命题的正确性是通过推理的方法证实.推理的过程称为 ，经过证明的真命题称为 . (2)几何图形中命题证明的一般步骤： ①根据题意，画出图形； ②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. (3)反证法的一般步骤： ①分清命题的条件和结论； ②做出与命题结论相矛盾的假设； ③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真. 3.证明三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半(要求根据所给图形写出已知、求证和证明).
典型例题 变式训练
考查点　命题 1.下列命题正确的是( ) A.方差越小则数据波动越大 B.等边三角形是中心对称图形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.正多边形的外角和为360° 1.下列命题是真命题的是( ) A.是有理数 B.－a是负数 C.若a＝1，则a＝±1 D.S＝πr2中，S，π，r均为变量
考查点　逆命题 2.下列命题中，逆命题为真命题的有( ) ①若a2＝b2，则； ②若ma2＞na2，则m＞n； ③垂直于弦的直径平分这条弦； ④对角线互相垂直的四边形是菱形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列各命题的逆命题成立的是( ) A.全等三角形的面积相等 B.如果a＝b，那么a2＝b2 C.对顶角相等 D.两直线平行，同旁内角互补
考查点　定理、命题的证明 3.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( ) A.a不平行b B.a不垂直于c C.b不垂直于c D.a，b都不垂直于c 3.要说明命题“若＞3，则x＞3”是假命题，可以举的一个反例是( ) A.x＝－2 B.x＝3 C.x＝4 D.x＝－4
1.命题：已知△ABC，AB＝AC.求证：∠B＜90°.运用反证法证明这个命题时，第一步应假设( )
A.AB≠AC B.∠B＞90°
C.∠B≥90° D.AB≠AC且∠B≥90°
2.下列命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③同角的余角相等；④垂线段最短.其中真命题的个数是( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.下列命题是真命题的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相平分且相等的四边形是正方形
4.把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式： .
【推理能力】如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O.
(1)给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD.
请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明.你选择的条件是 ，结论是 (填序号).
(2)在(1)的条件下，已知AD＞AB，求作菱形BEDF，要求：顶点E，F分别在边BC，AD上，并证明你的结论(保留作图痕迹，不要求写作法).
第26讲　尺规作图
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线. 2.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线. 3.能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线. 4.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形. 5.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形. 6.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
作一条线段等于 已知线段 T20/ 6分 — — — —
作一个角等于已 知角 — — — — —
作已知角的 平分线 — — — T17/ 3分 —
作已知线段的垂 直平分线 T20/ 6分 — — — T23/ 2分
过定点作已知直 线的垂线 — — T19/ 4分 — T23/ 2分
考情解读：一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力，并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明).
知识点 对点训练
五种基本作图(5年4考) (1)作一条线段等于已知线段 步骤：①作射线AB；②在射线AB上截取AC＝a，则线段AC就是所求作的线段. (2)作一个角等于已知角 步骤：①作射线O'A'；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以点O'为圆心，以OC的长为半径画弧，交O'A'于点C'；④以点C'为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D'；⑤过点O'，D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角. (1)作线段AC＝a. (2)作∠A'O'B'，使 ∠A'O'B'＝∠AOB.
(3)作已知角的平分线 步骤：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线. (4)作已知线段的垂直平分线 步骤：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；②作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. (5)过定点作已知直线的垂线 不论点是否在已知直线上，都可以利用线段垂直平分线的作法作出. (3)作∠AOB的平分线OC. (4)作线段AB的垂直平分线CD. (5)过点P作直线AB的垂线. ①点P在AB上；　　　②点P在AB外.
典型例题 变式训练
考查点　尺规作图及应用 1.如图，已知 ABCD，AB＜BC. (1)利用尺规作图，作∠BAD的平分线AE，交BC于点E(不写作法，保留作图痕迹)； (2)若AD＝8，DC＝5，则CE的长为 . (3)在(1)的基础上，利用尺规在AD上截取AF＝AB，连接EF，则四边形ABEF的形状是 . 1.如图，点D，E分别在△ABC边AB，AC上，且∠AED＝∠ACB. (1)作∠BDE的平分线DF，交BC于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，判断△BDF的形状，并说明理由.
2.如图，已知 ABCD，AB＜BC. (1)①在图①中作边CD的垂直平分线，交AD于点E，交CD于点F(不写作法，保留作图痕迹)； ②连接CE，若∠D＝50°，则∠AEC的度数为 . (2)①在图②中作∠DAM，使∠DAM＝∠D，AM交BC于点M，并延长DC交AM的延长线于点N(不写作法，保留作图痕迹)； ②若，求的值. 2.尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法).如图，已知△ABC，且AB＞AC. (1)在AB边上求作点D，使DB＝DC； (2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB.
3.如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°. (1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长. 3.如图，∠A＝∠B＝30°. (1)尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D(保留痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，求证：BC2＝BD·AB.
答题规范
示例：(BS七下P132例3改编) (9分)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线，与边BC交于点E，连接DE(保留作图痕迹，不写作法)； (2)求证：DE＝BE.
1.(2024·贵州改编)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD.若AB＝5，则BD的长为 .
2.(2024·广州)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°.
(1)尺规作图：作AC边上的中线BO(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD.求证：四边形ABCD是矩形.
3.如图，△ABC是直角三角形，∠C是直角，AC＝3，BC＝4.
(1)过点C作CD⊥AB，垂足为D(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(2)求AD的长度.
4.如图，在△ABC中，∠C＞∠B.
(1)在AB边上求作一点D，使△ACD∽△ABC(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的前提下，若AB＝6，AC＝2，求AD的长.
5.(2024·广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作☉D.求证：AB与☉D相切.
【几何直观、推理能力】(2025·广东节选)定义：若一点把某线段一分为二，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
(1)如图①，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长.
(2)如图②，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比，并说明理由.(保留作图痕迹，不写作法)
第27讲　图形的变换
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分. 2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形. 3.理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质. 4.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 5.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 6.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质. 7.通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 8.运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
图形的平移 T12/ 4分 T6/ 3分 — — —
图形的对称 — — T2/ 3分 T22/ 3分 T2/ 3分 —
图形的折叠 T23/ 8分 — — T23/ 8分 —
图形的旋转 — — T23/ 3分 T22/ 7分 —
考情解读：图形的变换重点考查图形的平移、旋转、轴对称的性质以及图形的三大变换的设计，与图形变换相关的计算和逻辑推理证明等，考查方式灵活，有时与三角形和四边形结合作为中档题或较难试题.
知识点 对点训练
1.图形的对称(5年3考) 图形判断步骤轴对称图形①有对称轴——直线 ②图形沿对称轴折叠 ③直线两旁的部分重合中心对称图形①有对称中心——点 ②图形绕对称中心旋转180° ③旋转前后的图形完全重合
1.(1)(2024·广东)下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
图形性质成轴对称①成轴对称的两个图形全等 ②对称点的连线被对称轴垂直平分 ③点P(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)成中心对称①成中心对称的两个图形全等 ②对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分 ③点P(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)
(2)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为( ) A.(－3，2) B.(－2，3) C.(2，－3) D.(3，－2) (3)在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称.已知点A1(1，2)，则点A2的坐标是( ) A.(－2，1) B.(－2，－1) C.(－1，2) D.(－1，－2) (4)在平面直角坐标系中，点 A(a，1)与点B(－2，b)关于原点成中心对称，则a＋b的值为( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3
2.图形的折叠(轴对称的应用)(5年2考) (1)折叠：将一个图形(某部分)沿一条直线(折痕)对折，对折前后两部分完全重合. (2)折叠的性质：①折痕两边的折叠部分 ； ②折叠前后对应点的连线被折痕 . 2.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C'与点A重合，折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，则D'F的长为( ) A.2 B.4 C.3 D.2
3.图形的平移(5年2考) (1)平移：平移是指在平面内，将一个图形沿某个 移动一定的 . (2)平移的性质：①对应线段 (或在同一条直线上)且 ，对应角 ；②对应点所连的线段 (或在同一条直线上)且 ，每个点移动的距离 ；③平移后的图形与原图形 . 3.(数学优秀传统文化)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形 A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为( ) A.1 cm B.2 cm C.(－1)cm D.(2 －1)cm
4.图形的旋转(5年2考) (1)旋转：旋转是指在平面内，将一个图形绕一个 按某个 转动一个 . (2)旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离 ；②对应点与旋转中心所连线段的夹角 ，都等于 角；③旋转后的图形与原图形 . 4.如图，已知△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则△ABD的周长为 .
典型例题 变式训练
考查点　图形的旋转 1.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定的角度得△ADE，连接CE，BD. (1)若点D恰好落在斜边AC上，则此时线段BD的长为 ，∠ACE的度数为 . (2)若BD＝1.5，则CE的长为 . 1.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，将△ABC绕点A旋转得△ADE，当B，C，E在同一直线上时，CE＝3，连接BD，则BD的长为 .
考查点　图形的折叠 2.如图，在正方形纸片ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF 沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为( ) A.1 B. D.2 2.(2024·雅安)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F.若AB＝6，BC＝8，则cos∠ABF的值是 .
答题规范
示例：(RJ九上P62第4题改编) (8分)在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上). (1)在图①中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位长度后的△P'A'B'. (2)将图②中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A'B'C.
1.(2023·深圳)下列图形中，为轴对称的图形的是( )
2.如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是( )
A.2 B.2.5
C.3 D.5
3.在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(3，2)，B(5，2)，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是(－1，2)，则点B的对应点D的坐标是 .
4.如图，△ABC的边BC长为4 cm.将△ABC平移2 cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2.
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°.以顶点C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转到△A'B'C的位置，使得A，B的对应点分别是A'，B'，点B落在边A'B'上.在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论： .
6.(2025·山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为 .
7.【推理能力】(2025·宜宾)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处.若A，M，E三点共线，则 .
【几何直观、推理能力】在△ABC中，AB≠AC，点O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF，连接AE，CF.
(1)如图①，当∠BAC＝90°时，则AE与CF的数量关系为 .
(2)如图②，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，若AO＝CF＝5，BC＝6.
①求的值；②求线段DE的长.
第28讲　视图与投影
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面等概念. 2.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念. 3.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体. 4.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型. 5.通过实例，了解视图与展开图在现实生活中的应用. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
三视图 — — — — T4/ 3分
几何体的展 开与折叠 T6/ 3分 — — T21/ 2分 —
投影 — — — — —
考情解读：在近五年广东中考中，此部分内容难度不大，但需要对基本概念有系统的认识才能不失分.
知识点 对点训练
1.三视图(5年1考) (1)三视图的画法：主视图和俯视图的 相等；主视图和左视图的 相等；左视图和俯视图的 相等.看得见的部分画成 线；看不见的部分画成 线. (2)常见几何体的三视图及展开图 几何体正方体圆柱圆锥主视图左视图俯视图平面展 开图 (选其 中一种)
1.(1)(2025·广东)如图是由5个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是( ) (2)图①是某市全程马拉松男子组颁奖现场.图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是( )
几何体球正三棱柱正三棱锥主视图左视图俯视图平面展 开图 (选其 中一种)无
(3)如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是( ) A.圆锥　　B.圆柱　　C.棱锥　　D.棱柱 (4)如图所示的是一个长方体的三视图(单位： cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是 cm3，表面积是 cm2.
2.正方体的展开与折叠(5年1考) 正方体的展开图类型(注：相同颜色表示相对的面) (1)一四一型 (2)二三一型 (3)三三型 (4)二二二型 温馨提示：正方体的表面展开图中不能出现“”“”图形，即“田凹应弃之”；若出现“”图形，另两面必须在两侧，即“一线不过四”，可借此方法来排除错误选项. 2.(1)某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是( ) A.青　　　B.春　　　C.梦　　　D.想 (2)下列图形是正方体展开图的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
3.平行投影与中心投影 (1)平行投影：由 形成的投影叫作平行投影.太阳光线可以看成是 光线. 同一时刻，所有物体在阳光下的影长与其实际长度成比例：. (2)中心投影：由 发出的光线形成的投影.例如：路灯. 3.张华同学的身高为1.6 m，某一时刻他在阳光下的影长为2 m，与他邻近的一棵树的影长为6 m，则这棵树的高为( ) A.3.2 m　　　　　　B.4.8 m C.5.2 m　 D.5.6 m
典型例题 变式训练
考查点　几何体的三视图 1.(2024·宁夏)用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图②，现将其中4个小正方体按图①方式摆放，则最后一个小正方体应放在( ) A.①号位置 B.②号位置 C.③号位置 D.④号位置 1.某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是( )
2.由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 . 2.(2025·黑龙江)一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是( ) A.7 B.8 C.6 D.5
考查点　投影 3.下列四幅图中，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是( ) 3.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( ) A.逐渐变短 B.逐渐变长 C.先变短后变长 D.先变长后变短
答题规范
示例：(RJ九下P99例5) (7分)某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图.请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(图中尺寸单位：mm).
1.(2025·陕西)上马石是古人上下马的工具，形状如图①.它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为( )
2.几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是( )
3.(2024·吉林)葫芦在我国古代被看作吉祥之物.如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是( )
A.主视图与左视图相同　　　
B.主视图与俯视图相同
C.左视图与俯视图相同　　　　　
D.主视图、左视图与俯视图都相同
4.小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是( )
5.如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，不能裁掉的是( )
A.① B.②
C.③ D.④
6.【空间观念】(2024·佛山一模)数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面.下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是( )
7.【应用意识】如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子A'B'C'D'，现测得OA＝2 cm，OA'＝5 cm，纸片ABCD的面积为8 cm2，则影子A'B'C'D'的面积为 cm2.
【应用意识、空间观念】(跨学科命题)(2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示：①一张直径为10 cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积(结果保留π).第七章　图形的变换
第25讲　定义、命题、定理
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 3.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 4.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. 5.通过实例体会反证法的含义. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
判断命题 真假，再证 明或举反例 — — — — T19/ 9分
考情解读：一般考查学生对命题真假的判断、逆命题的概念，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质和定理.
知识点 对点训练
1.命题 判断一件事情的语句，叫作命题. 正确的命题称为　真命题　，不正确的命题称为　假命题　. 要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件而不具备命题的结论，这种例子称为　反例　. 1.要说明命题“若a＞b，则a2＞ab”是假命题，能举的一个反例是(D) A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝1 C.a＝4，b＝－1 D.a＝－2，b＝－3
2.逆命题 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的　结论　和　条件　，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题是另一个命题的　逆命题　. 2.下列说法正确的是(A) A.命题一定有逆命题 B.所有的定理一定有逆定理 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题
3.定理、命题的证明(5年1考) (1)公认的真命题称为　公理　，真命题的正确性是通过推理的方法证实.推理的过程称为　证明　，经过证明的真命题称为　定理　. (2)几何图形中命题证明的一般步骤： ①根据题意，画出图形； ②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. (3)反证法的一般步骤： ①分清命题的条件和结论； ②做出与命题结论相矛盾的假设； ③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真. 3.证明三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半(要求根据所给图形写出已知、求证和证明). 解：已知：△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点. 求证：DE∥BC，DE＝BC. 证明：如图，延长DE到点F，使DE＝EF，连接CF. ∵点E是AC的中点，∴AE＝CE. 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE(SAS). ∴AD＝CF，∠ADE＝∠F.∴AB∥CF. ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD.∴BD＝CF. 又BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形. ∴DF∥BC，DF＝BC. ∴DE∥BC且DE＝BC.
典型例题 变式训练
考查点　命题 1.下列命题正确的是(D) A.方差越小则数据波动越大 B.等边三角形是中心对称图形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.正多边形的外角和为360° 1.下列命题是真命题的是(C) A.是有理数 B.－a是负数 C.若a＝1，则a＝±1 D.S＝πr2中，S，π，r均为变量
考查点　逆命题 2.下列命题中，逆命题为真命题的有(B) ①若a2＝b2，则； ②若ma2＞na2，则m＞n； ③垂直于弦的直径平分这条弦； ④对角线互相垂直的四边形是菱形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列各命题的逆命题成立的是(D) A.全等三角形的面积相等 B.如果a＝b，那么a2＝b2 C.对顶角相等 D.两直线平行，同旁内角互补
考查点　定理、命题的证明 3.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(A) A.a不平行b B.a不垂直于c C.b不垂直于c D.a，b都不垂直于c 3.要说明命题“若＞3，则x＞3”是假命题，可以举的一个反例是(D) A.x＝－2 B.x＝3 C.x＝4 D.x＝－4
1.命题：已知△ABC，AB＝AC.求证：∠B＜90°.运用反证法证明这个命题时，第一步应假设(C)
A.AB≠AC B.∠B＞90°
C.∠B≥90° D.AB≠AC且∠B≥90°
2.下列命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③同角的余角相等；④垂线段最短.其中真命题的个数是(C)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.下列命题是真命题的是(B)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相平分且相等的四边形是正方形
4.把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　.
【推理能力】如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O.
(1)给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD.
请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明.你选择的条件是　①②　，结论是　③　(填序号).
(2)在(1)的条件下，已知AD＞AB，求作菱形BEDF，要求：顶点E，F分别在边BC，AD上，并证明你的结论(保留作图痕迹，不要求写作法).
解：(1)证明如下：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.
又OA＝OC，∴△ABO≌△CDO(AAS).∴AB＝CD.
又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.
∴∠ADB＝∠CBD.(答案不唯一)
(2)作出线段BD的垂直平分线，如图所示，四边形BEDF即为所求作的四边形.
证明如下：∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，EF⊥BD.
由(1)知，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
∴△DFO≌△BEO(AAS).∴OF＝OE.
又OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形.
又EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形.
第26讲　尺规作图
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线. 2.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线. 3.能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线. 4.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形. 5.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形. 6.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
作一条线段等于 已知线段 T20/ 6分 — — — —
作一个角等于已 知角 — — — — —
作已知角的 平分线 — — — T17/ 3分 —
作已知线段的垂 直平分线 T20/ 6分 — — — T23/ 2分
过定点作已知直 线的垂线 — — T19/ 4分 — T23/ 2分
考情解读：一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力，并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明).
知识点 对点训练
五种基本作图(5年4考) (1)作一条线段等于已知线段 步骤：①作射线AB；②在射线AB上截取AC＝a，则线段AC就是所求作的线段. (2)作一个角等于已知角 步骤：①作射线O'A'；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以点O'为圆心，以OC的长为半径画弧，交O'A'于点C'；④以点C'为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D'；⑤过点O'，D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角. (1)作线段AC＝a. (2)作∠A'O'B'，使 ∠A'O'B'＝∠AOB.
(3)作已知角的平分线 步骤：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线. (4)作已知线段的垂直平分线 步骤：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；②作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. (5)过定点作已知直线的垂线 不论点是否在已知直线上，都可以利用线段垂直平分线的作法作出. (3)作∠AOB的平分线OC. (4)作线段AB的垂直平分线CD. (5)过点P作直线AB的垂线. ①点P在AB上；　　　②点P在AB外.
典型例题 变式训练
考查点　尺规作图及应用 1.如图，已知 ABCD，AB＜BC. (1)利用尺规作图，作∠BAD的平分线AE，交BC于点E(不写作法，保留作图痕迹)； (2)若AD＝8，DC＝5，则CE的长为　3　. (3)在(1)的基础上，利用尺规在AD上截取AF＝AB，连接EF，则四边形ABEF的形状是　菱形　. 解：(1)如图，AE即为所求. (3)如图，AF，EF即为所求. 1.如图，点D，E分别在△ABC边AB，AC上，且∠AED＝∠ACB. (1)作∠BDE的平分线DF，交BC于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，判断△BDF的形状，并说明理由. 解：(1)如图，DF即为所求. (2)△BDF为等腰三角形.理由如下： ∵∠AED＝∠ACB， ∴DE∥BC. ∴∠EDF＝∠BFD. ∵DF平分∠BDE， ∴∠BDF＝∠EDF. ∴∠BFD＝∠BDF. ∴BD＝BF.∴△BDF为等腰三角形.
2.如图，已知 ABCD，AB＜BC. (1)①在图①中作边CD的垂直平分线，交AD于点E，交CD于点F(不写作法，保留作图痕迹)； ②连接CE，若∠D＝50°，则∠AEC的度数为　100°　. (2)①在图②中作∠DAM，使∠DAM＝∠D，AM交BC于点M，并延长DC交AM的延长线于点N(不写作法，保留作图痕迹)； ②若，求的值. 解：(1)①如图①，EF即为所求. (2)①如图②，∠DAM、点N即为所求. ②∵ ABCD中，BC∥AD， ∴∠NMC＝∠DAM，∠NCM＝∠D. ∴△NMC∽△NAD. ∴. 又∠DAM＝∠D，∴∠NMC＝∠NCM. ∴MN＝CN.∴. 2.尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法).如图，已知△ABC，且AB＞AC. (1)在AB边上求作点D，使DB＝DC； (2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB. 解：(1)如图，点D即为所求. (2)如图，点E即为所求.
3.如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°. (1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长. 解：(1)如图，DE即为所求. (2)∵cos∠DAB＝， ∴AE＝AD·cos 30°＝4×. ∴BE＝AB－AE＝6－2. 3.如图，∠A＝∠B＝30°. (1)尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D(保留痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，求证：BC2＝BD·AB. (1)解：如图，CD即为所求. (2)证明：∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°. ∵∠A＝∠B＝30°， ∴∠ACB＝120°. ∴∠DCB＝∠A＝30°. 又∠B＝∠B，∴△CDB∽△ACB. ∴.∴BC2＝BD·AB.
答题规范
示例：(BS七下P132例3改编) (9分)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线，与边BC交于点E，连接DE(保留作图痕迹，不写作法)； (2)求证：DE＝BE. (1)解：如图，AE，DE即为所求. 　4分 (2)证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAE.　6分 又AB＝AD，AE＝AE， ∴△BAE≌△DAE(SAS).　8分 ∴DE＝BE.　9分
1.(2024·贵州改编)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD.若AB＝5，则BD的长为　5　.
2.(2024·广州)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°.
(1)尺规作图：作AC边上的中线BO(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD.求证：四边形ABCD是矩形.
(1)解：如图，线段BO为AC边上的中线.
(2)证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO.
∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，
∴BO＝DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.
3.如图，△ABC是直角三角形，∠C是直角，AC＝3，BC＝4.
(1)过点C作CD⊥AB，垂足为D(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(2)求AD的长度.
解：(1)如图，CD即为所求.
(2)∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5.
∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD.
∴CD＝.
4.如图，在△ABC中，∠C＞∠B.
(1)在AB边上求作一点D，使△ACD∽△ABC(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的前提下，若AB＝6，AC＝2，求AD的长.
解：(1)如图，点D即为所求作的点.
(2)∵△ACD∽△ABC，∴.
∵AB＝6，AC＝2，∴.∴AD＝4.
5.(2024·广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作☉D.求证：AB与☉D相切.
(1)解：如图，AD即为所求.
(2)证明：过点D作DE⊥AB于点E，如图.
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD.
∴DE为☉D的半径.
∴AB与☉D相切.
【几何直观、推理能力】(2025·广东节选)定义：若一点把某线段一分为二，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
(1)如图①，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长.
(2)如图②，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比，并说明理由.(保留作图痕迹，不写作法)
解：(1)设PN＝x，则MP＝MN－PN＝2－x.
根据题意，得，即.
整理，得x2－6x＋4＝0.解得x1＝3＋，x2＝3－.
∵3＋＞2，
∴x1舍去.∴PN＝3－.
(2)如图，点C即为所求.理由如下：
设BD＝m，则AD＝BD＝BF＝FG＝m，AB＝2m.
∴AF＝m.
∴AC＝AG＝AF－FG＝m－m＝(－1)m.
∴BC＝AB－AC＝2m－(－1)m＝(3－)m.
∵，
∴.∴点C为线段AB的中外比点.
第27讲　图形的变换
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分. 2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形. 3.理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质. 4.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 5.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 6.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质. 7.通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 8.运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
图形的平移 T12/ 4分 T6/ 3分 — — —
图形的对称 — — T2/ 3分 T22/ 3分 T2/ 3分 —
图形的折叠 T23/ 8分 — — T23/ 8分 —
图形的旋转 — — T23/ 3分 T22/ 7分 —
考情解读：图形的变换重点考查图形的平移、旋转、轴对称的性质以及图形的三大变换的设计，与图形变换相关的计算和逻辑推理证明等，考查方式灵活，有时与三角形和四边形结合作为中档题或较难试题.
知识点 对点训练
1.图形的对称(5年3考) 图形判断步骤轴对称图形①有对称轴——直线 ②图形沿对称轴折叠 ③直线两旁的部分重合中心对称图形①有对称中心——点 ②图形绕对称中心旋转180° ③旋转前后的图形完全重合
1.(1)(2024·广东)下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(C)
图形性质成轴对称①成轴对称的两个图形全等 ②对称点的连线被对称轴垂直平分 ③点P(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)成中心对称①成中心对称的两个图形全等 ②对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分 ③点P(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)
(2)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为(D) A.(－3，2) B.(－2，3) C.(2，－3) D.(3，－2) (3)在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称.已知点A1(1，2)，则点A2的坐标是(D) A.(－2，1) B.(－2，－1) C.(－1，2) D.(－1，－2) (4)在平面直角坐标系中，点 A(a，1)与点B(－2，b)关于原点成中心对称，则a＋b的值为(C) A.－3 B.－1 C.1 D.3
2.图形的折叠(轴对称的应用)(5年2考) (1)折叠：将一个图形(某部分)沿一条直线(折痕)对折，对折前后两部分完全重合. (2)折叠的性质：①折痕两边的折叠部分　全等　； ②折叠前后对应点的连线被折痕　垂直平分　. 2.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C'与点A重合，折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，则D'F的长为(C) A.2 B.4 C.3 D.2
3.图形的平移(5年2考) (1)平移：平移是指在平面内，将一个图形沿某个　方向　移动一定的　距离　. (2)平移的性质：①对应线段　平行　(或在同一条直线上)且　相等　，对应角　相等　；②对应点所连的线段　平行　(或在同一条直线上)且　相等　，每个点移动的距离　相等　；③平移后的图形与原图形　全等　. 3.(数学优秀传统文化)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形 A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为(D) A.1 cm B.2 cm C.(－1)cm D.(2 －1)cm
4.图形的旋转(5年2考) (1)旋转：旋转是指在平面内，将一个图形绕一个　定点　按某个　方向　转动一个　角度　. (2)旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离　相等　；②对应点与旋转中心所连线段的夹角　相等　，都等于　旋转　角；③旋转后的图形与原图形　全等　. 4.如图，已知△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则△ABD的周长为　8＋4　.
典型例题 变式训练
考查点　图形的旋转 1.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定的角度得△ADE，连接CE，BD. (1)若点D恰好落在斜边AC上，则此时线段BD的长为　2　，∠ACE的度数为　60°　. (2)若BD＝1.5，则CE的长为　3　. 1.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，将△ABC绕点A旋转得△ADE，当B，C，E在同一直线上时，CE＝3，连接BD，则BD的长为 　.
考查点　图形的折叠 2.如图，在正方形纸片ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF 沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为(D) A.1 B. D.2 2.(2024·雅安)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F.若AB＝6，BC＝8，则cos∠ABF的值是 　.
答题规范
示例：(RJ九上P62第4题改编) (8分)在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上). (1)在图①中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位长度后的△P'A'B'. (2)将图②中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A'B'C. 解：(1)如图①，△PAB，△P'A'B'即为所求.(答案不唯一) 图① 　4分 (2)如图②，△A'B'C即为所求. 图② 　8分
1.(2023·深圳)下列图形中，为轴对称的图形的是(D)
2.如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是(A)
A.2 B.2.5
C.3 D.5
3.在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(3，2)，B(5，2)，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是(－1，2)，则点B的对应点D的坐标是　(1，2)　.
4.如图，△ABC的边BC长为4 cm.将△ABC平移2 cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为　8　cm2.
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°.以顶点C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转到△A'B'C的位置，使得A，B的对应点分别是A'，B'，点B落在边A'B'上.在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论：　BC＝B'C，△BCB'为等边三角形，A'C⊥AB(答案不唯一)　.
6.(2025·山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　(3，3)　.
7.【推理能力】(2025·宜宾)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处.若A，M，E三点共线，则　.
【几何直观、推理能力】在△ABC中，AB≠AC，点O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF，连接AE，CF.
(1)如图①，当∠BAC＝90°时，则AE与CF的数量关系为　AE＝CF　.
(2)如图②，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，若AO＝CF＝5，BC＝6.
①求的值；②求线段DE的长.
解：①∵BC＝6，点O为BC边的中点，
∴CO＝BC＝3.
由旋转得AO＝5＝EO，CO＝3＝FO，∠AOE＝∠COF.
∵＝1，∴.
∴△AOE∽△COF.∴.
②∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE.
∴∠DOE＝∠OEA＋∠OAE＝2∠OEA.
∵OD＝OA＝OE，∴∠OED＝∠D.
∴∠AOE＝∠OED＋∠D＝2∠OED.∴∠DOE＋∠AOE＝2∠OEA＋2∠OED＝180°.
∴∠AED＝∠OEA＋∠OED＝90°.
∵AO＝CF＝OD＝5，，
∴AD＝AO＋OD＝10，AE＝.
第28讲　视图与投影
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面等概念. 2.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念. 3.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体. 4.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型. 5.通过实例，了解视图与展开图在现实生活中的应用. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
三视图 — — — — T4/ 3分
几何体的展 开与折叠 T6/ 3分 — — T21/ 2分 —
投影 — — — — —
考情解读：在近五年广东中考中，此部分内容难度不大，但需要对基本概念有系统的认识才能不失分.
知识点 对点训练
1.三视图(5年1考) (1)三视图的画法：主视图和俯视图的　长　相等；主视图和左视图的　高　相等；左视图和俯视图的　宽　相等.看得见的部分画成　实　线；看不见的部分画成　虚　线. (2)常见几何体的三视图及展开图 几何体正方体圆柱圆锥主视图左视图俯视图平面展 开图 (选其 中一种)
1.(1)(2025·广东)如图是由5个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是(C) (2)图①是某市全程马拉松男子组颁奖现场.图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是(A)
几何体球正三棱柱正三棱锥主视图左视图俯视图平面展 开图 (选其 中一种)无
(3)如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是(A) A.圆锥　　B.圆柱　　C.棱锥　　D.棱柱 (4)如图所示的是一个长方体的三视图(单位： cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是　24　cm3，表面积是　52　cm2.
2.正方体的展开与折叠(5年1考) 正方体的展开图类型(注：相同颜色表示相对的面) (1)一四一型 (2)二三一型 (3)三三型 (4)二二二型 温馨提示：正方体的表面展开图中不能出现“”“”图形，即“田凹应弃之”；若出现“”图形，另两面必须在两侧，即“一线不过四”，可借此方法来排除错误选项. 2.(1)某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是(D) A.青　　　B.春　　　C.梦　　　D.想 (2)下列图形是正方体展开图的个数为(C) A.1 B.2 C.3 D.4
3.平行投影与中心投影 (1)平行投影：由　平行光线　形成的投影叫作平行投影.太阳光线可以看成是　平行　光线. 同一时刻，所有物体在阳光下的影长与其实际长度成比例：. (2)中心投影：由　同一点(点光源)　发出的光线形成的投影.例如：路灯. 3.张华同学的身高为1.6 m，某一时刻他在阳光下的影长为2 m，与他邻近的一棵树的影长为6 m，则这棵树的高为(B) A.3.2 m　　　　　　B.4.8 m C.5.2 m　 D.5.6 m
典型例题 变式训练
考查点　几何体的三视图 1.(2024·宁夏)用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图②，现将其中4个小正方体按图①方式摆放，则最后一个小正方体应放在(B) A.①号位置 B.②号位置 C.③号位置 D.④号位置 1.某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是(D)
2.由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是　5　. 2.(2025·黑龙江)一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是(A) A.7 B.8 C.6 D.5
考查点　投影 3.下列四幅图中，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是(B) 3.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子(C) A.逐渐变短 B.逐渐变长 C.先变短后变长 D.先变长后变短
答题规范
示例：(RJ九下P99例5) (7分)某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图.请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(图中尺寸单位：mm). 解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱，高为50 mm，底面是边长为50 mm的正六边形，其外接圆直径为 100 mm，　2分 S＝2S六边形＋6S长方形 ＝2×6×＋6×50×50 ＝(7 500＋15 000)mm2.　6分 故每个密封罐所需钢板的面积为(7 500＋15 000)mm2.　7分
1.(2025·陕西)上马石是古人上下马的工具，形状如图①.它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为(D)
2.几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是(D)
3.(2024·吉林)葫芦在我国古代被看作吉祥之物.如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是(A)
A.主视图与左视图相同　　　
B.主视图与俯视图相同
C.左视图与俯视图相同　　　　　
D.主视图、左视图与俯视图都相同
4.小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是(A)
5.如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，不能裁掉的是(A)
A.① B.②
C.③ D.④
6.【空间观念】(2024·佛山一模)数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面.下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是(B)
7.【应用意识】如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子A'B'C'D'，现测得OA＝2 cm，OA'＝5 cm，纸片ABCD的面积为8 cm2，则影子A'B'C'D'的面积为　50　cm2.
【应用意识、空间观念】(跨学科命题)(2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示：①一张直径为10 cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积(结果保留π).
解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下：
设圆锥展开图的扇形圆心角为n°.
根据题意，得＝7π.解得n＝180°.
又半圆形滤纸的圆心角为180°，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为r cm，高为h cm.
根据题意，得2πr＝.解得r＝.
∴h＝.∴圆锥的体积为π cm3.

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