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第六章　圆
第22讲　与圆有关的概念及性质
知识点 对点训练
1.与圆有关的概念及其性质 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫作弧，大于半圆的弧叫作　优弧　，小于半圆的弧叫作　劣弧　. (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作　直径　. (3)圆心角：顶点在　圆心　的角叫作圆心角. (4)圆周角：顶点在　圆上　，并且角的两边都与圆相交，这样的角叫作圆周角. (5)弧、弦、圆心角的关系 ①在同圆或等圆中，相等的　圆心角　所对的弧相等，所对的弦相等. ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条　弧　、两条　弦　中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等. 1.(1)如图，若点O为☉O的圆心，则线段　OA，OB，OC　是☉O的半径；线段　AC，AB，BC　是☉O的弦，其中最长的弦是　AC　； 　是劣弧. (2)如图，AB为半圆O的直径，点C，D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是(B) A.25° B.30° C.50° D.60°
2.圆周角定理及其推论(5年3考) 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的　圆心　角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角　相等　. 推论2：直径所对的　圆周角　是直角，　90°　的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆内接四边形定理：　圆内接四边形的对角互补　. 2.(1)(2025·青海)如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是(B) A.80° B.50° C.40° D.25° (2)(2025·长沙)如图，AC，BC为☉O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为(C) A.40° B.45° C.50° D.55°
3.垂径定理 (1)垂直于弦的　直径　平分弦，并且平分弦所对的两条　弧　. (2)垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且　平分　弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且　平分　弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径　垂直平分　弦，并且　平分　弦所对的另一条弧. 3.(1)(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为(B) A.4 B.4 (2)(2024·赤峰)如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(B) A.61° B.63° C.65° D.67°
典型例题 变式训练
考查点　圆周角定理及其推论 1.(2025·常州)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦.若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　. 1.(2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AB是☉O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为(B) A.100° B.110° C.120° D.130°
2.(2024·眉山)如图，△ABC内接于☉O，点O在AB上，AD平分∠BAC交☉O于点D，连接BD.若AB＝10，BD＝2，则BC的长为　8　. 2.(2025·广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，. (1)求证：△BOC≌△DOC； (2)求∠ABD的度数. (1)证明：∵， ∴∠BOC＝∠DOC. 又OC＝OC，OB＝OD， ∴△BOC≌△DOC(SAS). (2)解：∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝65°. ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝50°. ∴∠DOC＝∠BOC＝50°. ∴∠AOD＝180°－∠DOC－∠BOC＝80°. ∴∠ABD＝∠AOD＝40°.
有关圆周角定理及其推论的常见辅助线作法
1.构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角；
2.连接半径构造等腰三角形或等边三角形；
3.当题目中有直径时，构造直径所对的圆周角；
4.在圆中求锐角的三角函数值时，通常利用圆周角定理，将所求角转化为直角三角形中的角或圆心角.
答题规范
示例：(RJ九上P87例4) (9分)如图，☉O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交☉O于点D，求BC，AD，BD的长. 解：如图，连接OD.　1分 ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°.　2分 在Rt△ABC中， BC＝＝8(cm).　4分 ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD. ∴∠AOD＝∠BOD.　6分 ∴AD＝BD.　7分 又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2， ∴AD＝BD＝(cm).　9分
1.(2025·重庆)如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(B)
A.40° B.50°
C.80° D.100°
2.(2025·山西)如图，AB为☉O的直径，点C，D是☉O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为(B)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
3.(2025·内江)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5，则DC的长是　2　.
4.(2024·包头)如图，AB是☉O的直径，BC，BD是☉O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE＞BE)，连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE.
(1)如图①，若BE＝1，CE＝，求☉O的半径；
(2)如图②，若BD＝2OE，求证：BD∥OC.
(1)解：∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC).
∵∠BOC＝2∠BCE，
∴∠OBC＝(180°－2∠BCE)＝90°－∠BCE，
即∠OBC＋∠BCE＝90°.
∴∠OEC＝90°.∴OC2＝OE2＋CE2.∴OC2＝(OC－1)2＋()2.
解得OC＝3，即☉O的半径为3.
(2)证明：如图②，过点O作OF⊥BD于点F.∴BF＝BD.
∵BD＝2OE，∴OE＝BF.
又OC＝OB，∠OEC＝∠BFO＝90°，
∴Rt△CEO≌Rt△OFB(HL).∴∠COE＝∠OBF.∴BD∥OC.
【推理能力】(分类讨论思想)(2024·江西)如图，AB是☉O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F.当DE的长为正整数时，线段FB的长为　2－或2＋或2　.
第23讲　与圆有关的位置关系
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.探索并掌握点与圆的位置关系. 2.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念. 3.了解三角形的内心与外心. 4.*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
点、直线与圆的 位置关系 — — — T23/ 3分 —
切线的性质 — — T22/ 4分 — T17/ 7分
切线的判定 T24/ 3分 — — T17/ 4分 —
考情解读：在广东中考试卷中，考查与圆有关的位置关系时常结合三角形、四边形、三角形的全等或相似以及三角函数等，综合性强.
知识点 对点训练
1.点与圆的位置关系(5年1考) 若☉O的半径为r，已知点P到圆心的距离OP＝d，则： ①点P在圆外 d　＞　r； ②点P在圆上 d　＝　r； ③点P在圆内 d　＜　r. 1.(2024·广州)如图，☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P.若OP＝5，则点P与☉O的位置关系是(C) A.点P在☉O上 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外 D.无法确定
2.直线与圆的位置关系 (1)定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆　相离　；直线和圆只有一个公共点，直线和圆　相切　；直线和圆有两个公共点，直线和圆　相交　. (2)等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则： ①直线和圆相离 d　＞　r； ②直线和圆相切 d　＝　r； ③直线和圆相交 d　＜　r. 2.(2025·广州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4.若☉D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，则☉D与直线AC的关系是(B) A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定
3.切线的性质与判定(5年4考) (1)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)切线的判定： ①圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； ②与圆只有一个交点的直线是圆的切线； ③过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 3.(1)(2025·青岛)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与☉O相切于点A.若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为(C) A.52° B.54° C.64° D.74° (2)(2025·佛山模拟改编)如图，AB是☉O的弦，C为过点B的切线上一点，且BC＝AC，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且AD＝BE，AF＝BD，连接EF.若∠C＝50°，则∠EDF的度数为　65°　.
4.三角形的外接(内切)圆与外心(内心) (1)三角形的三个　顶点　所确定的圆叫作三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三边　垂直平分线　的交点，叫作三角形的　外心　. (2)与三角形各边都　相切　的圆叫作三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条　角平分线　的交点，叫作三角形的　内心　. 4.(2024·内江)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为　2　.
典型例题 变式训练
考查点　切线的性质 1.(2024·浙江)如图，AB是☉O的直径，AC与☉O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为　40°　. 1.如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，AC与☉O交于点D.若BC＝3，AD＝，则AB的长为　4　.
考查点　切线的判定 2.如图，CD是☉O的直径，A是☉O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB，AC，AD，且∠BAC＝∠ADB. (1)求证：直线AB是☉O的切线； (2)若BC＝2OC，则tan∠ADB的值为 　. (1)证明：如图，连接OA. ∵CD是☉O的直径， ∴∠CAD＝90°. ∴∠OAC＋∠OAD＝90°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠BAC＝∠ADB， ∴∠OAD＝∠BAC. ∴∠BAC＋∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°. ∴AB⊥OA. 又OA为☉O的半径， ∴直线AB是☉O的切线. 2.(2025·山东)如图，在△OAB中，点A在☉O上，边OB交☉O于点C，AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线. (1)求证：AB为☉O的切线； (2)若☉O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长. (1)证明：∵AD⊥OB， ∴∠DAC＋∠ACD＝90°. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC是∠BAD的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC. ∴∠BAC＋∠OAC＝∠DAC＋∠OCA＝90°. ∴AB⊥OA. 又OA为☉O的半径，∴AB为☉O的切线. (2)解：∵∠AOB＝45°，AB⊥OA， ∴△OAB为等腰直角三角形. ∵☉O的半径为2， ∴OA＝OC＝2.∴OB＝. ∴CB＝OB－OC＝2－2.
证明切线的常用方法
1.已知直线过半径外端，证直角；
2.已知直线与圆有公共点，连半径，证直角；
3.直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径.
答题规范
示例：(RJ九上P102第12题) (6分)如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB. 证明：如图，连接OC. ∵CD为☉O的切线， ∴OC⊥CD.　1分 又AD⊥CD， ∴AD∥OC.　2分 ∴∠DAC＝∠ACO.　3分 ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO.　4分 ∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.　6分
1.(2024·福建)如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于(A)
A.18° B.30°
C.36° D.72°
2.(2025·湖南)如图，△ABC的顶点A，C在☉O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与☉O相切于点C，连接OC.
(1)求∠ACO的度数；
(2)求证：AC＝BC.
(1)解：∵BC与☉O相切于点C，
∴OC⊥BC.∴∠OCB＝90°.
∵∠ACB＝120°，∴∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝120°－90°＝30°.
(2)证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝30°.
∵∠ACB＝120°，
∴∠B＝30°.∴∠A＝∠B.∴AC＝BC.
3.(2025·烟台)如图，△ABC内接于☉O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD.
(1)求证：AD是☉O的切线；
(2)当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及☉O的半径.
(1)证明：如图，连接AO并延长交☉O于点E，连接BE.
∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAD.∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D.
又∠ABC＝2∠C，∴∠D＝∠C.∴∠BAD＝∠C.
∵，∴∠C＝∠E.∴∠BAD＝∠E.
∵AE是☉O的直径，
∴∠ABE＝90°，即∠BAE＋∠E＝90°.∴∠BAD＋∠BAE＝90°，即AD⊥AE.
又AE是☉O的直径，∴AD是☉O的切线.
(2)解：∵∠D＝∠D，∠DAB＝∠C，∴△DAB∽△DCA.∴.
∵∠D＝∠C，∴AD＝AC＝8.
又DB＝AB＝5，∴.解得BC＝.
如图，过点A作AF⊥DC于点F.
∵AD＝AC，
∴DF＝CF＝(DB＋BC)＝.∴sin D＝.
又∠E＝∠D，∴AE＝.∴☉O的半径为.
【推理能力】(2024·凉山州)如图，☉M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为　2　.
第24讲　与圆有关的计算、证明
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.会计算圆的弧长、扇形的面积. 2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
扇形弧长、面积的计算 T13/ 4分 T15/ 3分 — — T9/ 3分
与圆锥有关的计算 — — — T21/ 7分 —
正多边形和圆 — — — — —
考情解读：与圆有关的计算是近五年广东中考的常考内容，主要是求扇形的弧长和面积，要求学生准确记忆公式，灵活运用.
知识点 对点训练
1.弧长的计算 弧长公式：l＝(n是圆心角度数，R是扇形所对应的圆的半径，l是扇形弧长). 1.(2025·绥化)在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是(A) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
2.扇形面积的计算(5年3考) 扇形面积公式：S＝lR(n是圆心角度数，R是扇形所对应的圆的半径，l是扇形弧长，S是扇形面积). 2.(2024·深圳)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，O为BC的中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为　4π　.
3.与圆锥有关的计算(5年1考) 已知圆锥的底面圆的半径为r，母线长为R，将圆锥的侧面展开得到一个扇形，该扇形的圆心角的度数为n°，那么 ①圆锥底面圆的周长＝侧面展开扇形的弧长，即l＝2πr＝ πR　； ②圆锥的侧面积＝侧面展开扇形的面积，即S＝ lR　＝ πR2　. 3.(1)已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则该圆锥的侧面积是　36π　. (2)(2025·齐齐哈尔)若圆锥的底面半径为40 cm，母线长为90 cm，则其侧面展开图的圆心角为　160　度.
4.有关圆内接正多边形的计算 (1)圆内接正n边形中心角等于. (2)圆内接正n边形中边长、边心距的计算要用到半径、中心角等条件及三角函数、勾股定理、垂径定理等知识. 4.(2025·宿迁)如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接AC，则∠ACD的度数为　72°　.
典型例题 变式训练
考查点　与圆有关的计算 1.(2025·资阳)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是　4　. 1.(2025·成都)如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　.
2.(2024·临夏州)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM长为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则　(结果保留π). 2.(2024·宿迁)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的　.
1.计算扇形面积时，圆心角、半径、弧长、面积这四个相关元素是“知二求二”的.
2.计算面积的主要方法有公式法、和差法、等积转化法和容斥原理法等.
答题规范
示例：(RJ九上P112例2) (9分)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 解：如图，连接OA，OB，过点O作OD⊥AB，垂足为D，交于点C，连接AC. ∵OC＝0.6 m，DC＝0.3 m， ∴OD＝OC－DC＝0.3(m). ∴OD＝DC.　2分 又AD⊥OC，∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC＝AO＝OC. ∴△AOC是等边三角形.　4分 ∴∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.　6分 ∴有水部分的面积S＝×0.3≈0.22(m2).　9分
1.(2025·珠海三模)如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4 cm，那么这个扇形的面积为(D)
A.π cm2 B. cm2
cm2 π cm2
2.(2025·常州)如图，☉O的半径为2，直径AB，CD互相垂直，则的长是(C)
A.
C.π D.2π
3.(2024·遂宁)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图，排污管道的横截面是直径为2 m 的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 m，则淤泥横截面的面积为(A)
A.
4.(2025·潍坊)如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为　8π　.
5.(2025·南通)如图，PA与☉O相切于点A，AC为☉O的直径，点B在☉O上，连接PB，PC，且PA＝PB.
(1)连接OB，求证：OB⊥PB；
(2)若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积.
(1)证明：如图，连接OB，连接OP.
∵PA与☉O相切，∴OA⊥PA.∴∠OAP＝90°.
在△AOP和△BOP中，
∴△AOP≌△BOP(SSS).∴∠OBP＝∠OAP＝90°.∴OB⊥PB.
(2)解：如图，连接BC.
∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°.∴∠COB＝60°.
∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形.∴∠OCB＝60°.
由(1)可知∠AOP＝∠BOP＝60°.
∴∠AOP＝∠OCB，OA＝＝2.
∴OP∥BC.∴S△PCB＝S△OCB.
∴S阴影＝S扇形BOC＝.
【推理能力、运算能力】(2025·湛江三模)如图，在正方形ABCD中，先以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以CD为直径作半圆O，交前弧于点E，连接CE，DE.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为 π－20　.第六章　圆
第22讲　与圆有关的概念及性质
知识点 对点训练
1.与圆有关的概念及其性质 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫作弧，大于半圆的弧叫作 ，小于半圆的弧叫作 . (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作 . (3)圆心角：顶点在 的角叫作圆心角. (4)圆周角：顶点在 ，并且角的两边都与圆相交，这样的角叫作圆周角. (5)弧、弦、圆心角的关系 ①在同圆或等圆中，相等的 所对的弧相等，所对的弦相等. ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等. 1.(1)如图，若点O为☉O的圆心，则线段 是☉O的半径；线段 是☉O的弦，其中最长的弦是 ； 是劣弧. (2)如图，AB为半圆O的直径，点C，D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是( ) A.25° B.30° C.50° D.60°
2.圆周角定理及其推论(5年3考) 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 . 推论2：直径所对的 是直角， 的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆内接四边形定理： . 2.(1)(2025·青海)如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是( ) A.80° B.50° C.40° D.25° (2)(2025·长沙)如图，AC，BC为☉O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为( ) A.40° B.45° C.50° D.55°
3.垂径定理 (1)垂直于弦的 平分弦，并且平分弦所对的两条 . (2)垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且 弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径 弦，并且 弦所对的另一条弧. 3.(1)(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为( ) A.4 B.4 (2)(2024·赤峰)如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是( ) A.61° B.63° C.65° D.67°
典型例题 变式训练
考查点　圆周角定理及其推论 1.(2025·常州)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦.若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ . 1.(2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AB是☉O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为( ) A.100° B.110° C.120° D.130°
2.(2024·眉山)如图，△ABC内接于☉O，点O在AB上，AD平分∠BAC交☉O于点D，连接BD.若AB＝10，BD＝2，则BC的长为 . 2.(2025·广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，. (1)求证：△BOC≌△DOC； (2)求∠ABD的度数.
有关圆周角定理及其推论的常见辅助线作法
1.构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角；
2.连接半径构造等腰三角形或等边三角形；
3.当题目中有直径时，构造直径所对的圆周角；
4.在圆中求锐角的三角函数值时，通常利用圆周角定理，将所求角转化为直角三角形中的角或圆心角.
答题规范
示例：(RJ九上P87例4) (9分)如图，☉O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交☉O于点D，求BC，AD，BD的长.
1.(2025·重庆)如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是( )
A.40° B.50°
C.80° D.100°
2.(2025·山西)如图，AB为☉O的直径，点C，D是☉O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
3.(2025·内江)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5，则DC的长是 .
4.(2024·包头)如图，AB是☉O的直径，BC，BD是☉O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE＞BE)，连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE.
(1)如图①，若BE＝1，CE＝，求☉O的半径；
(2)如图②，若BD＝2OE，求证：BD∥OC.
【推理能力】(分类讨论思想)(2024·江西)如图，AB是☉O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F.当DE的长为正整数时，线段FB的长为 .
第23讲　与圆有关的位置关系
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.探索并掌握点与圆的位置关系. 2.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念. 3.了解三角形的内心与外心. 4.*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
点、直线与圆的 位置关系 — — — T23/ 3分 —
切线的性质 — — T22/ 4分 — T17/ 7分
切线的判定 T24/ 3分 — — T17/ 4分 —
考情解读：在广东中考试卷中，考查与圆有关的位置关系时常结合三角形、四边形、三角形的全等或相似以及三角函数等，综合性强.
知识点 对点训练
1.点与圆的位置关系(5年1考) 若☉O的半径为r，已知点P到圆心的距离OP＝d，则： ①点P在圆外 d r； ②点P在圆上 d r； ③点P在圆内 d r. 1.(2024·广州)如图，☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P.若OP＝5，则点P与☉O的位置关系是( ) A.点P在☉O上 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外 D.无法确定
2.直线与圆的位置关系 (1)定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆 ；直线和圆只有一个公共点，直线和圆 ；直线和圆有两个公共点，直线和圆 . (2)等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则： ①直线和圆相离 d r； ②直线和圆相切 d r； ③直线和圆相交 d r. 2.(2025·广州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4.若☉D是以点D为圆心，1.4为半径的圆，则☉D与直线AC的关系是( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定
3.切线的性质与判定(5年4考) (1)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)切线的判定： ①圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； ②与圆只有一个交点的直线是圆的切线； ③过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 3.(1)(2025·青岛)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与☉O相切于点A.若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为( ) A.52° B.54° C.64° D.74° (2)(2025·佛山模拟改编)如图，AB是☉O的弦，C为过点B的切线上一点，且BC＝AC，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且AD＝BE，AF＝BD，连接EF.若∠C＝50°，则∠EDF的度数为 .
4.三角形的外接(内切)圆与外心(内心) (1)三角形的三个 所确定的圆叫作三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三边 的交点，叫作三角形的 . (2)与三角形各边都 的圆叫作三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫作三角形的 . 4.(2024·内江)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为 .
典型例题 变式训练
考查点　切线的性质 1.(2024·浙江)如图，AB是☉O的直径，AC与☉O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 . 1.如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，AC与☉O交于点D.若BC＝3，AD＝，则AB的长为 .
考查点　切线的判定 2.如图，CD是☉O的直径，A是☉O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB，AC，AD，且∠BAC＝∠ADB. (1)求证：直线AB是☉O的切线； (2)若BC＝2OC，则tan∠ADB的值为 . 2.(2025·山东)如图，在△OAB中，点A在☉O上，边OB交☉O于点C，AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线. (1)求证：AB为☉O的切线； (2)若☉O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长.
证明切线的常用方法
1.已知直线过半径外端，证直角；
2.已知直线与圆有公共点，连半径，证直角；
3.直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径.
答题规范
示例：(RJ九上P102第12题) (6分)如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
1.(2024·福建)如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于( )
A.18° B.30°
C.36° D.72°
2.(2025·湖南)如图，△ABC的顶点A，C在☉O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与☉O相切于点C，连接OC.
(1)求∠ACO的度数；
(2)求证：AC＝BC.
3.(2025·烟台)如图，△ABC内接于☉O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD.
(1)求证：AD是☉O的切线；
(2)当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及☉O的半径.
【推理能力】(2024·凉山州)如图，☉M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 .
第24讲　与圆有关的计算、证明
课标要求 近五年广东省中考省卷考情
1.会计算圆的弧长、扇形的面积. 2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 考点 2021 2022 2023 2024 2025
扇形弧长、面积的计算 T13/ 4分 T15/ 3分 — — T9/ 3分
与圆锥有关的计算 — — — T21/ 7分 —
正多边形和圆 — — — — —
考情解读：与圆有关的计算是近五年广东中考的常考内容，主要是求扇形的弧长和面积，要求学生准确记忆公式，灵活运用.
知识点 对点训练
1.弧长的计算 弧长公式：l＝(n是圆心角度数，R是扇形所对应的圆的半径，l是扇形弧长). 1.(2025·绥化)在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是( ) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
2.扇形面积的计算(5年3考) 扇形面积公式：S＝lR(n是圆心角度数，R是扇形所对应的圆的半径，l是扇形弧长，S是扇形面积). 2.(2024·深圳)如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，O为BC的中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 .
3.与圆锥有关的计算(5年1考) 已知圆锥的底面圆的半径为r，母线长为R，将圆锥的侧面展开得到一个扇形，该扇形的圆心角的度数为n°，那么 ①圆锥底面圆的周长＝侧面展开扇形的弧长，即l＝2πr＝ ； ②圆锥的侧面积＝侧面展开扇形的面积，即S＝ ＝ . 3.(1)已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则该圆锥的侧面积是 . (2)(2025·齐齐哈尔)若圆锥的底面半径为40 cm，母线长为90 cm，则其侧面展开图的圆心角为 度.
4.有关圆内接正多边形的计算 (1)圆内接正n边形中心角等于. (2)圆内接正n边形中边长、边心距的计算要用到半径、中心角等条件及三角函数、勾股定理、垂径定理等知识. 4.(2025·宿迁)如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接AC，则∠ACD的度数为 .
典型例题 变式训练
考查点　与圆有关的计算 1.(2025·资阳)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 . 1.(2025·成都)如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 .
2.(2024·临夏州)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM长为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则 (结果保留π). 2.(2024·宿迁)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的 .
1.计算扇形面积时，圆心角、半径、弧长、面积这四个相关元素是“知二求二”的.
2.计算面积的主要方法有公式法、和差法、等积转化法和容斥原理法等.
答题规范
示例：(RJ九上P112例2) (9分)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位).
1.(2025·珠海三模)如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4 cm，那么这个扇形的面积为( )
A.π cm2 B. cm2
cm2 π cm2
2.(2025·常州)如图，☉O的半径为2，直径AB，CD互相垂直，则的长是( )
A.
C.π D.2π
3.(2024·遂宁)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图，排污管道的横截面是直径为2 m 的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 m，则淤泥横截面的面积为( )
A.
4.(2025·潍坊)如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 .
5.(2025·南通)如图，PA与☉O相切于点A，AC为☉O的直径，点B在☉O上，连接PB，PC，且PA＝PB.
(1)连接OB，求证：OB⊥PB；
(2)若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积.
【推理能力、运算能力】(2025·湛江三模)如图，在正方形ABCD中，先以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以CD为直径作半圆O，交前弧于点E，连接CE，DE.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为 .

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