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专题五　几何综合
第39讲　全等证明
1.熟悉并灵活运用三角形全等基本模型.
2.通过在复杂图形中识别模型、图形变换、变式类比等方法提高综合题的解题能力.
1.【公共角模型】如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE＝BD.若∠CBD＝20°，则∠A的度数为(B) A.20°　　　B.40°　　　C.60°　　　D.70° 2.【公共边模型】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为(C) A.21　　B.24　　C.27　　D.30 3.【截长补短】如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线，在AB上截取AE＝AC，连接DE.请写出线段AB，AC，CD之间的数量关系并说明理由. 解：AB＝AC＋CD.理由如下： ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD. 在△EAD和△CAD中， ∴△EAD≌△CAD(SAS). ∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°.∴∠BED＝90°. ∵∠ACB＝2∠B＝90°， ∴∠B＝45°.∴∠EDB＝∠B＝45°.∴ED＝EB. ∴EB＝CD.∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD. 4.【一线三直角模型】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”.接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图②，将一块等腰直角三角板ACB放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(－1，0)，则点B的坐标为　(－3，1)　； (2)如图③，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为(0，－1)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为　(－1，1)　； (3)如图④，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴的正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，a，m，n之间的数量关系为　a＋m＋n＝0　.
典型考题 变式训练
如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，点O是AD的中点，OE⊥BC于点E，CO平分∠BCD. (1)求证：AB＝EB； 证明：∵AB∥CD，∠DAB＝90°，OE⊥BC， ∴∠ADC＝∠BEO＝∠CEO＝90°. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. ∵CO平分∠BCD，∴∠ECO＝∠DCO. 又∠CEO＝∠CDO＝90°，CO＝CO， ∴△OCE≌△OCD(AAS).∴OE＝OD＝OA. 又∠A＝∠BEO＝90°，OB＝OB， ∴△OAB≌△OEB(HL).∴AB＝EB. (2)如图②，以AD为直径画☉O，求证：直线BC与☉O相切； 图② 证明：由(1)，易得OE＝OD＝OA＝AD. ∵OE⊥CB， ∴直线BC与☉O相切. (3)若AD＝DC＝1，求BE的长； 解：由(1)，易得∠AOB＝∠BOE，∠COD＝∠COE，∠ODC＝90°，且∠AOB＋∠BOE＋∠COD＋∠COE＝180°， ∴∠AOB＋∠COD＝90°. ∵∠DCO＋∠COD＝90°， ∴∠AOB＝∠DCO. 又∠BAO＝∠ODC＝90°， ∴△ABO∽△DOC.∴. ∵AD＝DC＝1，∴AO＝DO＝. ∴. (4)如图③，四边形ADCG是边长为1的正方形，求tan∠BCG的值； 图③ 解：由(3)，得AB＝， ∴BG＝AG－AB＝1－. ∴tan∠BCG＝. (5)如图④，以AD为直径画圆，设点P为优弧上一点，若 AB＝1，DC＝2，求tan∠APE的值. 图④ 解：如图④，连接OE，OB. 由(1)，可知△ABO≌△EBO， △DCO≌△ECO， ∴BE＝AB＝1，CE＝CD＝2， ∠BOE＝∠AOB＝∠AOE， ∠COE＝∠COD. 又∠BOE＋∠AOB＋∠COE＋∠COD＝180°， ∴∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝90°. ∵OE⊥BC， ∴∠BEO＝∠OEC＝90°. ∴∠OCE＋∠COE＝90°. ∴∠BOE＝∠OCE. ∴△BEO∽△OEC. ∴，即.解得OE＝. ∴tan∠BOE＝. 由圆周角定理，可得∠APE＝∠AOE＝∠BOE. ∴tan∠APE＝tan∠BOE＝. 如图①，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P.连接DP并延长交AB于点E. (1)求证：DE为半圆O的切线； 图① 证明：连接OP，OD，如图①. ∵BC是☉O的直径， ∴OP＝OC. ∵以点D为圆心、DA为半径做圆弧， ∴PD＝CD. 又OD＝OD， ∴△ODP≌△ODC(SSS). ∴∠OPD＝∠OCD＝90°. ∵P点在☉O上， ∴DE为半圆O的切线. (2)求证：BE＋CD＝ED； 证明：由(1)，可知DE为半圆O的切线. ∵EB为半圆O的切线， ∴由切线长定理，可得EP＝EB. 又DP＝DC， ∴BE＋CD＝EP＋DP＝ED. (3)求的值； 解：由(2)，可知EB＝EP. 设正方形的边长为a，EB＝EP＝x， 则AE＝a－x，DE＝a＋x. ∵AD2＋AE2＝DE2，∴a2＋(a－x)2＝(a＋x)2. 解得x＝. ∴BE＝，AE＝＝3. (4)如图②，连接AC，与DE交于点I，连接DO，与AC交于点G，若AB＝2，求IG的长. 图② 解：∵在正方形ABCD中，AB＝2， ∴AC＝2. ∵AB∥CD，由(3)，得＝3， ∴. ∴AI＝CI，即AI＝AC. ∵AD∥BC， ∴. ∴CG＝AG，即CG＝AC. ∴IG＝AC－AI－CG ＝AC－ ＝.
　　三角形的全等证明是中考的必考题型.常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长法和截长补短法，目的为构造全等三角形.
(2024·佛山二模)综合探究
几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径.解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法.
【问题情境】
分别以△ABC的两边AC和BC为边作正方形ACDE和BCFG.连接DF，探究AB与DF之间的关系.
【初步感知】
(1)如图①，若∠ACB＝90°，直接写出AB与DF之间的关系.
【深入探究】
(2)①在图②中，AB与DF之间有怎样的关系 说明理由.
②改变点B的位置，画出异于前面两种情况的图形，AB与DF之间的关系是否依然成立 说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图③，连接AF，BD，过点C作CH⊥AF，垂足为点H，CH的延长线交BD于点M.求证：BM＝DM.
(1)解：AB＝DF，AB⊥DF.
(2)解：①AB＝DF，AB⊥DF.理由如下：
延长AB交DF于点M，交CD于点N，如图②.
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝DC，
BC＝FC.∴∠ACD－∠BCD＝∠BCF－∠BCD，即∠ACB＝∠DCF.
∴△ACB≌△DCF(SAS).∴AB＝DF，∠BAC＝∠FDC.
∵∠ANC＝∠DNM，∴∠ACN＝∠DMN＝90°.∴AB⊥DF.
②改变点B的位置，AB与DF之间的关系依然成立，即 AB＝DF，AB⊥DF.理由如下：
设AB交CD于点N，交DF于点M，如图.
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝DC，BC＝FC.
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCF＋∠BCD，即∠ACB＝∠DCF.
∴△ACB≌△DCF(SAS).∴AB＝DF，∠BAC＝∠FDC.
∵∠ANC＝∠DNM，∴∠ACN＝∠DMN＝90°.∴AB⊥DF.
(3)证明：过点D作DK∥BC交CM的延长线于点K，连接BK，如图③.
∵四边形BCFG是正方形，∴∠BCM＋∠MCF＝90°.
∵CH⊥AF，∴∠AFC＋∠MCF＝90°.∴∠BCM＝∠AFC.∵DK∥BC，∴∠DKC＝∠BCM.∴∠CFA＝∠DKC.
∵四边形ACDE是正方形，CH⊥AF，
∴∠FAC＝90°－∠ACH＝∠KCD，AC＝CD.∴△FAC≌△KCD(AAS).∴CF＝DK.
∵CF＝BC，∴DK＝BC.
又DK∥BC，∴四边形BCDK是平行四边形.∴BM＝DM.
第40讲　形状判定
1.了解直角三角形、等腰三角形、等边三角形的相关性质及判定.
2.运用双垂直模型、含30°，45°直角三角形三边关系、边长含等特征，解决直角三角形问题.
3.运用分类思想、方程思想解决等腰三角形问题.
1.如图，三角形ABC是直角三角形，CD是AB边上的高. (1)图中相似的三角形有　△ABC∽△CBD，△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD　. (2)三角形对应边成比例，得 CD2＝　AD·BD　，AC2＝ AD·AB ，BC2＝　BD·AB　. (3)如图，若BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝(C) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°. (1)BC∶AC∶AB＝　1∶∶2　； (2)CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为　6　. 3.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝　45°　. 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是(C) A.△ABE的面积＝△BCE的面积 B.∠AFG＝∠AGF C.BH＝CH D.∠FAG＝2∠ACF 5.如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，P为△ABC内任一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，PE＋PF＋PD的值是(D) 　 6.如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D.若EF＝1，则DF的长为(C) A.2　　　B.2.5　　　C.3　　　D.3.5
典型考题 变式训练
如图，已知等边三角形ABC的边长为3 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，沿边AB，BC向点B和点C运动，且它们的运动速度都是1 cm/s.直线AQ，CP交于点M. (1)求证：△ABQ≌△CAP； (2)在点P，Q分别在边AB，BC上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，△ACM是等腰三角形； (3)连接PQ，当点P，Q运动　1或2　s时，△PBQ是直角三角形. (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠ABQ＝∠CAP＝60°. ∵点P，Q的速度相同， ∴BQ＝AP. ∴△ABQ≌△CAP(SAS). (2)解：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP. ∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC， ∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°. ∴∠AMC＝120°. 当△ACM是等腰三角形时，有AM＝CM. ∴∠CAM＝∠ACM＝30°. ∴∠BAM＝∠CAM＝30°. 又∠B＝60°，∴∠AQB＝90°. ∴BQ＝ cm， ÷1＝(s). ∴当运动时间为 s时，△ACM是等腰三角形. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D是边AB上的动点(点D与点 A，B不重合)，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E，连接BE，点F是BE的中点，连接CD，CF，DF.点E在边AC上(点E与点C不重合). (1)设AD＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式及x的取值范围； (2)当BE平分∠ABC时，AD的长为　6－3　； (3)求证：△CDF是等边三角形. (1)解：∵∠A＝60°，DE⊥AB， ∴∠AED＝30°. ∴AE＝2AD＝2x. 又AC＝AE＋CE， 即3＝2x＋y， ∴y＝－2x＋3，x的取值范围为0＜x＜. (3)证明：由题意，得△ECB与△EDB均为直角三角形. ∵点F是BE的中点， ∴CF＝DF＝BE＝BF. ∴∠FCB＝∠CBF，∠FDB＝∠DBF. ∴∠CFE＝2∠CBF，∠DFE＝2∠DBF. ∴∠CFE＋∠DFE＝2(∠CBF＋∠DBF)，即∠CFD＝2∠CBA. ∵∠A＝60°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°.∴∠CFD＝60°. ∴△CDF是等边三角形.
　　同一个三角形中出现两个垂直条件，由余角定义推出相等的角，与相似三角形相关，对应边成比例，得出双垂直直角三角形定理，有助于求解三角形中对边的长度.
　　依据特殊角、特殊边，清晰辨认特殊边长的关系，使运算化繁为简，化简为易，巧用模型，以不变应万变.
　　遇到等腰三角形分类讨论问题，按以下步骤完成：①本题要分类讨论吗 ②分类的依据是什么 ③怎样进行分类讨论 ④归纳总结.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH.
【问题发现】
(1)如图①，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是　EH＝AD　，EH与AD的位置关系是　EH⊥AD　.
【猜想论证】
(2)如图②，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请仅就图②中的情况给出证明；若不成立，请说明理由.
【拓展应用】
(3)若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE，BE.当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积.
解：(2)结论仍然成立.证明如下：
如图②，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF.
∵DE＝EF，CE⊥DF，
∴CD＝CF.
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°.∴∠ECF＝∠ECD＝45°.
∴∠ACB＝∠DCF＝90°.
∴∠ACD＝∠BCF.
又CA＝CB，CD＝CF，
∴△ACD≌△BCF(SAS).
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°.
∵∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°.
∴BF⊥AB.
∵DE＝EF，点H为BD中点，
∴EH＝BF，EH∥BF.
∴EH⊥AD，EH＝AD.
(3)4－2或4＋2.
第41讲　相似运用
1.掌握相似三角形模型——基本型、斜交型、旋转型、一线三等角型.
2.从复杂图形中“离析”出相似三角形的基本模型解决问题.
3.通过抽象模型、图形变换、变式类比等方法提高解决综合题的能力.
1.【基本型】(2025·云南)如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC.若，则＝(A) 2.【斜交型】(2024·深圳二模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，∠CDA＝∠CAB.若BC＝4，tan B＝，则AD的长度为(C) 3.【一线三等角型】(2025·陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为(C) A.10　　　　B.8　　　　C.5　　　　D.4 4.(2025·上海)如图，在☉O中，AB和CD是弦，半径OA，OB分别交CD于点E，F，且CE＝DF. (1)求证：AB∥CD； (2)若AB＝BD，求证：AB2＝BF·OB. 证明：(1)连接OC，OD，如图. ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC. 又CE＝DF， ∴△OCE≌△ODF(SAS). ∴OE＝OF.∴.∴EF∥AB.∴CD∥AB. (2)∵△OCE≌△ODF， ∴∠COE＝∠DOF. ∵AB＝BD，∴∠AOB＝∠DOF. ∴∠AOB＝∠DOF＝∠COE. 连接AF，如图. ∵OA＝OD，∴△AOF≌△DOF(SAS). ∴∠OAF＝∠ODF＝∠OCE. ∵∠OCE＝∠OAF，∠CEO＝∠AEF， ∴△OEC∽△FEA.∴∠COE＝∠AFE. ∵CD∥AB， ∴∠AFE＝∠BAF.∴∠AOB＝∠FAB. 又∠B＝∠B， ∴△BAF∽△BOA.∴. ∴AB2＝BF·OB.
典型考题 变式训练
阅读材料：数学课上，老师出示了这样一道数学题：如图①，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠AED＝∠ABC＝α，AD＝AE，若CE＝，CD＝6，，求AB的长. 小明：经过分析发现，图形中存在与∠BAD相等的角； 小胖：根据我的解题经验，要求AB的长，可以考虑构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例解决问题； 小林：既然构造相似三角形，可以在CD上取一点F，构建“一线三等角”的图形解决问题. (1)请你完成这个题目的解答过程； 解：如图①，在CD上取点F，连接EF， 使∠DEF＝∠ADB. ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED. ∵∠AED＝∠B，∴∠ADE＝∠B. ∵∠ADF＝∠B＋∠BAD＝∠EDF＋∠ADE， ∴∠EDF＝∠BAD. ∵∠ADB＝∠DEF， ∴△ADB∽△DEF.∴，∠DFE＝∠B＝∠AED.∴AB＝DF. ∵∠DFE＝∠C＋∠CEF，∠AED＝∠C＋∠CDE，∴∠CEF＝∠CDE. 又∠C＝∠C，∴△CEF∽△CDE.∴. 又CD＝6，CE＝， ∴CF＝1.∴DF＝5. ∴AB＝DF＝4. (2)参考以上解题思路，解决下面的问题： 如图②，在△ABC中，EA＝DA＝DC，AB＝AC，∠ADE＝∠DBE，求的值. 解：如图②，作∠DAT＝∠BDE， 作∠RAT＝∠DAE，连接ER. ∵AB＝AC，AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC＝∠ABC. ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE. ∵∠ADE＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠AED＝∠ADE. ∵∠BDA＝∠DAT＋∠ATD＝∠BDE＋∠ADE， ∠DAT＝∠BDE， ∴∠ATD＝∠ADE＝∠DBE. ∴△DBE∽△ATD. ∴，∠ADT＝∠DEB.∴. ∵AD＝CD，∴. ∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD， ∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD.∴AR＝AT. ∵∠RAE＝∠DAT，AE＝AD， ∴△ARE≌△ATD(SAS). ∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER. ∴∠BED＝∠AER. ∴∠BER＝∠AED＝∠DBE. ∴ER＝BR＝DT. ∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC， ∴△ABR≌△ACT(AAS). ∴BR＝CT. ∴DT＝CT. ∴CD＝2DT. ∴. 【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝45°.求证：AC·BF＝AD·BD. 证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°. ∵∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°， ∴∠ACD＝∠BDF. ∴△ACD∽△BDF. ∴. ∴AC·BF＝AD·BD. 【尝试应用】(2)如图②，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°，若AC＝9，BF＝8，求线段CF的长. 解：如图②，延长AC交BF的延长线于点T. ∵∠A＝∠CDF＝∠B＝45°， ∴∠T＝90°，TA＝TB. ∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF， ∴∠ACD＝∠BDF. ∴△ACD∽△BDF. ∴. ∵AD＝BD，∴，解得AD＝6. ∴AB＝2AD＝12. ∴TA＝TB＝12. ∴CT＝12－9＝3，TF＝12－8＝4. ∴CF＝＝5. 【拓展提高】(3)如图③，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上.若 CE＝2，求CD的长. 解：如图③，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，则∠B＝∠EFD. ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠ADE＝45°. ∴∠BAD＝∠EDF. ∴△ABD∽△DFE. ∴. ∵DE＝AD，AB＝4， ∴DF＝AB＝8. ∵∠EFD＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠EFC＝∠DEC＝135°. 又∠C＝∠C， ∴△EFC∽△DEC. ∴. ∵EC＝2， ∴EC2＝FC·CD＝FC×(8＋FC)＝20. 解得FC＝2或FC＝－10(舍去). ∴CD＝DF＋FC＝10.
　　基本型与斜交型均有一个公共角，确定公共角后准确找到另一组相等的角即可“离析”出相似三角形，结合方程思维解决问题.
　　在一条直线上出现三个相等的角，则会存在相似三角形，即“一线三等角”.
　　判定三角形相似有三个定理，使用最多的是找两对对应角相等，特别是相似的直角三角形，固定直角后，寻找另一组相等的角即可.
如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于点F，交AC于点H，交CD于点G.
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：GD·AB＝DF·BG；
(3)若点G是DC中点，求的值.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°.
∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°.∴∠GCB＝∠GFD.
又∠BGC＝∠DGF，∴△BGC∽△DGF.
(2)证明：∵△BGC∽△DGF，
∴.∴DG·BC＝DF·BG.
∵在正方形ABCD中，AB＝BC，
∴DG·AB＝DF·BG.
(3)解：∵△BGC∽△DGF，
∴∠FDG＝∠CBG.
在△BGC和△DEC中，
∴△BGC≌△DEC(ASA).∴CG＝CE.
∵G是CD中点，
∴CG＝DG.∴CE＝DG.∴.
∵△DGF∽△BGC，∴，即.
在Rt△BGC中，设CG＝x，则BC＝2x，BG＝x.
∴.
第42讲　解直角三角形
1.熟练掌握直角三角形相关性质，灵活运用基本方法解直角三角形.
2.在复杂图形中分析直角三角形的边角关系，综合运用直角三角形的边角关系相关知识解决实际问题.
1.(2025·深圳)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10 m，斜道AC长为30 m，则sin A的值为(D) 　 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到点D，使CD＝AC，则 tan 22.5°＝(D) 　 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于(B) 　 4.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于(D) 5.(2024·佛山二模)人字梯主要用于登高作业.如图是人字梯完全打开后的实物图及示意图，其中点B，C为梯子的着地点，AB＝AC，上部夹角∠BAC＝42°，点D是人字梯最高级踏板与AC的交点，CD＝110 cm，求点D到地面的距离.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 42°≈0.669，cos 42°≈0.743，sin 21°≈0.358，cos 21°≈0.934) 解：如图，连接BC，过点D作DE⊥BC，垂足为E. ∴∠DEC＝90°. ∵AB＝AC，∠BAC＝42°， ∴∠B＝∠C＝＝69°. ∴∠EDC＝90°－∠C＝21°. 在Rt△DEC中，CD＝110 cm， ∴DE＝CD·cos 21°≈110×0.934≈102.7(cm). ∴点D到地面的距离约为102.7 cm.
典型考题 变式训练
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使 CE＝AB. (1)求证：△ABD的周长等于线段AE的长； (2)若AD＝BD，设AD＝x，用含x的式子表示AB，求tan∠ABC的值； (3)若AD＝BD，设AD＝x，用含x的式子表示AB，求tan∠ACB，sin∠ACB的值. (1)证明：∵DF垂直平分BC， ∴DB＝DC. ∵C△ABD＝AB＋AD＋BD，CE＝AB， ∴C△ABD＝AD＋DC＋CE＝AE， 即△ABD的周长等于线段AE的长. (2)解：∵AD＝x，且AD＝BD，∴BD＝3x. 在Rt△ABD中，AB＝x. tan∠ABC＝. (3)解：∵AD＝BD，∴∠ABD＝30°. ∴BD＝2x，AB＝x. ∴tan∠ACB＝， sin∠ACB＝. 　　　　　　　　　　　　 　　　　　 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE. (1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数； (2)如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tan B的值. 解：(1)∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB. ∴∠EAB＝∠B＝25°. ∴∠CAE＝180°－∠C－∠EAB－∠B＝40°. (2)∵∠C＝90°， ∴sin∠CAE＝. ∵CE＝2，∴AE＝3.∴AC＝. ∵EB＝AE＝3，∴BC＝5. ∴tan B＝.
　　解直角三角形是数学中很重要的一节内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用，比如在测量、建筑、航海等方面.用解直角三角形的有关知识解决实际问题的关键是借助图形，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，把数和形结合起来，最终将实际问题转化为解直角三角形的问题.
如图①，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离(图①).为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图②，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
解：如图②，过点A作AF⊥MN，垂足为F.
设BF＝x cm.
∵BC＝9 cm，∴CF＝BC＋BF＝(x＋9)cm.
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF·tan 35°≈0.7x cm.
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF·tan 22°≈0.4(x＋9)cm.∴0.7x＝0.4(x＋9).
解得x＝12.
∴AF＝0.7x＝8.4 cm.
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4 cm.专题五　几何综合
第39讲　全等证明
1.熟悉并灵活运用三角形全等基本模型.
2.通过在复杂图形中识别模型、图形变换、变式类比等方法提高综合题的解题能力.
1.【公共角模型】如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE＝BD.若∠CBD＝20°，则∠A的度数为( ) A.20°　　　B.40°　　　C.60°　　　D.70° 2.【公共边模型】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为( ) A.21　　B.24　　C.27　　D.30 3.【截长补短】如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线，在AB上截取AE＝AC，连接DE.请写出线段AB，AC，CD之间的数量关系并说明理由. 4.【一线三直角模型】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”.接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图②，将一块等腰直角三角板ACB放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(－1，0)，则点B的坐标为 ； (2)如图③，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为(0，－1)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为 ； (3)如图④，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴的正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，a，m，n之间的数量关系为 .
典型考题 变式训练
如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，点O是AD的中点，OE⊥BC于点E，CO平分∠BCD. (1)求证：AB＝EB； (2)如图②，以AD为直径画☉O，求证：直线BC与☉O相切； 图② (3)若AD＝DC＝1，求BE的长； (4)如图③，四边形ADCG是边长为1的正方形，求tan∠BCG的值； 图③ (5)如图④，以AD为直径画圆，设点P为优弧上一点，若 AB＝1，DC＝2，求tan∠APE的值. 图④ 如图①，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P.连接DP并延长交AB于点E. (1)求证：DE为半圆O的切线； 图① (2)求证：BE＋CD＝ED； (3)求的值； (4)如图②，连接AC，与DE交于点I，连接DO，与AC交于点G，若AB＝2，求IG的长. 图②
　　三角形的全等证明是中考的必考题型.常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长法和截长补短法，目的为构造全等三角形.
(2024·佛山二模)综合探究
几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径.解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法.
【问题情境】
分别以△ABC的两边AC和BC为边作正方形ACDE和BCFG.连接DF，探究AB与DF之间的关系.
【初步感知】
(1)如图①，若∠ACB＝90°，直接写出AB与DF之间的关系.
【深入探究】
(2)①在图②中，AB与DF之间有怎样的关系 说明理由.
②改变点B的位置，画出异于前面两种情况的图形，AB与DF之间的关系是否依然成立 说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图③，连接AF，BD，过点C作CH⊥AF，垂足为点H，CH的延长线交BD于点M.求证：BM＝DM.
第40讲　形状判定
1.了解直角三角形、等腰三角形、等边三角形的相关性质及判定.
2.运用双垂直模型、含30°，45°直角三角形三边关系、边长含等特征，解决直角三角形问题.
3.运用分类思想、方程思想解决等腰三角形问题.
1.如图，三角形ABC是直角三角形，CD是AB边上的高. (1)图中相似的三角形有 . (2)三角形对应边成比例，得 CD2＝ ，AC2＝ ，BC2＝ . (3)如图，若BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝( ) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°. (1)BC∶AC∶AB＝ ； (2)CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为 . 3.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝ . 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是( ) A.△ABE的面积＝△BCE的面积 B.∠AFG＝∠AGF C.BH＝CH D.∠FAG＝2∠ACF 5.如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，P为△ABC内任一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，PE＋PF＋PD的值是( ) 　 6.如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D.若EF＝1，则DF的长为( ) A.2　　　B.2.5　　　C.3　　　D.3.5
典型考题 变式训练
如图，已知等边三角形ABC的边长为3 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，沿边AB，BC向点B和点C运动，且它们的运动速度都是1 cm/s.直线AQ，CP交于点M. (1)求证：△ABQ≌△CAP； (2)在点P，Q分别在边AB，BC上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，△ACM是等腰三角形； (3)连接PQ，当点P，Q运动 s时，△PBQ是直角三角形. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D是边AB上的动点(点D与点 A，B不重合)，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E，连接BE，点F是BE的中点，连接CD，CF，DF.点E在边AC上(点E与点C不重合). (1)设AD＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式及x的取值范围； (2)当BE平分∠ABC时，AD的长为 ； (3)求证：△CDF是等边三角形.
　　同一个三角形中出现两个垂直条件，由余角定义推出相等的角，与相似三角形相关，对应边成比例，得出双垂直直角三角形定理，有助于求解三角形中对边的长度.
　　依据特殊角、特殊边，清晰辨认特殊边长的关系，使运算化繁为简，化简为易，巧用模型，以不变应万变.
　　遇到等腰三角形分类讨论问题，按以下步骤完成：①本题要分类讨论吗 ②分类的依据是什么 ③怎样进行分类讨论 ④归纳总结.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH.
【问题发现】
(1)如图①，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 ，EH与AD的位置关系是 .
【猜想论证】
(2)如图②，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请仅就图②中的情况给出证明；若不成立，请说明理由.
【拓展应用】
(3)若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE，BE.当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积.
第41讲　相似运用
1.掌握相似三角形模型——基本型、斜交型、旋转型、一线三等角型.
2.从复杂图形中“离析”出相似三角形的基本模型解决问题.
3.通过抽象模型、图形变换、变式类比等方法提高解决综合题的能力.
1.【基本型】(2025·云南)如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC.若，则＝( ) 2.【斜交型】(2024·深圳二模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，∠CDA＝∠CAB.若BC＝4，tan B＝，则AD的长度为( ) 3.【一线三等角型】(2025·陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为( ) A.10　　　　B.8　　　　C.5　　　　D.4 4.(2025·上海)如图，在☉O中，AB和CD是弦，半径OA，OB分别交CD于点E，F，且CE＝DF. (1)求证：AB∥CD； (2)若AB＝BD，求证：AB2＝BF·OB.
典型考题 变式训练
阅读材料：数学课上，老师出示了这样一道数学题：如图①，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠AED＝∠ABC＝α，AD＝AE，若CE＝，CD＝6，，求AB的长. 小明：经过分析发现，图形中存在与∠BAD相等的角； 小胖：根据我的解题经验，要求AB的长，可以考虑构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例解决问题； 小林：既然构造相似三角形，可以在CD上取一点F，构建“一线三等角”的图形解决问题. (1)请你完成这个题目的解答过程； (2)参考以上解题思路，解决下面的问题： 如图②，在△ABC中，EA＝DA＝DC，AB＝AC，∠ADE＝∠DBE，求的值. 【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝45°.求证：AC·BF＝AD·BD. 【尝试应用】(2)如图②，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°，若AC＝9，BF＝8，求线段CF的长. 【拓展提高】(3)如图③，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上.若 CE＝2，求CD的长.
　　基本型与斜交型均有一个公共角，确定公共角后准确找到另一组相等的角即可“离析”出相似三角形，结合方程思维解决问题.
　　在一条直线上出现三个相等的角，则会存在相似三角形，即“一线三等角”.
　　判定三角形相似有三个定理，使用最多的是找两对对应角相等，特别是相似的直角三角形，固定直角后，寻找另一组相等的角即可.
如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于点F，交AC于点H，交CD于点G.
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：GD·AB＝DF·BG；
(3)若点G是DC中点，求的值.
第42讲　解直角三角形
1.熟练掌握直角三角形相关性质，灵活运用基本方法解直角三角形.
2.在复杂图形中分析直角三角形的边角关系，综合运用直角三角形的边角关系相关知识解决实际问题.
1.(2025·深圳)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10 m，斜道AC长为30 m，则sin A的值为( ) 　 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到点D，使CD＝AC，则 tan 22.5°＝( ) 　 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于( ) 　 4.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于( ) 5.(2024·佛山二模)人字梯主要用于登高作业.如图是人字梯完全打开后的实物图及示意图，其中点B，C为梯子的着地点，AB＝AC，上部夹角∠BAC＝42°，点D是人字梯最高级踏板与AC的交点，CD＝110 cm，求点D到地面的距离.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 42°≈0.669，cos 42°≈0.743，sin 21°≈0.358，cos 21°≈0.934)
典型考题 变式训练
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使 CE＝AB. (1)求证：△ABD的周长等于线段AE的长； (2)若AD＝BD，设AD＝x，用含x的式子表示AB，求tan∠ABC的值； (3)若AD＝BD，设AD＝x，用含x的式子表示AB，求tan∠ACB，sin∠ACB的值. 　　　　　　　　　　　　 　　　　　 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE. (1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数； (2)如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tan B的值.
　　解直角三角形是数学中很重要的一节内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用，比如在测量、建筑、航海等方面.用解直角三角形的有关知识解决实际问题的关键是借助图形，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，把数和形结合起来，最终将实际问题转化为解直角三角形的问题.
如图①，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离(图①).为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图②，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN
测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)

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