资源简介

课题名称 勾股定理的应用--立体图形中的最短路径问题 教师姓名
教学对象 初二 科 目 数学
课标要求 1、在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念；2、在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力；3、经历从不同角度分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性；
“三维”分析 教材 分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁．。
学情 分析 学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初一下学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解，在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理的内容并能运用它们解决一些数学问题，同时也已具备有一定的合作交流意识和能力。但探究问题的能力有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，还不能抽象出相应的数学模型，自主学习能力尚有待加强。
教学策略教学方法选择 在新课标提出的“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的同时，在思维能力情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念下，本节课尽量给学生创设丰富的实际问题情境，使教学活动充满趣味性和吸引力，让他们在自主探究，合作交流中分析问题，建立数学模型，利用勾股定理解决问题。在教学过程中，采用一题多变的形式拓宽学生视野，训练学生思维的灵活性，渗透化归的思想以及分类讨论思想，方程思想等，使学生在获得知识的同时提高能力。在教学设计中，尽量考虑到不同层次水平的学生的需要，注意知识由易到难，在课堂上，要照顾到接受较慢的学生，使不同学生有不同的收获和发展。
素养目标 数学运算 能够根据勾股定理等数学知识，对问题进行数学建模，并进行精确的数学计算，得出最短路径的长度。通过此过程，能够更深入地理解数学知识的应用，提高自身的数学运算能力。
直观想象 能够在脑海中形成清晰的图像，理解各个点之间的位置关系，以便更好地应用勾股定理等数学知识,能够培养学生的空间想象能力，提高其直观想象的素养。
数学建模 能够将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，以便使用数学方法解决实际问题。
数据分析 能够对题目中提供的数据进行分析和处理，以便更好地应用勾股定理等数学知识。
教学 重点 探索、发现立体图形展开成平面图形的各种途径，利用勾股定理求最短路径问题。
教学 难点 把实际问题化归成勾股定理的几何模型，即利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题．
教 学 过 程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新课引入新课讲授 新课讲授课后检测 创设情景：从前有一只叫小黑的蚂蚁，有一天，妈妈不在家，小黑当家喽！妈妈出门前，给小黑准备了好吃的食物，可是放在了不同的地方，而且要求要沿着最短的路线走吃到这些食物。聪明的小黑能找到这些食物吗？。。。。。。。。探究一：食物放在妈妈房间，从小黑房间到妈妈房间怎样走最近？为什么呢？ 探究一：圆柱体表面的最短路径如图一圆柱体底面周长为32cm,高为12cm,BC是上底面的直径。一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面爬行到B点，试求出蚂蚁爬行的最短路线长。学生探究讨论，引导得出四种方案：变式：有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）探究二：正方形表面的最短路径如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 ．总结： 对于正方体展开任意两个面连接起点和终点线段即最短的路线大小相等。变式：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从棱的中点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 ．探究三：长方体表面的最短路径如图，长方体长、宽、高分别为6cm、4cm 、3cm．一只蚂蚁从顶点A出发沿表面爬到顶点B．求蚂蚁经过的最短路程．小结：解决路径最短问题的依据是 ．也就是将曲面或多面体展成一个 面，然后连接需求最短路径的两点，构造 三角形，用勾股定理的数学模型去解决．（化曲为平）解决最短路径问题四部曲 1 ．展（立体展平面） 2 ．找（找各种路径） 3 ．算（算各种路径的长度） 4 ．比（比较各种路径的长度） 探究四：台阶中中的最短路径如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 cm．课后检测:1.如图，在一个长为2m，宽为1m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路径是 m．2．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm，8cm，30cm．（1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，最短路程是多少？（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少 3.拓展提高：与物体表面和内部相关的最短路径如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是 学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识．【启发】怎样确定平面上两点间的最短距离？立体图形表面的最短距离问题如何解决？【探究】分析题意，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，讨论并汇总方案，最后计算出最短路线长。【建构】研究“蚂蚁怎么走最近”即研究两点连线最短问题，体会利用数学解决实际问题的方法【应用】【启发】正方体由几个面组成？这些面有什么关系？正方体怎么展开？至少需要展开几个面？【探究】如何将立体图形转化为平面图形，会有哪几种情况？【应用】【探究】长方体与正方体有何区别？为什么长方体有六种展开方式？为什么排除后只有三种？【建构】总结解决立体图形上的两点之间最短路径问题的方法和基本步骤。【应用】【评价】 创设情景引入新课，从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，激发学生探究热情．复习巩固通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，分析能力，发展空间观念． 在圆柱体的基础上提升难度，变为正方体，再变为长方体，引导学生由浅入深，认识到要解决立体图形上的最短路径问题一定要将其展开．渗透分类讨论思想．再次渗透将立体图形转化为平面图形来解决问题的思路，构建直角三角形利用勾股定理解决此问题，让学生学会分析问题，发展空间观念．总结这类问题的思路，形成方法和操作步骤提高学生应用知识的能力和应变能力，给更多学生展示时机，让学生充分获得成功的喜悦感。通过配套练习加深学生对本节课所学知识的印象和理解，并根据学生的做题情况，对学生的掌握情况进行评价。
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