资源简介

21.2.3　三角形的中位线
素养目标
1.理解三角形中位线的定义，知道它与三角形中线的区别.
2.掌握三角形中位线定理的证明及其简单应用.
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力.
教学重难点
重点：掌握和运用三角形中位线的性质.
难点：三角形中位线定理的证明（辅助线的添加方法）.
教学过程
新课导入
为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB，AC的中点D，E.若能测量出DE的长，就能求出池塘的宽BC的长.你知道这是为什么吗？
探究新知
探究点　三角形的中位线
类型一　利用中位线求线段的长
【例1】如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F.若AB＝8，BC＝6，则EF的长为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】∵在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AB＝8，∴DE∥AB，且DE＝AB＝4，∴∠ABF＝∠DFB.又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠FBD＝∠BFD，∴FD＝BD＝BC＝×6＝3，∴EF＝DE－FD＝4－3＝1.
【答案】A
【方法总结】当题目中出现中点，特别是三角形两边的中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.首先证明它是三角形的中位线，然后利用中位线构造线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段的长.
类型二　利用中位线证明线段之间的关系
【例2】如图所示，已知E为 ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝CD，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证：
（1）△ABF≌△ECF.
（2）AB＝2OF.
【解析】（1）由AB∥CD可以得到∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF，再利用CE＝CD即可证明△ABF≌△ECF；（2）根据（1）中的结论可知BF＝CF，而AO＝CO，由此利用中位线定理即可证明结论.
【解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF.
又∵CE＝CD，
∴AB＝EC，
∴△ABF≌△ECF（ASA）.
（2）∵△ABF≌△ECF，
∴BF＝CF.
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB＝2OF.
【方法总结】由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题目中出现中点时，常考虑三角形的中位线定理.
类型三　中位线的实际应用
【例3】如图，A，B两地被一座小山阻隔.为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，测得DE的长度为360m，则A，B两地之间的距离是　　　　m.
【解析】首先根据D，E分别是CA，CB的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且DE＝AB，再由DE的长度为360m，即可求出A，B两地之间的距离.
【解】720
【方法总结】遇此类问题时，把实际问题转化为利用三角形的中位线定理求第三边长即可.
课堂训练
1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.已知∠ADE＝45°，则∠CFE的度数为（　　）
A.40° B.45°
C.50° D.55°
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，且∠FDA＝∠B.
（1）求证：AF＝DE.
（2）若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.
板书设计
21.2.3　三角形的中位线
1.三角形中位线的定义：
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
2.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
3.例题讲解.
课堂小结
本节课学习了三角形的中位线定理，学生学会了用三角形的中位线定理求三角形的边长或求不容易测量的池塘的宽和河流的宽等.如果已知条件中有三角形的中点，我们就可以考虑利用中位线定理求边长，并且此定理在应用上也比较方便.
教学反思
　　本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线，开展教学活动.在三角形中位线定理的探究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量，猜想出三角形中位线的性质，然后师生共同利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性，老师再引导学生尝试构造平行四边形进行证明.通过一系列教学活动，使学生体会探究数学问题的基本方法，培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生数学思维的品质.
　　答案
课堂训练
1.B
2.解：（1）证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴ED∥CA，BD＝DA.
∵∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠DAF＝90°.
又∵∠FDA＝∠B，
∴△BDE≌△DAF（ASA），
∴AF＝DE.
（2）在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝10，
∴BA＝＝8，
∴DA＝BA＝4.
易知AF＝ED＝CA＝3，
∴在Rt△DAF中，DF＝＝5.
∵ED∥AF，且ED＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF的周长为2（DF＋AF）＝2×（5＋3）＝16.

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