资源简介

21.3.1　矩形
第1课时　矩形的性质
素养目标
1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.
教学重难点
重点：矩形特殊的性质、证明与初步应用.
难点：1.矩形性质的灵活应用.
2.从矩形的性质出发研究直角三角形中的有关问题.
教学过程
新课导入
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有的性质.此外，矩形还有哪些一般平行四边形所没有的特殊性质呢？
探究新知
探究点一　矩形的定义和性质
类型一　利用矩形的性质求矩形的周长
【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝4cm.求矩形ABCD的周长.
【解析】由矩形的性质得出AB＝DC，AD＝BC，∠ABC＝90°，OA＝OB＝AC，再证得△AOB是等边三角形，得出AB＝OA＝2cm，最后由勾股定理求出BC的长即可解答.
【解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD＝BC，∠ABC＝90°，OA＝OB＝AC＝2cm.
∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm.
在Rt△ABC中，BC＝＝＝2（cm），
∴矩形ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝（4＋4）cm.
【方法总结】因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的两条对角线会将矩形分成四个等腰三角形，再由特殊角和勾股定理可得到相关的边长，据此即可求解.
类型二　利用矩形的性质求角的度数
【例2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE＝3∠BAE，求∠OAE与∠DAO的度数.
【解析】根据矩形的性质得出OA＝OB，∠BAD＝90°，再由∠DAE＝3∠BAE可求出∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°，进而可推出∠OAE和∠DAO的度数.
【解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB.
∵∠DAE＝3∠BAE，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，
∴∠ABO＝90°－22.5°＝67.5°.
又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝67.5°，
∴∠OAE＝67.5°－22.5°＝45°，
∴∠DAO＝∠DAE－∠OAE＝67.5°－45°＝22.5°.
【方法总结】矩形的一条对角线把矩形分成了两个直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成了四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常通过转化为直角三角形或等腰三角形来解决.
探究点二　直角三角形斜边上的中线的性质
【例3】如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的两条高，F，M分别是DE，BC的中点.求证：FM⊥DE.
【解析】连接MD，ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论.
【解】如图，连接MD，ME.
∵BD是△ABC的高，M是BC的中点，∴在Rt△CBD中，MD＝BC.
同理可得ME＝BC，∴MD＝ME.
又∵F是DE的中点，
∴FM⊥DE（等腰三角形三线合一）.
【方法总结】在直角三角形中，遇斜边的中点常作斜边的中线，从而利于直角三角形斜边的中线的性质解决问题.
课堂训练
1.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于点F.若EF＝CE＝1，AB＝3，则线段AF的长为（　　）
A.2 B.4　　
C. D.3第1题图　　第2题图
2.如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，DE＝EO，OF⊥AB于点F.若OF＝3cm，则BD＝　　　　cm.
3.如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连接AE.
（1）求证：BD＝2AC.
（2）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长.
板书设计
第1课时　矩形的性质
1.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.
2.矩形特有的性质：
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
矩形是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点的连线所在的直线）.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂小结
本节课学习了矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质，学生学会了利用矩形的性质求矩形的边长、三角形的周长及对角线的长，并且学会通过构造直角三角形斜边上的中线来进行相关的证明与计算.
教学反思
　　本节课从演示改变平行四边形活动框架的形状开始，引导学生观察发现当有一个角是直角时的图形的特征，从而引出矩形的定义，然后通过课件展示和列举生活中的实例，让学生感受数学与生活的联系，最后通过提问并引导学生观察矩形还有哪些特殊的性质，从而导入新课.由于矩形比平行四
边形多了“有一个角是直角”的条件，所以也就增加了一些特殊性质，可以先让学生观察图形的边、角、对角线，进而引导学生对矩形的角和对角线进行探究，得出矩形四个角都是直角和对角线相等这两个特殊性质，然后从矩形中分离出单独的一个直角三角形，引导学生发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论.
答案
课堂训练
1.B　2.12
3.解：（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°.
∵E是BD的中点，
∴EA＝BD＝EB，
∴∠EAB＝∠B，∴∠AEC＝2∠B.
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，∴BD＝2AC.
（2）由（1）可知BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5.
由勾股定理，得AB＝＝＝12，
∴△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝12＋6.5＋6.5＝25.
第2课时　矩形的判定
素养目标
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.
教学重难点
重点：矩形的判定方法.
难点：选择合适的判定方法证明四边形为矩形.
教学过程
新课导入
师：上一节课我们研究了矩形的性质，这节课我们来研究如何判定一个四边形或平行四边形是矩形.我们先来看下面这个问题.
课件展示问题：小明利用周末的时间，做了一个相框（如图所示），请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是否是矩形.
生：先用直尺测两组对边是否分别相等，再用三角板测量其中的一个角是否是直角，以此来检验相框是否是矩形.
师：这样测量的依据是什么？
生：因为有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，所以可以利用矩形的定义进行判断.
师：除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？我们这节课就来探究矩形的判定方法.
探究新知
探究点一　矩形的判定
【例1】如图， ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形.
【解析】由于四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB＋∠ABC＝180°，而AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，则∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，故∠HAB＋∠HBA＝90°，再利用三角形内角和定理可知∠H＝90°.同理可得∠HEF＝∠HGF＝∠F＝90°，最后利用有三个角是直角的四边形是矩形即可得证.
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，
∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，
∴∠HAB＋∠HBA＝（∠DAB＋∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠H＝90°.
同理可得∠HEF＝∠HGF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形.
【方法总结】本题中需要求证的图形没有指明是平行四边形，而且已知条件中又涉及角的关系，故一般采用“角的方法”来判定矩形.
探究点二　矩形的性质与判定的综合应用
【例2】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF.
（1）求证：四边形ABCD是矩形.
（2）若∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠EAO的度数.
【解析】（1）只需求证△AEO≌△DFO，得出OA＝OD，证得AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形；（2）由矩形的性质得出∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA.根据已知条件求出∠BAE＝36°，则∠OBA＝∠OAB＝54°，再由∠OAB－∠BAE＝∠EAO即可得出答案.
【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°.
在△AEO和△DFO中，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形.
（2）由（1）得四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∵∠BAE∶∠EAD＝2∶3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°－36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝54°－36°＝18°.
【方法总结】在解答矩形的性质和判定的综合应用时，一般会先根据题中的条件证明四边形是矩形，再利用矩形的性质求角的关系或边长，并且此类题目常与勾股定理或等腰三角形的性质相结合来考查.
课堂训练
1.已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，则下列条件中，能判定这个四边形是矩形的是（　　）
A.AD＝BC，AC＝BD
B.AC＝BD，∠BAD＝∠BCD
C.AO＝CO，AB＝BC
D.AO＝OB，AC＝BD
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE平分∠BAC的外角，且∠AEB＝90°.求证：四边形ADBE是矩形.
板书设计
第2课时　矩形的判定
1.矩形的定义判定法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
符号语言：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形.
3.矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
符号语言：如图，∵∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形.
课堂小结
本节课我们学习了矩形的判定方法及其应用，掌握了矩形的三种判定方法，并且能够根据已知条件灵活地选用合适的判定方法.
教学反思
　　本节课首先通过小明验证相框是否是矩形的问题，带领学生回忆矩形的概念，进而启发学生探究矩形的其他判定方法.然后通过类比平行四边形的判定方法，引导学生从矩形特有的性质入手，先进行猜测，再进行逻辑推理验证猜想，进而得出矩形的两个判定定理，并借助讲解教材例题，引导学生综合运用矩形的性质和判定定理，进一步提高学生的合情推理和演绎推理能力.最后通过精选练习题加深对矩形判定定理的理解与掌握.
　　答案
课堂训练
1.B
2.证明：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2.
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠3＝∠4.
　　∵∠1＋∠2＋∠3＋4＝180°，∴∠1＋∠3＝90°，
即∠DAE＝90°.
∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°.
又∵∠AEB＝90°，
∴四边形ADBE是矩形.

展开更多......

收起↑