资源简介

21.3.2　菱形
第1课时　菱形的性质
素养目标
1.理解并掌握菱形的定义及性质，并会运用这些性质进行有关的论证和计算.
2.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力.
3.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想.
教学重难点
重点：探究菱形的性质及应用.
难点：菱形的证明方法及其性质运用.
教学过程
新课导入
师：平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形，那么平行四边形的边特殊化后，得到的特殊的平行四边形是什么呢？它有什么特征？请看演示（可用事先按如图①做成的一组对边可以活动的教具进行演示）.
师：我们把这种边特殊化的平行四边形叫作菱形.（板书课题）
探究新知
探究点一　菱形的定义
【例1】如图所示，四边形ABCD是菱形，点C是BE的中点，∠B＝60°.求证：△CDE是等边三角形.
【解析】根据菱形的定义得到BC＝CD，∠DCE＝∠B＝60°，再根据中点的性质，得到CE＝BC，即可证明△CDE是等边三角形.
【解】∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，CD∥AB，∴∠DCE＝∠B＝60°.
∵点C是BE的中点，∴CE＝BC，∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形.
【方法总结】（1）菱形是特殊的平行四边形，对于它的定义，满足两个条件：①平行四边形；②一组邻边相等.（2）菱形的定义既是它的一条性质，也是它的一种判定方法.
探究点二　菱形的性质
【例2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，菱形ABCD的周长为32cm.求：
（1）两条对角线的长度.
（2）菱形的面积.
【解析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，然后再根据含30°角的直角三角形的边长关系及勾股定理即可解答；（2）由菱形的面积等于对角线乘积的一半，据此即可解答.
【解】（1）∵菱形ABCD的周长为32cm，
∴菱形的边长为32÷4＝8（cm）.
∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8cm.
∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，且AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AB＝4cm，
∴BO＝＝＝4（cm），
∴BD＝8cm.
（2）菱形的面积＝AC·BD＝×8×8＝32（cm2）.
【方法总结】由菱形的周长可得菱形的边长，由邻角关系可求出内角的大小，再通过勾股定理求出对角线的长，从而求出菱形的面积.求菱形的边长或对角线的长时，常转化到等腰三角形或直角三角形中求解.
课堂训练
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点.若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为（　　）
A.8 B.6
C.7 D.4
2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH.
（1）求证：∠OHD＝∠ODH.
（2）若OC＝BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积.
板书设计
第1课时　菱形的性质
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
2.菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
3.菱形的性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
课堂小结
本节课我们学习了菱形的定义及性质，知道了菱形是在平行四边形的基础上定义的，并且会用菱形的性质求菱形的边长、周长及对角线长，还掌握了一种求菱形面积的公式：菱形的面积＝两条对角线乘积的一半.
教学反思
　　先用一些来源于生活的实际图片吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，诱发学生对新知识的需求.再利用自制教具，予以直观性和可操作性，让学生更容易理解菱形的定义，并同时加强了与平行四边形定义的对比性.
通过菱形和平行四边形的边、角、对角线、对称性的对比，加强对所学知识的辨析，渗透类比的数学思想.通过选题设计使学生巩固所学知识，从而加深对菱形性质的理解，让学生掌握菱形性质的应用，会灵活运用菱形的面积公式，达到学以致用的目的，培养学生的应用意识.引导学生运用菱形的性质解决问题，让学生在解题过程中掌握菱形的性质，达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题和推理论证的能力.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB.
又∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OD，
∴∠OHD＝∠ODH.
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝6，BD⊥AC.
在Rt△OCD中，CD＝＝3，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝12，
∴菱形ABCD的面积＝BD·AC＝×6×12＝36.
第2课时　菱形的判定
素养目标
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法.
2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
教学重难点
重点：菱形的两个判定方法.
难点：判定方法的证明及运用.
教学过程
新课导入
用两根长短不一的细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动细木条，这个四边形什么时候是菱形？
猜想：当两根细木条垂直时这个四边形是菱形.
探究新知
探究点一　菱形的判定方法
【例1】如图，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC.求证：四边形EFGH是菱形.
【解析】利用三角形的中位线定理证明四条边相等，即可证得四边形EFGH是菱形.
【解】∵在△ABD中，E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF＝AD.
同理可得GH＝AD，GF＝BC，HE＝BC.
又∵AD＝BC，∴EF＝GH＝GF＝HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【方法总结】在有较多线段相等的条件时，我们可以考虑通过证明四边形四条边相等来证明这个四边形是菱形.注意，本题也可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤稍微复杂一点.
【例2】如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点B作BE∥AC，且使BE＝AC，连接DE，DE与AB交于点F.
（1）求证：DE＝BC.
（2）连接AE，BD，要使四边形AEBD是菱形，△ABC的边或角需要满足什么条件？证明你的结论.
【解析】（1）只需证明四边形BCDE是平行四边形即可得出结论；（2）首先证明四边形AEBD是平行四边形，由（1）得四边形BCDE是平行四边形，得出DE∥BC，当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，再由平行线的性质得出∠AFD＝∠ABC＝90°，即AB⊥DE，即可得出四边形AEBD是菱形.
【解】（1）证明：∵D是AC的中点，
∴CD＝AC.
∵BE＝AC，∴CD＝BE.
又∵BE∥AC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC.
（2）答案不唯一，当AB⊥BC（或∠ABC＝90°）时，四边形AEBD是菱形.证明如下：
如图，连接AE，BD.
∵D是AC的中点，
∴AD＝AC.
∵BE＝AC，
∴AD＝BE.
又∵BE∥AD，
∴四边形AEBD是平行四边形.
由（1）得四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC.
当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，
∴∠AFD＝∠ABC＝90°，
即AB⊥DE，
∴四边形AEBD是菱形.
【方法总结】当遇到添加一个条件证明四边形的形状的题目时，应先观察题意，根据题意提供的条件或暗含的条件，把缺失的条件添加上，再证明结论.
探究点二　菱形的性质与判定的综合运用
【例3】如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）若E是BC的中点，求∠BCD的度数.
【解析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解答；（2）连接AC，根据垂直平分线的性质证得AB＝AC，再根据菱形的性质得到AB＝BC，可得△ABC是等边三角形，据此即可得到结论.
【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
又∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）如图，连接AC.
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE.
又∵AE⊥BC，∴AB＝AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°－60°＝120°.
【方法总结】在解答菱形的性质与判定的综合应用时，要先利用菱形的判定证明四边形是菱形，再通过菱形的性质进行计算或证明.
课堂训练
1.在 ABCD中，添加下列条件后能够判定 ABCD是菱形的是（　　）
A.AC＝BD　 B.AB＝CD　　
C.AB⊥BC　 D.AC⊥BD
2.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E，连接OE，则OE的长为　　　　.
板书设计
第2课时　菱形的判定
1.定义判定法：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
2.菱形的两个判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形.
课堂小结
本节课我们学习了菱形的两个判定定理，并且会利用这两个定理证明四边形是菱形，还能在证明过程中根据已知条件选择不同的证明方法.
教学反思
　　这节课的重点是使学生掌握菱形的判定定理，在操作、猜想、讨论、说理和训练中学习数学，让学生经历数学知识的形成过程，有助于培养学生的合情推理能力.让学生走上讲台，当众说出菱形判定的推理过程，在学生说的过程中，逐步了解学生的思维过程，有助于教师更好地发现学生在进行图形推理时的问题，训练学生的口头表达能力.课堂练习时，小组内互相对照答案，不会做的学生由小组长帮助讲解.课堂小结时，小组长汇报本小组的学习情况和存在的问题，以及解决问题的方法.
答案
课堂训练
1.D　2.5

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