资源简介

21.3.3　正方形
第1课时　正方形的性质
素养目标
1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系与区别.
2.能用正方形的定义、性质进行推理与计算.
教学重难点
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用.
教学过程
新课导入
1.什么是平行四边形、矩形、菱形？它们之间有什么关系？
（学生回答，教师课件演示矩形、菱形两个特殊四边形的生成过程，如图）
2.说出平行四边形、矩形、菱形的性质.
师：除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
生：还有正方形.
师：正方形是我们熟悉的几何图形，而且我们在小学就学过，那么怎样研究正方形这类图形呢？我们先回忆一下前面是怎样研究矩形和菱形的.
生：我们研究了它们的定义、性质和判定方法.
师：同矩形和菱形一样，这节课我们就先来研究正方形的定义和性质.
探究新知
探究点　正方形的定义和性质
【例】如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交BD，DC于点G，F，H为EF的中点.求证：
（1）∠DAG＝∠DCG.
（2）GC⊥CH.
【解析】（1）要证明∠DAG＝∠DCG，只需证明△ADG与△CDG全等即可；（2）要证明GC与CH垂直，需证∠GCH＝90°，即∠FCH＋∠DCG＝90°.根据两直线平行，内错角相等得到∠DAF与∠E相等.由（1）进行等量代换得到∠E与∠DCG相等，再由CH为Rt△ECF斜边上的中线，得到CH＝HE＝EF.根据“等边对等角”得到∠E与∠HCE相等，再根据∠FCH＋∠HCE＝90°，等量代换得到∠FCH＋∠DCG＝90°，即∠GCH＝90°.
【解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°.
又∵DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG.
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BE，
∴∠DAG＝∠E.
又∵∠DAG＝∠DCG，
∴∠E＝∠DCG.
∵H为Rt△CEF斜边EF的中点，
∴CH＝HE＝EF，∴∠HCE＝∠E，
∴∠DCG＝∠HCE.
∵∠FCH＋∠HCE＝90°，
∴∠FCH＋∠DCG＝90°，即∠GCH＝90°，
∴GC⊥CH.
【方法总结】通过证明三角形全等得到边或角相等，再进一步得到平行或垂直，是正方形中证边或角相等的最常用的方法.正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了充足的条件.
课堂训练
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　）
A.对角线互相平分　 B.对角线相等
C.对角线互相垂直　 D.对角线互相垂直平分
2.如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE平分∠CBD交CD于点E，交OC于点F.
（1）线段CE与CF相等吗？请说明理由.
（2）试猜想线段DE与OF之间的数量关系，并证明.
板书设计
第1课时　正方形的性质
1.正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
2.正方形的性质：
（1）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴.
（2）正方形具有矩形和菱形的所有性质.
边：正方形的对边平行，四条边都相等；
角：正方形的四个角都是直角；
对角线：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
课堂小结
本节课学习了正方形的定义、性质，学生掌握了正方形的边、角及对角线的性质，并会利用正方形的性质求角之间、线段之间的关系.
教学反思
　　先利用图形进行比较教学，使学生比较容易理解，同时又容易厘清各种图形的关系.教学时，结合矩形和菱形的条件得到正方形的定义，让学生知道有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.然后在分析性质时，强调了正方形定义和前面两类特殊平行四边形的异同，通过归纳矩形和菱形的性质得到正方形的性质.
留给学生充分的独立思考和自由讨论的时间，因为这样学生自身的知识结构才能更好地重建，才有可能碰撞出灵感，产生新的问题.毕竟学生自身思考出来的问题才是带领他们更深入思考的关键.其次学生讨论的同时，不要忽略教师应有的必要引领与指导，这样才能使学习更具实效性.
答案
课堂训练
1.A
2.解：（1）相等.理由如下：
∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE.
∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴∠BOC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBE＋∠CEB＝90°，∠DBE＋∠BFO＝90°，
∴∠CEB＝∠BFO.
∵∠EFC＝∠BFO，∴∠EFC＝∠CEB，
∴CE＝CF.
（2）DE＝2OF.
证明：如图，取BE的中点M，连接OM.
∵O，M为BD，BE的中点，
∴OM∥DE，且DE＝2OM，∴∠OMF＝∠CEF.
∵∠OFM＝∠EFC＝∠CEF，
∴∠OMF＝∠OFM，∴OF＝OM，∴DE＝2OF.
第2课时　正方形的判定
素养目标
1.掌握正方形的判定定理.
2.综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题.
教学重难点
重点：正方形的判定.
难点：正方形的判定的运用.
教学过程
新课导入
把一张矩形纸片按如图所示的方式进行折叠，就能折出一个最大的正方形.你们知道为什么吗？说说其中的依据.
探究新知
探究点一　正方形的判定
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形.
【解析】由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC＝90°，可证明四边形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分线，得出DE＝BE，据此可判定四边形DEBF是正方形.
【解】∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.
又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF是矩形.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBE＝∠DBF＝45°，即△DEB是等腰直角三角形，
∴DE＝BE，∴矩形DEBF是正方形.
【方法总结】证明已知条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法：①证“四边形＋四边相等＋一个直角”；②证“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角”；③证“矩形＋一组邻边相等”；④证“菱形＋一个直角”.说明：在判定一个四边形是正方形时，常常建立在矩形或菱形的基础上，采用方法③④进行证明.
探究点二　正方形的性质与判定的综合应用
【例2】如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN.求证：四边形EFMN是正方形.
【解析】通过证明△AEN，△DNM，△CMF，△BFE全等，得出四边形EFMN是菱形.再证明四边形EFMN中一个内角为90°，得出四边形EFMN是正方形的结论.
【解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝BE＝CF＝DM，
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE，
∴NE＝MN＝FM＝EF，∠ANE＝∠DMN，
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠DMN＋∠DNM＝90°，
∴∠ANE＋∠DNM＝90°，∴∠ENM＝90°，
∴四边形EFMN是正方形.
课堂训练
1.如图，D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，则下列判断错误的是（　　）
A.四边形AEDF一定是平行四边形
B.若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
C.若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
D.若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若　　　　（添加一个条件），则矩形ABCD为正方形.
板书设计
第2课时　正方形的判定
1.正方形的判定：
（1）定义法；（2）矩形法；（3）菱形法.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课主要通过定义法、矩形法、菱形法学习了正方形的判定，使学生能综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题.
教学反思
　　对于正方形的证明主要是通过定义法，但是在证明的过程中又可以进行相应的结合，而不是纯粹地证明出三个条件.在学习判定方法时，教师要引导学生对判定方法进行证明，引导学生从边、角、对角线等角度去思考，从而避免学生思维混乱，无从下手.
答案
课堂训练
1.B　2.AB＝AD（答案不唯一）

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