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23.2　一次函数的图象和性质
第1课时　一次函数的图象和性质
素养目标
1.会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象的画图步骤.
2.能根据正比例函数图象观察、发现并归纳出它的性质，学会简单运用.
3.理解直线y＝kx＋b与直线y＝kx之间的位置关系.
4.会利用两个合适的点画出一次函数的图象，并掌握一次函数的性质.
教学重难点
重点：掌握正比例函数与一次函数图象的性质.
难点：理解正比例函数、一次函数图象的性质及解析式之间的联系.
教学过程
新课导入
师：同学们，上节课我们学习了一次函数，你能说一说什么样的函数是一次函数吗？
生1：函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称这样的函数为一次函数.
生2：一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k，b为常数，且k≠0.
生3：正比例函数也是一次函数.
师：正比例函数的图象是什么形状？有什么性质？
新课教学
探究点一　正比例函数的图象和画法
【例1】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）y＝x.（2）y＝－3x.
【解析】（1）该函数是正比例函数，图象是过原点的一条直线.当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则该直线经过点（0，0），（2，3），其图象如图所示.
（2）该函数是正比例函数，图象是过原点的一条直线.当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝－3，则该直线经过点（0，0），（1，－3），其图象如图所示.
【解】函数图象如图所示.
【方法总结】正比例函数y＝kx（k是常数且k≠0）的图象是一条经过原点及（1，k）的直线，通常作正比例函数的图象是过（0，0）和（1，k）两点画直线，但也可以适当变通，选点应以便于计算和描点为原则.
探究点二　正比例函数图象的性质
【例2】已知正比例函数y＝3x的图象经过点A（－1，y1），点B（－2，y2），则y1　　　　y2（填“＞”或“＜”）.
【解析】方法一：画出正比例函数y＝3x的图象，在函数图象上标出点A，点B，利用数形结合思想比较y1，y2的大小即可.如图所示，观察图形可得y1＞y2.方法二：根据正比例函数的增减性来比较函数值的大小.根据正比例函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，即可得y1＞y2.
【解】＞
【方法总结】正比例函数图象上两点的纵坐标的大小与比例系数以及自变量的大小有关：当比例系数是正数时，函数值随自变量的增大而增大；当比例系数是负数时，函数值随自变量的增大而减小.
探究点三　一次函数的图象与性质
【例3】关于x的一次函数y＝kx＋2（1－x），若0＜k＜2，则当1≤x≤2时，y的最大值是（　　）
A.2k－2 B.k－1　
C.k　　 D.k＋1
【解析】原式可以化为y＝（k－2）x＋2.∵0＜k＜2，∴k－2＜0，则函数值y随x的增大而减小，∴当x＝1时，函数值y最大，最大值是（k－2）＋2＝k.
【答案】C
【方法总结】根据一次函数的性质求函数的最值时，如果该函数中k＞0，说明y随x的增大而增大，我们取自变量的右端点代入求最大值，取左端点代入求最小值；反之，当k＜0时，取左端点代入求最大值，取右端点代入求最小值.
探究点四　一次函数图象的平移
【例4】已知直线y＝2x＋2如图所示.
（1）求直线与y轴的交点A的坐标和直线与x轴的交点B的坐标.
（2）将直线AB沿y轴的负半轴方向平移1个单位长度后得到直线CD，求直线CD与x轴的交点D的坐标.
【解析】（1）先令x＝0求出y的值，再令y＝0求出x的值即可分别求出A，B两点的坐标；（2）根据解析式上加下减的规律得到直线CD的解析式，再将y＝0代入求出x的值，即可求得直线与x轴的交点D的坐标.
【解】（1）当x＝0时，y＝2，即点A的坐标为（0，2）；
当y＝0时，0＝2x＋2，解得x＝－1，即点B的坐标为（－1，0）.
（2）∵将直线AB沿y轴的负半轴方向平移1个单位长度后得到直线CD，∴直线CD的解析式为y＝2x＋2－1，即y＝2x＋1，∴当y＝0时，0＝2x＋1，解得x＝－，即点D的坐标为（－，0）.
【方法总结】在y＝kx＋b中，当b＞0时，可看作是由直线y＝kx向上平移b个单位长度；当b＜0时，可看作是由直线y＝kx向下平移｜b｜个单位长度.
探究点五　直线y＝kx＋b的位置与k，b的符号关系
【例5】已知函数y＝（2m－2）x＋m＋1.
（1）当m为何值时，函数图象经过原点？
（2）已知y随x的增大而增大，求m的取值范围.
（3）若函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围.
（4）若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围.
【解析】（1）根据函数图象过原点可知m＋1＝0，即可求出m的值；（2）根据y随x的增大而增大可知2m－2＞0，即可求出m的取值范围；（3）由于函数图象与y轴的交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值范围；（4）根据函数图象经过第一、二、四象限可列出关于m的不等式组，进而可求出m的取值范围.
【解】（1）∵函数图象经过原点，
∴m＋1＝0，即m＝－1.
（2）∵y随x的增大而增大，
∴2m－2＞0，解得m＞1.
（3）∵函数图象与y轴的交点在x轴上方，
∴m＋1＞0，即m＞－1.
（4）∵函数图象经过第一、二、四象限，
∴解得－1＜m＜1.
【方法总结】（1）当k＞0时，直线必经过第一、三象限，且y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必经过第二、四象限，且y随x的增大而减小.（2）当b＞0时，直线必与y轴的正半轴相交；当b＝0时，直线必经过原点；当b＜0时，直线必与y轴的负半轴相交.（3）特别地，当b＝0时，直线经过原点O（0，0），表示的是正比例函数的图象.这时，当k＞0时，直线只经过第一、三象限；当k＜0时，直线只经过第二、四象限.
课堂训练
1.将直线y＝－4x向下平移2个单位长度，得到直线的函数解析式为（　　）
A.y＝－4x－2　　 B.y＝－4x＋2　　
C.y＝－4x－8　　 D.y＝－4x＋8
2.函数y＝（k－1）x2｜k｜－3是正比例函数，且y随x的增大而减小.求（k＋3）2026的值.
3.已知一次函数y＝－x＋2.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象.
（2）若函数图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，求△ABO的周长.
板书设计
第1课时　一次函数的图象和性质
1.正比例函数、一次函数的图象与性质.
2.一次函数与正比例函数的关系：一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象可以由直线y＝kx平移｜b｜个单位长度得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）.
课堂小结
本节课学习了正比例函数、一次函数的图象与性质.学生会根据函数的图象总结出函数的性质，并根据k，b的符号判断函数图象经过的象限，会判断自变量和函数的变化规律.
教学反思
　　本节课通过学习正比例函数，获得了对一类具体函数的数形结合的探究经验.一次函数的解析式比正比例函数的解析式多了一个常数b，所以函数图象的位置受到了k，b两个常数的共同影响，但是函数的增减性只受比例系数k的影响.在具体的学习过程中，如果学生没有经历画图、观察、概括的过程，那么可能只是记住结论.
答案
课堂训练
1.A　
2.解：∵y＝（k－1）x2｜k｜－3是正比例函数，
∴2｜k｜－3＝1，解得k＝2或k＝－2.
∵y随x的增大而减小，
∴k－1＜0，即k＜1，∴k＝－2，
∴（k＋3）2026＝（－2＋3）2026＝1.
3.解：（1）当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝2，
画函数图象如图所示.
（2）由（1），得OA＝2，OB＝2.
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴△ABO的周长为OA＋OB＋AB＝4＋2.
第2课时　用待定系数法求一次函数的解析式
素养目标
学会用待定系数法求一次函数解析式.
教学重难点
重点：用待定系数法求一次函数解析式，初步了解分段函数.
难点：1.不同问题情境下，函数解析式的确定.
2.学会分类讨论的分析方法.
教学过程
新课导入
课件展示：画出函数y＝－3x与y＝－3x＋1的图象.
师：你在画这两个函数图象时，分别描了几个点？你为何选取这几个点？可以有不同的取法吗？
生：因为函数y＝－3x与y＝－3x＋1都是一次函数，它们的图象都是一条直线，因此画函数y＝－3x的图象时，描的点是（0，0）和（1，－3）.画函数y＝－3x＋1的图象时，描的点是（0，1）和（1，－2）.实际上选取点有多种方法.
师：是的，我们根据一次函数的解析式选取了两个比较简单的点画出了一次函数的图象.反过来已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
探究新知
探究点　用待定系数法求一次函数的解析式　
类型一　已知两点求一次函数的解析式
【例1】已知一次函数的图象经过（－4，15）和（6，－5）两点，求这个一次函数的解析式.
【解析】设出一次函数解析式y＝kx＋b，把两个点的坐标代入，列出二元一次方程组后，求出k，b即可.
【解】设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
∵y＝kx＋b的图象经过（－4，15）和（6，－5）两点，
∴解得
∴这个一次函数的解析式为y＝－2x＋7.
【方法总结】求一次函数的解析式都要经过设，列，解，还原四步.设都相同，就是设出一次函数的解析式，列就是把已知两点的坐标代入所设解析式，得出一个二元一次方程组，解这个方程组，代回所设解析式后得到一次函数的解析式.
类型二　一次函数与正比例函数
【例2】某个一次函数的图象与直线y＝x平行，并且经过点（－2，－4），则这个一次函数的解析式为（　　）
A.y＝－x－5 B.y＝x＋3　
C.y＝x－3 D.y＝－2x－8
【解析】由一次函数的图象与直线y＝x平行，设直线解析式为y＝x＋b.
把（－2，－4）代入，得－4＝－1＋b，即b＝－3，
则这个一次函数的解析式为y＝x－3.
【答案】C
【方法总结】当正比例函数图象与一次函数图象平行时，比例系数相同，然后再找一个点代入求值即可.
课堂训练
1.若一次函数y＝（k－2）x＋17，则当x＝－3时，y＝2，k的值为（　　）
A.－4　 B.8
C.－3　 D.7
2.已知一次函数的图象经过点（－3，5）和（5，9），则这个一次函数的解析式为　　　　.
3.已知关于x的一次函数y＝（2m－1）x＋m－2，若它的函数值y随x的增大而增大，图象与y轴负半轴相交，且m为正整数.求：
（1）这个一次函数的解析式.
（2）直线y＝－x和（1）中函数的图象与x轴围成的三角形面积.
板书设计
第2课时　用待定系数法求一次函数的解析式
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.
函数解析式
y＝kx＋b满足条件的两定点
（x1，y1）与（x2，y2）一次函数的
图象直线l
课堂小结
本节课学习了用待定系数法求一次函数的解析式，已知两点会用待定系数法求一次函数的解析式，会结合图象求一次函数解析式.
教学反思
　　本节课的重点内容是根据直线上两点的坐标，求相应一次函数的解析式.通过例题学生可以对待定系数法有所了解.教学中，要使学生能够掌握通过方程（组）确定相应系数，从而确定函数解析式的方法.
答案
课堂训练
1.D　
2.y＝x＋
3.解：（1）由题意，得
解得＜m＜2.
又∵m为正整数，
∴m＝1，
∴这个一次函数的解析式为y＝x－1.
（2）由y＝x－1，得函数图象与x轴的交点为（1，0），
∴解得
∴围成的三角形面积为×1×＝.

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