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难点二　最值问题
类型1　代数最值问题
1.会审题，能根据题意合理表达相关量.
2.能根据题意找到数量关系，建立模型.
3.能在模型下对实际问题进行分类研判，找到最值.
某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大 最大销售利润是多少 【销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量】
1.(2025·达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件.经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 件.
提示：根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案.
(2)为了让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元
提示：设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据销售利润＝每件的利润×销售数量列出方程，解方程即可.
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大 最大利润是多少
提示：先根据销售利润＝每件的利润×销售数量列出二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解.
2.在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60)，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象.
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数解析式；
②求y2关于x的函数解析式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 (填“增大”或“减小”)，y2随x的增大而 (填“增大”或“减小”)，y2的图象可以由y1的图象向 (填“上”“下”“左”或“右”)平移得到.
(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
　　能将文字条件准确转化为代数条件，能建立模型并根据不同函数求最值的方法进行求解.
1.已知实数m，n满足m2－mn＋n2＝3，设P＝m2＋mn－n2，则P的最大值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
2.对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果(单位：mm)：9.9，10.1，10.0.若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝ mm时，(a－9.9)2＋(a－10.1)2＋(a－10.0)2最小.对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果(单位：mm)：x1，x2，…，xn.若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝ mm时，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最小.
3.浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件.
(1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(2)求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大 最大值是多少
4.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2 m，AB＝3 m，AF＝BC＝1 m，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°.MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少
5.(2025·自贡)如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G.
(1)若BD⊥CE，BD＝1，CE＝，则四边形BCDE的面积为 .
(2)若BD＋CE＝，△ABC的面积为S.设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值.
(3)若(2)问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象.直线y＝k1x－k1交该图象于点F，H(F点在H点左边)，过点H的直线l：y＝k2x＋b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K.若S△HFK＝S△HKQ，试问直线l是否过定点 若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
类型2　几何最值问题
1.知道几何最值问题中的相关几何性质.
2.应用轨迹法、构图法、寻找隐圆等方法解决几何最值问题.
1.如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是( )
A.① B.②
C.③ D.④
2.(2025·东营)如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 .
3.☉O的半径是3 cm，P是☉O内一点，PO＝1 cm，则点P到☉O上各点的最小距离是 ，最大距离是 .
4.☉O的半径是3 cm，P是☉O外一点，PO＝5 cm，则点P到☉O上各点的最小距离是 ，最大距离是 .
5.(2025·凉山州)如图，一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(6，1)，B(2，m).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图象，直接写出不等式ax＋b＞的解集为 ；
(3)在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值.
1.轴对称变换
如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，E是BC的中点.以点B为圆心，BE为半径作弧分别交边AB，BC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线BM交AC于点F.
(1)根据以上作图，你能得出什么结论
(2)若△ABC的面积是6，点P，N分别为BF，AB上的点，求PA＋PN长度的最小值.
提示：过点C作CQ⊥AB于点Q，由三角形面积，得CQ＝ .点A与点C关于线段BF轴对称，得PA＝ ，则PA＋PN＝ ＋PN，当P，C，N三点共线，且与AB垂直，即与线段CQ重合时，PC＋PN的长度最小.
1.两定点异侧，共线和最小(模型1)
　　当定点A与定点B在直线l的异侧时，直线l上有一动点P，求作出点P，使得AP＋PB的值最小. L＝AP＋PB ≥ AB，则当A，P，B三点共线时，Lmin＝AB.
依据：①两点之间线段最短；②三角形两边之和大于第三边.
2.两定点同侧，共线差最大(模型2)
　　当定点A与定点B在直线l的同侧时，直线l上有一动点P，求作出点P，使得≤AB，则当A，P，B三点共线时，Lmax＝ AB.
依据：三角形两边之差小于第三边.
2.寻找隐圆
如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6.点D为平面内一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 .
　　可利用圆的定义确定隐圆，也可利用动点对两定点的张角为定角确定隐圆.
　　定点与圆中各点之间的距离：如果定点是圆外一点，定点与圆心的直线交圆于两点，最大距离为定点与远点的长度，而最小距离则是定点与近点的长度.
1.(2025·广安)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 .
2.如图，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面周长为16 cm，在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为 cm.
3.如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，∠CBA＝120°，AC＝8，点P为AC上一动点，则PE＋PB的最小值为 .
4.如图，已知☉O的直径CD为4，点A在☉O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为 .
5.(2024·宜宾)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为( )
A.2＋3 B.6＋2
C.5 D.8
6.(2025·内江)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝2.若D，E，F分别是边BC，AB，AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 .
7.如图，抛物线y＝(x－1)2－4与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，－3)，点D与点C关于抛物线的对称轴对称.
(1)若P是抛物线对称轴上的一动点，则△PAC的周长最小为 ，此时点P的坐标为 ；
(2)若Q是抛物线对称轴上的一动点，则当取得最大值时，点Q的坐标为 .
8.如图，△ABC是等边三角形，点D是三角形内一点，满足∠BDC＝120°，连接AD，则 .
9.(1)问题发现：如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c(a＞c)，则AC的最小值为 ，AC的最大值为 .
(2)轻松尝试：如图②，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为 .
(3)方法运用：在四边形ABCD中，∠ABD＝90°，＝m，BC＝4，CD＝2.
①如图③，当m＝1时，求线段AC的最大值；
②如图④，当m≠1时，用含m的式子表示线段AC的最大值.难点二　最值问题
类型1　代数最值问题
1.会审题，能根据题意合理表达相关量.
2.能根据题意找到数量关系，建立模型.
3.能在模型下对实际问题进行分类研判，找到最值.
某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大 最大销售利润是多少 【销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量】
解：(1)当22≤x≤30时，设函数解析式为y＝kx＋b.
将(22，48)，(30，40)代入，得
∴y＝－x＋70.
当30＜x≤45时，设函数解析式为y＝mx＋n.
将(30，40)，(45，10)代入，得
∴y＝－2x＋100.
综上，y关于x的函数解析式为y＝
(2)设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1 400＝－(x－45)2＋625.
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值，最大值为400.
当30＜x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2 000＝－2(x－35)2＋450.
∴当x＝35时，w取得最大值，最大值为450.
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大，最大利润为450元.
1.(2025·达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件.经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　(60＋10x)　件.
提示：根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案.
(2)为了让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元
提示：设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据销售利润＝每件的利润×销售数量列出方程，解方程即可.
解：根据题意，得(40－30－x)(60＋10x)＝630.
整理，得x2－4x＋3＝0.
解得x1＝1，x2＝3.
由于要让利于游客，故x＝1舍去.
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时，文旅公司每天的利润是630元.
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大 最大利润是多少
提示：先根据销售利润＝每件的利润×销售数量列出二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解.
解：w＝(40－30－x)(60＋10x)
＝－10x2＋40x＋600
＝－10(x－2)2＋640.
∵－10＜0，
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为640，此时售价为40－2＝38(元).
答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.
2.在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60)，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象.
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数解析式；
②求y2关于x的函数解析式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而　减小　(填“增大”或“减小”)，y2随x的增大而　减小　(填“增大”或“减小”)，y2的图象可以由y1的图象向　下　(填“上”“下”“左”或“右”)平移得到.
(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
解：(1)作出y2关于x的函数图象如图所示.
(2)①观察表格可知，y1是x的反比例函数.
设y1＝，把(30，10)代入，得10＝.
∴k＝300.∴y1关于x的函数解析式是y1＝.
②∵y1＝y2＋5，
∴y2＋5＝－5.∴y2关于x的函数解析式为y2＝－5.
(3)∵y2＝－5，19≤y2≤45，
∴19≤－5≤45.
∴24≤≤50.
∴6≤x≤12.5.
　　能将文字条件准确转化为代数条件，能建立模型并根据不同函数求最值的方法进行求解.
1.已知实数m，n满足m2－mn＋n2＝3，设P＝m2＋mn－n2，则P的最大值为(C)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果(单位：mm)：9.9，10.1，10.0.若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝　10.0　mm时，(a－9.9)2＋(a－10.1)2＋(a－10.0)2最小.对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果(单位：mm)：x1，x2，…，xn.若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝ 　mm时，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最小.
3.浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件.
(1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(2)求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大 最大值是多少
解：(1)由题意，得销售量为150－10(x－30)＝－10x＋450.
∴w＝(x－25)(－10x＋450)＝－10x2＋700x－11 250.
(2)∵w＝－10x2＋700x－11 250＝－10(x－35)2＋1 000，
∴当x＝35时，w取得最大值，最大值为1 000.
答：当销售单价定为35元时，每天的销售利润最大，最大值是1 000元.
4.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2 m，AB＝3 m，AF＝BC＝1 m，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°.MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少
解：连接CF，交HM于点Q，交GN于点P，如图.
∵∠A＋∠B＝90°＋90°＝180°，
∴AF∥BC.
∵AF＝BC＝1 m，
∴四边形ABCF是矩形.
∵四边形MNGH是矩形，
∴∠HMN＝∠MNG＝90°，MH＝NG.
∴∠HQF＝∠GPC＝90°，MQ＝NP＝AF＝BC＝1 m.
∵∠BCG＝∠AFH＝135°，
∴∠HFQ＝∠GCP＝45°.
∴FQ＝HQ，CP＝GP.
∴FQ＝HQ＝MH－MQ＝MH－1.
同理，得CP＝MH－1.
∴AM＝NB＝MH－1.
∴MN＝AB－AM－NB＝3－(MH－1)－(MH－1)＝5－2MH.
∴S矩形MNGH＝MN·MH＝(5－2MH)·MH＝5MH－2MH2＝－2.
∴当MH＝ m时，铁皮MNGH的面积最大，最大面积为 m2.
5.(2025·自贡)如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G.
(1)若BD⊥CE，BD＝1，CE＝，则四边形BCDE的面积为 　.
(2)若BD＋CE＝，△ABC的面积为S.设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值.
(3)若(2)问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象.直线y＝k1x－k1交该图象于点F，H(F点在H点左边)，过点H的直线l：y＝k2x＋b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K.若S△HFK＝S△HKQ，试问直线l是否过定点 若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
解：(2)∵在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC，DE＝BC.∴△AED∽△ABC.
∴S△ADE∶S△ABC＝.∴S△ADE＝S△ABC.
∴S四边形BCDE＝S△ABC，即S△ABC＝S四边形BCDE.
∴当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大.
如图，过点B作BM⊥CE于点M，过点D作DN⊥CE于点N，则BM≤BG，DN≤DG.
∵四边形BCDE的面积为S△BCE＋S△DCE＝CE·BM＋CE·DN≤CE·(BG＋DG)＝CE·BD，
∴四边形BCDE面积的最大值为CE·BD.∵BD＋CE＝，BD＝x，∴CE＝－x.
∴S＝.∴当x＝时，S取最大值，最大值为.
(3)直线l过定点.由(2)知S＝－.
∴y＝－.
设xF＝m.∵S△HFK＝S△HKQ，∴K为FQ的中点.
∵过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K，∴xK＝1.∴xQ＝2－m.
∴Q.
设H.联立
解得k2＝－(n－m)＋1.∴直线l：y－yH＝k2(x－xH)，
即y＝(x－n)＋
＝(n－m)＋1
＝－(n－m)(x－1)＋x＋1.
∵n－m≠0，∴当x－1＝0，即x＝1时，y＝1＋1＝2.∴直线l过定点(1，2).
类型2　几何最值问题
1.知道几何最值问题中的相关几何性质.
2.应用轨迹法、构图法、寻找隐圆等方法解决几何最值问题.
1.如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是(C)
A.① B.②
C.③ D.④
2.(2025·东营)如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是　3　.
3.☉O的半径是3 cm，P是☉O内一点，PO＝1 cm，则点P到☉O上各点的最小距离是　2 cm　，最大距离是　4 cm　.
4.☉O的半径是3 cm，P是☉O外一点，PO＝5 cm，则点P到☉O上各点的最小距离是　2 cm　，最大距离是　8 cm　.
5.(2025·凉山州)如图，一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(6，1)，B(2，m).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图象，直接写出不等式ax＋b＞的解集为　2＜x＜6　；
(3)在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值.
解：(1)∵反比例函数y2＝(x＞0)的图象经过点A(6，1)，
∴1＝.解得k＝6.∴反比例函数的解析式为y2＝(x＞0).
∵在y2＝(x＞0)中，当x＝2时，y2＝＝3，∴B(2，3).
∵一次函数y1＝ax＋b的图象经过点A(6，1)，B(2，3)，∴
∴一次函数的解析式为y1＝－x＋4.
(3)如图，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，AD与x轴交点即为所求点C，连接BC.
∵B(2，3)，∴D(2，－3).由轴对称的性质可得DC＝BC.
∵A(6，1)，B(2，3)，∴AB＝.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AC＋BC＋2.∴当AC＋BC有最小值时，△ABC的周长有最小值.
∵AC＋BC＝AC＋DC，∴当AC＋DC有最小值时，△ABC的周长有最小值.
当A，C，D三点共线时，AC＋DC有最小值，此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD＋2.
∵A(6，1)，D(2，－3)，∴AD＝.
∴△ABC的周长的最小值为4.
1.轴对称变换
如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，E是BC的中点.以点B为圆心，BE为半径作弧分别交边AB，BC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线BM交AC于点F.
(1)根据以上作图，你能得出什么结论
(2)若△ABC的面积是6，点P，N分别为BF，AB上的点，求PA＋PN长度的最小值.
提示：过点C作CQ⊥AB于点Q，由三角形面积，得CQ＝　3　.点A与点C关于线段BF轴对称，得PA＝　PC　，则PA＋PN＝　PC　＋PN，当P，C，N三点共线，且与AB垂直，即与线段CQ重合时，PC＋PN的长度最小.
解：(1)根据作法描述，所作的是∠ABC的平分线，
即BF平分∠ABC.
(2)如图，连接PN，PA，PC，过点C作CQ⊥AB 于点Q.
则S△ABC＝AB·CQ＝×4·CQ＝6.解得CQ＝3.
由(1)可知，BF平分∠ABC.
∵AB＝CB，
∴BF垂直平分AC.
∴PA＝PC.
∴PA＋PN＝PC＋PN.
∴当P，C，N三点共线，且与AB垂直，即线段CP，PN与线段CQ重合时，PC＋PN的长度最小，最小值为线段CQ的长.
∴PA＋PN长度的最小值为3.
1.两定点异侧，共线和最小(模型1)
　　当定点A与定点B在直线l的异侧时，直线l上有一动点P，求作出点P，使得AP＋PB的值最小. L＝AP＋PB ≥ AB，则当A，P，B三点共线时，Lmin＝AB.
依据：①两点之间线段最短；②三角形两边之和大于第三边.
2.两定点同侧，共线差最大(模型2)
　　当定点A与定点B在直线l的同侧时，直线l上有一动点P，求作出点P，使得≤AB，则当A，P，B三点共线时，Lmax＝ AB.
依据：三角形两边之差小于第三边.
2.寻找隐圆
如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6.点D为平面内一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为　2　.
　　可利用圆的定义确定隐圆，也可利用动点对两定点的张角为定角确定隐圆.
　　定点与圆中各点之间的距离：如果定点是圆外一点，定点与圆心的直线交圆于两点，最大距离为定点与远点的长度，而最小距离则是定点与近点的长度.
1.(2025·广安)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为　2　.
2.如图，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面周长为16 cm，在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为　17　cm.
3.如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，∠CBA＝120°，AC＝8，点P为AC上一动点，则PE＋PB的最小值为　4　.
4.如图，已知☉O的直径CD为4，点A在☉O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为　2　.
5.(2024·宜宾)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为(D)
A.2＋3 B.6＋2
C.5 D.8
6.(2025·内江)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝2.若D，E，F分别是边BC，AB，AC上的动点，则△DEF周长的最小值是　2　.
7.如图，抛物线y＝(x－1)2－4与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，－3)，点D与点C关于抛物线的对称轴对称.
(1)若P是抛物线对称轴上的一动点，则△PAC的周长最小为 　，此时点P的坐标为　(1，－2)　；
(2)若Q是抛物线对称轴上的一动点，则当取得最大值时，点Q的坐标为　(1，－6)　.
8.如图，△ABC是等边三角形，点D是三角形内一点，满足∠BDC＝120°，连接AD，则　.
9.(1)问题发现：如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c(a＞c)，则AC的最小值为　a－c　，AC的最大值为　a＋c　.
(2)轻松尝试：如图②，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　8　.
(3)方法运用：在四边形ABCD中，∠ABD＝90°，＝m，BC＝4，CD＝2.
①如图③，当m＝1时，求线段AC的最大值；
②如图④，当m≠1时，用含m的式子表示线段AC的最大值.
解：①如图⑤，以点C为圆心，CD长为半径作☉C，则点D在☉C上.以BC为直角边作等腰直角三角形BCM，则BC＝BM.连接AC，DM.
图⑤
∵∠ABD＝∠CBM＝90°，
＝m＝1，
∴∠ABC＝∠DBM，AB＝BD.
∴△ABC≌△DBM(SAS).∴AC＝DM.
∴当DM最大时，AC最大，即当M，D，C三点共线时，DM最大，即图中MD'为最大值.
∵CM＝，CD'＝CD＝2，∴D'M＝4＋2.
∴当m＝1时，线段AC的最大值为4＋2.
②如图⑥，作BN⊥BC，且＝m，即BN＝4m.
图⑥
∵∠ABD＝90°，＝m，
∴∠ABC＝∠DBN，.
∴△ABC∽△DBN.∴.
∴当DN最大时，AC最大，即当N，D，C三点共线时，DN最大，即图中ND'为最大值.
∵BC＝4，BN＝4m，
∴CN＝.
∵CD'＝CD＝2，
∴D'N＝4＋2.∴AC的最大值为.

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