资源简介

5.1　从实际问题到方程
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
实际情境　【小游戏】——猜年龄
图5-1-1
师:如果告诉我你的年龄乘2再减5等于几,我就能猜出你的年龄,试一下.
如果把我的年龄乘2再减5的话,结果等于65,谁能“猜”出我的年龄呢
你能告诉我,你是怎么“猜”出来的吗 要想发现其中的奥秘需要同老师一起来学习今天的内容.
[教学提示] 通过小游戏,把生活中的问题转化为数学问题,让深奥的方程变得生动有趣.可先让学生说数,老师猜年龄,当部分同学明白原因之后,可让同学之间做这个游戏,最后让这部分明白的同学解释原因.
图5-1-2
悬念激趣　丢番图是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道的很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,这里忠实地记录下他所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.——出自《希腊诗文选》第126题.
你能用方程求出丢番图去世的年龄吗 大家讨论一下.
我们小学也学过方程,利用我们所学的知识可以设他的年龄为x岁,列方程如下:
x+x+x+5+x+4=x.
你对方程有什么认识 列方程解决实际问题的关键是什么
[教学提示] 从一道古代数学趣味题入手有效地激发了学生的学习兴趣,唤起了他们的求知欲望.教师引导学生认真审题,理解题意,学生可小组讨论,互帮互学,共同解决.而后导入新课.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——教材第5页练习
根据题意列出方程(不必求解):
(1)某班原分成两个小组进行课外体育活动,第一组26人,第二组22人.现根据学校活动器材的数量,要将第一组的人数调整为第二组的一半,应从第一组调多少人到第二组去
(2)加工某种零件,师傅平均每小时做5个,徒弟平均每小时做4个,加工一盒零件,师傅比徒弟少用2 h.问:一盒零件有多少个
【模型建立】
根据题意列方程,关键要读懂题意,弄明白问题中涉及哪些未知量、已知量,找到题目中的等量关系,利用等量关系建立方程.
【变式变形】
1.小刚准备用自己节省的零花钱购买一台设备来学习英语,他已存有50元,并计划从本月起每月节省30元,直到他有290元.设x个月后小刚有290元,则可列计算月数的方程为 (　A　)
A.30x+50=290 B.30x-50=290 C.x-50=290 D.x+50=290
2.某车间有100个工人,每人平均每天加工螺栓18个或加工螺母24个,要使每天加工的螺栓与螺母配套(一个螺栓要配两个螺母).求应分配多少个工人加工螺母.如果设分配x个工人加工螺母,则可列出方程为 (　D　)
A.18x+24x=100 B.18x+2×24x=100
C.18×2x=(100-x)×24 D.24x=2(100-x)×18
3.小明说:“小红的年龄比我大两岁,我俩的年龄和为18岁.”求两人年龄.若设小明x岁,则小红的年龄为　(x+2)　岁,可列方程为　x+x+2=18　.
4.父亲的年龄为50岁,儿子的年龄为20岁,问多少年后,父亲的年龄是儿子的2倍 只列出方程.
[答案:设x年后,父亲的年龄是儿子的2倍,根据题意得50+x=2(20+x)]
5.在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中,记载着一些数学问题.其中一个问题翻译过来是:“啊哈,它的全部,它的,其和等于19.”你能求出问题中的“它”吗 只列出方程.
[答案:设“它”为x,则x+x=19]
6.小明买了80分与2元的邮票共16枚,花了18元8角,求他买了80分的邮票和2元的邮票各多少枚.只列出方程.
[答案:设小明买了80分的邮票x枚,则买了2元的邮票(16-x)枚,
根据题意,得80x+200(16-x)=1880]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　[评价角度1] 检验一个数是否是方程的解
方法指引:判断一个数是否是方程的解,只需把给出的数代入原方程,检验它是否能使方程两边相等即可.
例　下列方程中,解为x=3的是 (　D　)
A.6x=2 B.3x+9=0 C.x=0 D.5x-15=0
[评价角度2] 利用方程的解求未知字母的值
方法指引:对于这类题,常根据定义来解决,把方程的解代入方程中,使方程左、右两边的值相等,由此可求出未知字母的值.
　　例　若x=-2是关于x的方程2x+5=3m的解,求m的值.[答案:]
[评价角度3] 根据数量关系列方程
方法指引:根据数量关系列方程,首先找到数量间的有关运算顺序和相等关系,然后根据运算的层级和顺序分别用代数式表示出相等关系中的各个量,最后根据相等关系列出方程.
列方程时注意以下两点:
(1)要把握运算顺序,根据数量关系中的关键词语,如加、减、乘、除、乘方或者和、差、积、商等确定运算顺序,必要时可通过添括号来完成.
(2)要把握相等关系,常见的表示相等关系的关键词有“等于”“多”“少”“几倍”等,列方程前一定要弄清“谁等于谁”“谁比谁少多少”“谁是谁的几倍”等.例如[变式变形]第5题.
[评价角度4] 由实际问题列方程
方法指引:解这类题的基本步骤:
(1)审:分析题意,弄清楚题目中的数量关系;
(2)设:设适当的未知数;
(3)找:找出一个能够表示题目全部含义的相等关系;
(4)列:用含有未知数的代数式表示相等关系中的各个量,根据相等关系列出方程.
例　七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观,共589人,到毛泽东纪念馆的人数比到雷锋纪念馆人数的2倍多55人.设到雷锋纪念馆的人数为x人,可列方程为　x+2x+55=589　. 5.1　从实际问题到方程
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 5.1　从实际问题到方程 授课人
教 学 目 标 1.通过对多个实际问题的分析,使学生体会方程作为实际问题的数学模型作用.会根据实际问题列方程.会判断一个数是不是某个方程的解. 2.通过对多个实际问题的分析,使学生体会方程作为实际问题的数学模型作用. 3.以求解一个实际问题为切入点,经历实践、思考、探索、讨论、交流等活动,培养学生解决问题的兴趣和能力. 4.通过自主学习活动使学生逐步养成良好的学习习惯,提高学生的自主学习能力和合作精神;体验在生活中学数学、用数学的价值,感受学习数学的乐趣.
教学 重点 会根据实际问题列方程
教学 难点 弄清题意,找出“相等关系”
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 复习提问 小学里已经学过列方程解简单的应用题,让我们回顾一下,如何列方程解应用题 例如:一本笔记本1.2元.小红买笔记本共用去6元,那么她买了几本这样的笔记本呢 解:设小红买了x本笔记本,那么根据题意,得1.2x=6. 因为1.2×5=6,所以小红买了5本这样的笔记本. 　　本环节采用开门见山、以旧引新的方式直接提出学习课题,使学生明确学习目的,为下一步引入新知指明了思考的方向,避免了盲目性.激发学生的学习欲望,顺利实现旧知到新知的迁移,为课题的学习做好铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 (多媒体展示) 图5-1-3 丢番图是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道的很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,这里忠实地记录下他所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.——出自《希腊诗文选》第126题. 你能用方程求出丢番图去世的年龄吗 大家讨论一下. 我们小学也学过方程,利用我们所学的知识可以设他的年龄为x岁,列方程如下: x+x+x+5+x+4=x. 　　创设情境,激发学生的求知欲,引导学生主动探索和解决问题,引入新课.
活动 二: 探究 与 应用 在现实生活中,有很多问题都跟数学有关,例如下面的问题: 问题1:课外活动中,张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏,她首先提出如下问题: 同学们今年的年龄是13岁,我今年的年龄是45岁,经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍 问题一经提出,同学们饶有兴趣,开展了热烈的讨论,各抒己见,提出了各种各样的解答,比较典型的有下面两种解法: 解法1(尝试-检验) “3年!”小敏首先发现了答案,她是这样算的: 经过1年,同学们的年龄是14岁,老师的年龄是46岁,不是同学们年龄的3倍; 经过2年,同学们的年龄是15岁,老师的年龄是47岁,不是同学们年龄的3倍; 经过3年,同学们的年龄是16岁,老师的年龄是48岁,恰好是同学们年龄的3倍. 解法2(分析-列算式) 不管过了多少年,张老师与同学们的年龄差是不变的,根据他们现在的年龄可知,这个年龄差为45-13=32(岁),当张老师的年龄是同学们年龄的3倍时,他们的年龄差应该是同学们年龄的2倍,这时同学们的年龄是(45-13)÷2 =32÷2=16(岁),所以要求的年数是16-13=3,和解法1的答案相同. 探索: 张老师肯定了同学们的两种解法,并鼓励同学们继续探索: 我们学习了“用字母表示数”,在这个问题中,如果用字母(例如x)表示未知的年数,你能发现什么 经过x年,老师的年龄是(45+x)岁,同学们的年龄是(13+x)岁,这时老师的年龄是同学们年龄的3倍,即老师的年龄 =3×(同学们的年龄), 于是有45+x=3(13+x).① 试一试: 同学们今年的年龄是13岁,班主任李老师今年的年龄是55岁,经过几年李老师的年龄是同学们年龄的3倍 　　此环节增强学生的合作意识,使学生经历观察、归纳、猜想的过程,培养学生的想象能力和逻辑思维能力.较好地完成了本节课的知识目标、能力目标和情感目标.
活动 二: 探究 与 应用 让我们回到本章开头提出的问题: 问题2:学校运动队沿校园周边的步道晨跑,甲、乙两队员同时出发,跑完一圈乙比甲多用1 min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4 m/s、3.5 m/s.这一圈步道有多长 你能解这个问题吗 我们顺着问题1“探索”中的思路,设步道一圈的长为x m,对问题2作一些探索. 探索:由题意,跑完一圈乙比甲多用1 min(60 s),即跑完一圈乙所用时间=甲所用时间+60,而这时,乙所用时间为 s,甲所用时间为 s,所以=+60.② 以上问题1和问题2,用字母x表示未知数,由问题中已知的有关量的相等关系(等量关系),分别列出两个含有未知数的等式①和②,问题就转化为求未知数x的值,使等式成立(等式左、右两边的值相等).下面我们将顺着这个思路,研究这样的等式,进一步寻求解决问题的方法. 概括:上面两个问题中,“探索”得到了两个含有未知数的等式①和②.像这样,含有未知数的等式叫做方程(equation). 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解(solution).例如x=3是方程①的解,它能使得方程①左、右两边的值相等(都等于48).当方程中只有一个未知数时,方程的解也叫做方程的根(root).求方程的解的过程,叫做解方程(solving equation).
【应用举例】 例1　甲、乙两车间共生产电视机120台,甲车间生产的台数比乙车间的3倍少16台,求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程,不解方程). 分析等量关系: 甲车间生产的台数+乙车间生产的台数=电视机总台数. 解:设乙车间生产的台数为x台,则甲车间生产的台数是(3x-16)台. 根据题意,列方程得x+(3x-16)=120. 例2　检验下面方程后面大括号内所列各数是否为这个方程的解:2(x+2)-5(1-2x)=-13,{-1,1}. 解:将x=-1代入方程的两边,得 左边=2×(-1+2)-5[1-2×(-1)]=-13,右边=-13. 因为左边=右边,所以x=-1是方程的解. 将x=1代入方程的两边,得 左边=2×(1+2)-5(1-2×1)=11,右边=-13. 因为左边≠右边,所以x=1不是方程的解. 【拓展提升】 例3　七年级(1)班共有40人,男生比女生多4人,你知道男生、女生各有多少人吗 (1)如果设女生有x人,那么可得方程　　　　　　　. (2)如果设男生有x人,那么可得方程　　　　　　　. (教师在黑板上写出规范的解题格式) 通过上面的学习,你觉得我们怎样规范地列方程来解决实际问题呢 从问题到方程的关键步骤是什么
活动 二: 探究 与 应用 (1)审题并找出等量关系;(2)设未知数;(3)列方程. 关键是找到数量之间的相等关系. 教师重点关注:学生对待已解问题与未解问题的对比分析能力;给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到解答方法;鼓励学生大胆猜想,发表见解.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.检验下列各括号内x的值是不是它前面方程的解. (1)x-3(x+2)=6+x,(x=3,x=-4); (2)44x+64=328,(x=5,x=6). 2.根据题意设未知数,并列出方程(不必求解): (1)某班原分成两个小组进行课外体育活动,第一组26人,第二组22人,根据学校活动器材的数量,要将第一组的人数调整为第二组的一半,应从第一组调多少人到第二组去 (2)小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出,得到的本利和为3243元(不计复利).请你帮小明算一算这种储蓄的年利率. 3.检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解: (1)=x-1,; (2)2(y-2)-9(1-y)=3(4y-1),(-10,10). 4.小赵去商店买练习本,回来后问同学:“店主告诉我,如果多买一些就给我八折优惠.我就买了20本,结果便宜了1.60元.你猜原来每本价格是多少 ”你能列出方程吗 学生进行达标测评,完成后,教师进行批阅,点评、讲解. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.
【课堂总结】 1.本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2.本节课还有哪些疑惑 说一说! 　　注重课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会.
【作业布置】 教材P5练习.
【板书设计】 实际问题数量关系方程方程的解 　　提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变,本课从探究到应用都有意识地营造一个较为自由的空间,让学生能积极地动手、动口、动脑,使学生在学知识的同时形成方法.整个教学过程突出了三个注重:①注重学生参与知识的形成过程,体验应用数学知识解决简单问题的乐趣;②注重师生间、同学间的互动协作、共同提高;③注重知能统一,让学生在获取知识的同时,掌握方法,灵活应用. ②[讲授效果反思] 在整个教学实施过程中,我自始至终坚持以问题为主线,诱导学生思考问题,进而去解决问题,问题的设计我也遵循学生的思维特点,着重引导学生探索、归纳,注重过程教学,如此既有利于培养学生的分析归纳能力,也真正体现了以学生为主体的教学理念. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质.

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