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/ 让教学更有效 精品教案 | 数学学科
数学广角　重叠问题
【素养目标】
1.理解重叠问题的含义，掌握用集合思想解决重叠问题的方法，能正确地计算总数。
2.经历数据处理过程，培养观察、思考、合作能力，提升逻辑与建模思维。
3.感受数学与生活的关联，激发学习兴趣，增强应用意识与创新实践能力。
【重点难点】
1.理解重叠的本质，用集合思想解决问题，能准确地计算总数。
2.构建集合模型，分析重叠关系，灵活解题。
【方法指导】
1.教学方法：情境教学法、直观演示法、探究式教学法。
2.学习方法：自主探究法、合作交流法、数形结合法。
教学过程
一、导入新课
1.出示题目：班级里喜欢苹果的有8人，喜欢香蕉的有7人，喜欢苹果和香蕉的总人数一定是15人吗？为什么？
请学生自由举手发言，引导他们结合生活实际思考。
明确：有同学既喜欢苹果又喜欢香蕉，这部分同学在8人和7人中都被计数了，所以直接相加会重复。
2.举例拓展：谁能具体说说生活里类似“不能直接把两个数量相加”的事情？
鼓励学生联系课间活动、兴趣爱好等举例，充分唤起学生生活经验，感知重叠问题的普遍性。（顺势揭示课题）
二、探究新知
1.数据呈现与初步观察。
展示教材中的两个名单表。
问：请同学们先独立观察这两组名单，从中能获取哪些信息？
学生自主观察，初步感知数据，发现可能存在的重叠现象。
2.小组合作探究。
展示教材名单表后面的相关问题。
学生分组讨论，教师巡视指导，帮助学生理清思路，鼓励全员参与交流。
思考：当把两个比赛获奖人数相加时，哪些同学被重复计算了？为什么不能直接相加得到两个比赛获奖的总人数？
3.集合图直观演示与方法总结。
小组汇报后，结合学生发现的重叠同学，在黑板或上画出两个集合圈，分别标注“航空模型比赛获奖”“机器人比赛获奖”。
邀请学生上台，将对应班级获奖同学姓名填入集合圈中。先填只参加航空模型比赛的，再填只参加机器人比赛的，最后填两个比赛都参加的（填入重叠部分），边填边引导全班观察，让学生清晰看到重复计数的情况。
师：大家看，这部分同学（重叠处）既属于航空模型比赛获奖，又属于机器人比赛获奖。在之前分别计数时，他们被算了几次呢？
结合集合图讲解：两个集合圈分别代表不同比赛的获奖集合，重叠部分是同时在两个集合里的元素（同时获奖的同学）。
引导学生总结解决重叠问题的基本思路，通过提问启发：“那要算出两个比赛获奖的总人数，怎么避免重复计算呢？”逐步推导得出公式“总数＝集合A数量＋集合B数量－重叠部分数量”，并板书公式。
4.展示“挑战自我”的第1题（长方形重叠问题）。
先引导学生分析：“长方形的面积＝长×宽，两个长方形的面积和是多少，重叠部分是个小正方形，面积怎么算，怎么用公式求组合图形面积”。然后让学生自主列式计算，之后交流分享，教师点评指导，强化对方法的应用。
实战演练
【例1】学校书法社团有12人，绘画社团有15人，经统计发现有3名同学既参加了书法社团又参加了绘画社团。参加书法社团和绘画社团的总人数是多少？
【解题点拨】本题属于重叠问题，关键是理解“既参加书法社团又参加绘画社团的同学”被重复计数。要得到总人数，需用两个社团人数之和减去重叠部分人数，避免重复计算。
【规范解答】12＋15－3＝24（人）
答：参加书法社团和绘画社团的总人数是24。
【解题心得】遇重叠问题，找两集合数量与重叠部分数量，用“总数＝集合A数量＋集合B数量－重叠部分数量”计算，避免重复计算。
【例2】两个长10厘米、宽6厘米的长方形，按下图方式重叠。求重叠后图形的面积。
【解题点拨】本题是图形重叠问题，要先明确两个长方形各自的面积，再找出重叠部分的面积（因重叠部分被两个长方形重复计算，求组合图形面积需减去多算的一次重叠面积）。
【规范解答】10×6＝60（平方厘米）
60×2＝120（平方厘米）
重叠部分面积：3×3＝9（平方厘米）
120－9＝111（平方厘米）
答：重叠后图形的面积是111平方厘米。
【解题心得】图形重叠求面积，先算各部分面积和，再减重叠多算的部分，结合集合思想与面积公式解决。
课堂巩固
见教材课后练习和相应单元的练习部分。
课堂小结
本课时围绕重叠问题，借生活情境让学生感知重叠现象，用集合思想理解“总数＝集合A数量＋集合B数量－重叠部分数量”，能解决社团人数、图形面积等问题，提升逻辑与应用意识。
教学反思
　　情境导入贴合生活，探究推导扎实，联系生活实例，学生易理解、参与度高。但拓展变式题不足，评价方式单一。后续应设计分层练习；补充多集合、复杂情境拓展题；引入互评、过程性评价，充分激励学生主动学习。

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