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第3讲　小题研透——平面向量
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
平面向量的线性运算及基本定理（共线向量定理） 本部分以考查与平面向量基本定理有关的线性运算、向量数量积的运算、向量的夹角及模为主.单独命题时以选择、填空题考查，难度中等偏下，有时也在解答题中突出向量作为预备知识的工具作用，难度中等偏下
平面向量的数量积及其应用（平面向量的夹角（垂直）、模）
与向量有关的最值（范围）问题
二、真题感悟
1.（2022·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的线性运算）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　）
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
2.（2024·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的数量积及垂直）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A.－2　　B.－1 C.1　　D.2
3.（2022·新高考Ⅱ卷4题）（由平面向量的夹角求参数）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　）
A.－6 B.－5
C.5 D.6
4.（2023·新高考Ⅱ卷13题）（求平面向量的模）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　.
重｜难｜排｜查
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.向量平行的坐标表示
（1）如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（b≠0），则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为（x2－x1）（y3－y1）－（x3－x1）（y2－y1）＝0.
3.向量数量积的应用
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：
（1）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0；
（2）求解夹角问题，常利用夹角公式：cos θ＝＝（其中θ为a与b的夹角）；
（3）求模长问题，常利用模长公式：｜a｜＝＝或｜｜＝.
易错提醒　找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视.
平面向量的线性运算
【例1】　（1）在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，M为BC的中点，则＝（　　）
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
（2）如图，BE，CD分别是△ABC的边AC，AB上的中线，BE与CD交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则x＋y＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
感悟提升
1.对平面向量加法运算抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法运算抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.
2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.
1.已知向量a＝（1，0），b＝（2，1）.若ka－b与a＋2b共线，则k＝　　　　；若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，则实数m的值为　　　　.
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋（b－2c）＋c＝0，则△ABC的形状为　　　　三角形.
平面向量的数量积运算
【例2】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　）
A. B.
C. D.1
（2）在菱形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC和CD的中点，且·＝4，则·＝（　　）
A.1 B.
C.2 D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
感悟提升
平面向量数量积问题的解题方法
（1）借“底”数字化：要先选取一组合适的基底（一般用已知的向量表示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解；
（2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决.
　（2024·兰州市高三诊断考试）在等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则cos＜，＞＝　　　　.
平面向量中的最值（范围）问题
【例3】　（1）已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且＜a，c＞＝，若b2－8b·c＋15＝0，则｜a－b｜的最小值为　　　　；
（2）（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　　　；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
感悟提升
平面向量中最值（范围）问题的求解思路
（1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值（范围）问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
（2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
1.（2024·石家庄教学质量检测）在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是（　　）
A.［－，－］ B.［－，］
C.［－，］ D.［－，－］
2.（2024·湖南教研联盟第二次联考）设＝（1，0），＝（0，2），对满足条件｜－－｜＝2｜－｜的点C（x，y），O为坐标原点，｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则实数m的取值范围为（　　）
A.（－∞，－7）
B.[13，＋∞）
C.（13，＋∞）
D.（－∞，－7）∪[13，＋∞）
3 / 6复习讲义部分
第一篇　主攻篇
专题一　基础知识
第1讲　小题研透——集合、复数与常用逻辑用语
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.A　法一　因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二　将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
2.A　法一（列举法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
3.C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
4.A　∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
5.B　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B.
6.C　a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误.
【研透高考·攻重点】
【例1】　（1）A　（2）A　解析：（1）因为2∈A且1 A，所以解得m∈（，］，故选A.
（2）∵B＝{y｜y＝2x，x∈R}，∴B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为 U（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.
跟踪训练
1.C　由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x－3）≤0，解得－≤x≤3，所以A＝x｜－≤x≤3.由B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
2.B　因为x＝sin的周期T＝＝4，且n∈Z，当n＝1时，x＝1，当n＝2时，x＝0，当n＝3时，x＝－1，当n＝4时，x＝0，所以A＝{－1，0，1}，又B＝{0，1}，所以B A，A≠B，A∩B＝{0，1}， AB＝{－1}，故A、C、D不正确，B正确，故选B.
3.AB　对于A，由题意知，（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B，A正确；对于B，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}，所以AΘB＝{1，4}，B正确；对于C，若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则A∩B＝ ，所以AΘB＝A∪B.又0 A∪B，所以0 AΘB，C错误；对于D，若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则A∪B＝{x｜－2＜x＜5}，且A∩B＝{x｜0＜x＜3}，所以AΘB＝{x｜－2＜x≤0，或3≤x＜5}，D错误.故选A、B.
【例2】　（1）D　（2）C　解析：（1）由题意，得z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，故选D.
（2）由题意，得z＝＝＝＝i，所以复数z在复平面内对应的点为Z（0，1），所以＝（0，1），所以｜｜＝＝1，故选C.
跟踪训练
1.B　法一　由2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，得｜2z1－z2｜2＝4－4z1z2＋＝4，将｜z1｜＝1，｜z2｜＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以z1＋z22＝＋＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以z1＋z2＝，故选B.
法二　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则2＝＝＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4，8－4（ac＋bd）＝4，即ac＋bd＝1，则｜z1＋z2｜
＝
＝
＝＝，故选B.
2.AD　因为z1＝－i，则其对应的点为A（，－），z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B（－，－）.对于A，｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝（－i）（－－i）＝（－i）2－（）2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝（－1，0），则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，｜｜＝1，z1－z2＝1，所以｜｜＝｜z1－z2｜，所以选项D正确.综上，选A、D.
【例3】　（1）C　（2）必要不充分
解析：（1）由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.
（2）p： x∈R，x2－4x＋2m≥0为真命题，则Δ＝16－8m≤0，故m≥2.因为{m｜m≥3} {m｜m≥2}，所以p是q的必要不充分条件.
跟踪训练
1.A　由得m＝2；由得m＝.所以“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选A.
2.B　对于A， x∈R，x2＋ln x＞x，是全称量词命题，故A错误；对于B，存在一个三位数，它是质数且大于991，是存在量词命题，其中997是质数且大于991，故B正确；对于C， x∈R，sin x＋cos x＝1.42，是存在量词命题，但sin x＋cos x的最大值为，故C错误；对于D，在区间（0，99）内，至少存在50个奇数，是存在量词命题，且在区间（0，99）内，至少存在49个奇数，故D错误，故选B.
第2讲　小题研透——不等式
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.B　法一　当b＞c≥0时，b2＞c2，当c＜b≤0时，b2＜c2，所以a＋b2＞a＋c2不一定成立，故A错误；因为b＞c，a2≥0，所以a2＋b＞a2＋c成立，故B正确；当a＞0，c＜b≤0时，ab2＜ac2，故C错误；当a＝0时，a2b＞a2c不成立，故D错误.综上，选B.
法二　令a＝0，b＝－1，c＝－2，分别代入选项A、B、C、D可知只有a2＋b＞a2＋c成立，故选B.
2.A　由题意得＝4tan，因为当x∈（0，）时，x＜tan x，所以tan＞，即＞1，所以c＞b.因为当x∈（0，）时，sin x＜x，所以cos＝1－2sin2＞1－2×（）2＝，即b＞a，所以c＞b＞a.故选A.
3.BC　因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误.故选B、C.
【研透高考·攻重点】
【例1】　D　对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，若取a＝2 025，b＝2 024，满足a＞b，此时＝1＜，所以B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D.
跟踪训练
　ABD　由于a＞b＞0＞c，对于A：－＝c（－）＝c（）＞0，故－＞0，所以＞，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以＞，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，ac＜bc，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c≥2＝2，故D正确.
【例2】　D　当m＝0时，M∩N＝{0}不合题意.当m≠0时，关于x的方程x2－2mx－3m2＝0的两根为－m，3m，关于x的方程x2＋mx－2m2＝0的两根为m，－2m，当m＞0时，M＝{x｜－m≤x≤3m}，N＝{x｜－2m≤x≤m}，M∩N＝{x｜－m≤x≤m}，当m＜0时，M＝{x｜3m≤x≤－m}，N＝{x｜m≤x≤－2m}，M∩N＝{x｜m≤x≤－m}.因为M∩N的长度为4，所以2m＝4或－2m＝4，得m＝2或m＝－2.当m＝2时，M＝{x｜－2≤x≤6}，N＝{x｜－4≤x≤2}，M∪N＝{x｜－4≤x≤6}，当m＝－2时，M＝{x｜－6≤x≤2}，N＝{x｜－2≤x≤4}，M∪N＝{x｜－6≤x≤4}.所以M∪N的长度为10，故选D.
跟踪训练
1.A　由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a且a＜0，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.故选A.
2.[－1，0）∪（6，7]　解析：不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7].
【例3】　（1）B　（2）C　解析：（1）由题意知a＋2b＋1＝（a＋b＋b＋1）·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时取等号，此时a＋2b取得最小值8.故选B.
（2）∵x＜，∴3x－2＜0.f（x）＝3x－2＋＋3＝－［（2－3x）＋］＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”.故f（x）＝3x＋1＋有最大值－3.故选C.
跟踪训练
1.B　由x－y＋5＝xy得xy＋y＝x＋5，所以y＝，所以x＋y＝x＋＝x＋＝（x＋1）＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝（x＞0），即x＝1时，等号成立，此时y＝3，故x＋y的最小值为4.故选B.
2.BCD　对于A，＋＝（＋）·（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，所以A错误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋≥，当且仅当b＝，a＝时取得最小值，所以B正确；对于C，loa＋lob＝lo（ab）＝lo［（a·2b）］≥1＋lo（）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝22b，即a＝2b＝时等号成立，所以D正确.故选B、C、D.
第3讲　小题研透——平面向量
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.B　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
2.D　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
3.C　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
4.　解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
【研透高考·攻重点】
【例1】　（1）B　（2）　解析：（1）
如图，因为在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，所以AB∥CD，AD＝BC.因为M为BC的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋＋＝＋.故选B.
（2）由题意知，点F是△ABC的重心，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝＋＝a＋b，∴x＝y＝，x＋y＝.
跟踪训练
1.－　　解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－.∵＝2a＋3b＝（8，3），＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴∥，即＝，解得m＝.
2.等边　解析：∵a＋（b－2c）＋c＝0，∴a＋（b－2c）＋c（－）＝0，即（a－c）＋（b－c）＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形.
【例2】　（1）B　（2）B　解析：（1）因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.
（2）
作出图形如图，选择一组不共线的向量，作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，所以·＝·（＋）＝·＋＝4，所以·＝2.所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝·＋－＝×2＝，故选B.
跟踪训练
　－　解析：
如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－.
【例3】　（1）－1　（2）　－
解析：（1）由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝，∴｜a－b｜min＝－1＝－1.
（2）
以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，1），所以＝（－，1），＝（－1，0），＝（0，1），因为＝λ＋μ，所以（－，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B（1，0），E（，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（≤a≤1），则G（，），所以＝（a，3－3a），＝（，），所以·＝a·＋（3－3a）·＝5a2－6a＋＝5（a－）2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－.
跟踪训练
1.A　
如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈［－，－］，故选A.
2.B　由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故选B.
培优点　极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心
【例1】　（1）A　（2）[0，2]　解析：（1）由极化恒等式可知，a·b＝＝＝1.故选A.
（2）
当弦MN的长度最大时，MN为球O的直径，连接PO，如图所示，则·＝－＝－1.因为P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，]，所以·∈[0，2].
跟踪训练
1.　解析：连接EG，FH交于点O（图略），则·＝－＝1－（）2＝，·＝－＝1－（）2＝，因此·＋·＝.
2.－　解析：
如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB的中点，所以（＋）·＝2·，由极化恒等式得·＝－＝－，因此当P为OC的中点，即｜｜＝0时，（＋）·取得最小值－.
【例2】　（1）C　（2）C　解析：（1）因为｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点O为△ABC的外心，因为＋＋＝0，所以点N为△ABC的重心，因为·＝·＝·，所以点P为△ABC的垂心.故选C.
（2）法一　延长CO到点M（图略），使得＝－，因为＋2＋m＝0，所以－＝＋，即＝＋，所以A，B，M三点共线，又因为与反向共线，所以＝，所以＝＝＝，解得m＝4.
法二（奔驰定理法）　根据奔驰定理，由＋2＋m＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以＝＝ m＝4.
跟踪训练
1.C　＝λ＋μ可化为＋λ－λ＋μ－μ＝0，整理得（1－λ）＋（λ－μ）·＋μ＝0，所以（1－λ）∶（λ－μ）∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝，μ＝，所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
2.解：由奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，两边平方得＝4x2＋4y2＋8xy｜｜·｜｜·cos∠BPC，∵点P是△ABC的外心，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，且∠BPC＝2∠BAC＝，∴x2＋y2＋xy＝，从而（x＋y）2＝＋xy≤＋（ ）2，解得0＜x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号，∴（x＋y）max＝.
1 / 3第3讲　小题研透——平面向量
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
平面向量的线性运算及基本定理（共线向量定理） 本部分以考查与平面向量基本定理有关的线性运算、向量数量积的运算、向量的夹角及模为主.单独命题时以选择、填空题考查，难度中等偏下，有时也在解答题中突出向量作为预备知识的工具作用，难度中等偏下
平面向量的数量积及其应用（平面向量的夹角（垂直）、模）
与向量有关的最值（范围）问题
二、真题感悟
1.（2022·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的线性运算）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　）
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
解析：B　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
2.（2024·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的数量积及垂直）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A.－2　　　　B.－1 C.1　　　　D.2
解析：D　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
3.（2022·新高考Ⅱ卷4题）（由平面向量的夹角求参数）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　）
A.－6 B.－5
C.5 D.6
解析：C　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
4.（2023·新高考Ⅱ卷13题）（求平面向量的模）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝.
解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
重｜难｜排｜查
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.向量平行的坐标表示
（1）如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（b≠0），则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为（x2－x1）（y3－y1）－（x3－x1）（y2－y1）＝0.
3.向量数量积的应用
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：
（1）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0；
（2）求解夹角问题，常利用夹角公式：cos θ＝＝（其中θ为a与b的夹角）；
（3）求模长问题，常利用模长公式：｜a｜＝＝或｜｜＝.
易错提醒　找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视.
平面向量的线性运算
【例1】　（1）在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，M为BC的中点，则＝（　B　）
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
（2）如图，BE，CD分别是△ABC的边AC，AB上的中线，BE与CD交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则x＋y＝.
解析：（1）如图，因为在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，所以AB∥CD，AD＝BC.因为M为BC的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋＋＝＋.故选B.
（2）由题意知，点F是△ABC的重心，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝＋＝a＋b，∴x＝y＝，x＋y＝.
感悟提升
1.对平面向量加法运算抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法运算抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.
2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.
1.已知向量a＝（1，0），b＝（2，1）.若ka－b与a＋2b共线，则k＝－；若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，则实数m的值为.
解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－.∵＝2a＋3b＝（8，3），＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴∥，即＝，解得m＝.
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋（b－2c）＋c＝0，则△ABC的形状为等边三角形.
解析：∵a＋（b－2c）＋c＝0，∴a＋（b－2c）＋c（－）＝0，即（a－c）＋（b－c）＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形.
平面向量的数量积运算
【例2】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　B　）
A.　　　　B. C.　　　　D.1
（2）在菱形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC和CD的中点，且·＝4，则·＝（　B　）
A.1 B.
C.2 D.
解析：（1）因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.
（2）作出图形如图，选择一组不共线的向量，作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，所以·＝·（＋）＝·＋＝4，所以·＝2.所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝·＋－＝×2＝，故选B.
感悟提升
平面向量数量积问题的解题方法
（1）借“底”数字化：要先选取一组合适的基底（一般用已知的向量表示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解；
（2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决.
　（2024·兰州市高三诊断考试）在等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则cos＜，＞＝－.
解析：如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－.
平面向量中的最值（范围）问题
【例3】　（1）已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且＜a，c＞＝，若b2－8b·c＋15＝0，则｜a－b｜的最小值为－1；
（2）（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为－.
解析：（1）由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝，∴｜a－b｜min＝－1＝－1.
（2）以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，1），所以＝（－，1），＝（－1，0），＝（0，1），因为＝λ＋μ，所以（－，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B（1，0），E（，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（≤a≤1），则G（，），所以＝（a，3－3a），＝（，），所以·＝a·＋（3－3a）·＝5a2－6a＋＝5（a－）2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－.
感悟提升
平面向量中最值（范围）问题的求解思路
（1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值（范围）问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
（2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
1.（2024·石家庄教学质量检测）在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是（　　）
A.［－，－］ B.［－，］
C.［－，］ D.［－，－］
解析：A　如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈［－，－］，故选A.
2.（2024·湖南教研联盟第二次联考）设＝（1，0），＝（0，2），对满足条件｜－－｜＝2｜－｜的点C（x，y），O为坐标原点，｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则实数m的取值范围为（　　）
A.（－∞，－7）
B.[13，＋∞）
C.（13，＋∞）
D.（－∞，－7）∪[13，＋∞）
解析：B　由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故选B.
1.（2024·贵阳摸底）如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝（　　）
A.－＋ B.－＋
C.＋ D.－
解析：A　因为D为线段BC的中点，则＝＋，因为点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝＝（＋）＝＋，因此，＝－＝＋－＝－＋.故选A.
2.已知平面向量a＝（1，m－1），b＝（m，m＋3），若a·b＝｜a｜｜b｜，则实数m＝（　　）
A.3或－1 B.3
C.1或－3 D.－3
解析：B　由a·b＝｜a｜｜b｜可知a与b同向共线.令1×（m＋3）＝（m－1）×m，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，a＝（1，2），b＝（3，6），符合题意；当m＝－1时，a＝（1，－2），b＝（－1，2），不符合题意.故选B.
3.（2024·湖北十一名校第二次联考）已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a·（a＋b）＝（　　）
A.a2 B.b2
C.（a＋b）2 D.（a－b）2
解析：C　由题知｜a｜2＝｜b｜2＝｜a－b｜2，所以｜b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2a·b，即a·b＝｜a｜2，所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝｜a｜2，而（a＋b）2＝a2＋b2＋a·b＝a2＝｜a｜2，故选C.
4.设向量＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为（　　）
A.4 B.6
C.8 D.9
解析：C　由题意得，＝－＝（a－1，1），＝－＝（－b－1，2），∵A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R，则可得2a＋b＝1，∴＋＝（＋）（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当b＝2a＝时，等号成立，∴＋的最小值为8.
5.（2024·淄博一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于x轴对称，向量a＝（0，1），若满足＋a·＝0的点A的轨迹为E，则（　　）
A.E是一条垂直于x轴的直线
B.E是一个半径为1的圆
C.E是两条平行直线
D.E是椭圆
解析：B　设A（x，y），则＝（x，y），＝（x，－y），则＝－＝（0，－2y），所以＋a·＝x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－1）2＝1，所以点A的轨迹E是一个半径为1的圆.故选B.
6.已知非零向量，满足＝，且·＝，则△ABC为（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析：D　由·＝，得cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝.由＝，得（＋）·＝0，∴角A的角平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D.
7.圆的内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·＝（　　）
A.12 B.－12
C.20 D.－20
解析：B　如图，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，所以·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜·｜｜cos∠BDA－｜｜｜｜·cos∠BDC＝｜｜2－｜｜2＝4－16＝－12.故选B.
8.（2024·福建适应性练习卷）已知O是△ABC所在平面内一点，且｜｜＝2，·＝－1，·＝1，则∠ABC的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：B　法一（数形结合法）　由题意知，·－·＝（－）·＝·＝＝2，则｜｜＝，如图1，固定AB，则AC可绕着点A旋转，C的轨迹是以A为圆心，半径为的圆（除去直线AB与圆A的交点），显然当直线BC与圆A相切时，∠ABC取得最大值，此时AC⊥BC，根据勾股定理得｜BC｜＝＝，所以△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝，故选B.
法二（利用余弦定理求解）　由题意知，·－·＝（－）·＝·＝＝2，则｜｜＝，如图2，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则c＝2，b＝，由余弦定理得，cos∠ABC＝＝＝＝＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，又∠ABC∈（0，π），函数y＝cos x在（0，π）上单调递减，cos＝，所以0＜∠ABC≤，故选B.
9.（多选）（2024·武汉调研）已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（－3，4），则（　　）
A.若a∥b，则tan θ＝－
B.若a⊥b，则sin θ＝
C.｜a－b｜的最大值为6
D.若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2
解析：ACD　若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，tan θ＝－，A正确；若a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，tan θ＝，所以sin θ＝±，B错误；因为｜a｜＝＝1，｜b｜＝＝5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝＝＝＝＝2，D正确.故选A、C、D.
10.（多选）（2024·丹东阶段测试）设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，则（　　）
A.a·b＋b·c＋c·a＝－
B.＜a，b＞＝120°
C.｜a－c｜＝
D.cos＜a－c，b－c＞＝
解析：ACD　将a＋b＋c＝0两边平方得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋a·c＋b·c）＝0，由a2＝b2＝1，c2＝3，得a·b＋b·c＋c·a＝－，故A正确；将a＋b＝－c两边平方得（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝c2，则a·b＝，所以＜a，b＞＝60°，故B错误；因为a＋c＝－b，所以｜a＋c｜＝｜b｜＝1，1＝｜a＋c｜2＝4＋2c·a，所以c·a＝－，所以｜a－c｜2＝4－2c·a＝7，即｜a－c｜＝，故C正确；由C的分析得b＋c＝－a，与C同理可得b·c＝－，｜b－c｜＝，所以（a－c）·（b－c）＝a·b－b·c－a·c＋c2＝，所以cos＜a－c，b－c＞＝，故D正确.故选A、C、D.
11.（多选）对任意两个非零向量a，b，定义新运算：a b＝，已知非零向量m，n满足｜m｜＞3｜n｜且向量m，n的夹角θ∈（，），若4（m n）和4（n m）都是整数，则m n的值可能是（　　）
A.2 B.
C.3 D.4
解析：BC　由题意得n m＝＝（k∈Z），因为｜m｜＞3｜n｜＞0，所以0＜＜，因为θ∈（，），所以＜sin θ＜1，所以0＜sin θ＜，即0＜＜，解得0＜k＜，因为k∈Z，所以k＝1，所以n m＝＝，则＝，故m n＝＝4sin2θ，因为θ∈（，），所以＜sin θ＜1，因为0＜＜，所以0＜＜，所以＜sin θ＜1，所以＜sin2θ＜1，则＜4sin2θ＜4，即m n∈（，4）.结合选项知选B、C.
12.（2024·嘉兴调研）已知平面向量a，b，c，a＝（－1，），b＝（，－1），c是非零向量，且c与a，b的夹角相等，则c的坐标可以为（1，1）（答案不唯一，满足横、纵坐标相等且不为0即可）.（只需写出一个符合要求的答案）
解析：设c＝（x，y），由c与a，b的夹角相等，得＝，∴＝，则x＝y，即c的坐标满足x＝y≠0即可.
13.已知向量，满足｜｜2＋｜｜2＝4，｜｜2＝2，设＝2＋，则｜｜的取值范围为［，］.
解析：由｜｜2＋｜｜2＝4，｜｜2＝2可得·＝1，则｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋2·＝6，即｜＋｜＝，｜－｜＝｜｜＝，因为＝2＋＝（＋）＋（－），所以｜｜＋｜－｜－｜｜≤｜｜≤｜＋｜＋｜－｜，即≤｜｜≤.所以｜｜的取值范围为［，］.
14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝，半径为1的☉A分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一个动点，则·的取值范围是[－11，－9].
解析：法一（坐标法）　如图，以A为原点，垂直于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则B（2，－2），C（2，2），设P（cos θ，sin θ），其中θ∈［－，］.所以·＝（2－cos θ，－2－sin θ）·（2－cos θ，2－sin θ）＝（2－cos θ）2＋sin2θ－12＝－7－4cos θ.因为cos θ∈［，1］，所以·∈[－11，－9].
法二（几何法）　如图，取BC的中点M，连接PM，则两个动向量，均可用一个动向量和一个定向量表示.·＝（－）·（＋）＝－.因为MC为定值，所以·的变化可由的变化确定.连接AM，易得AM＝2，MC＝2，当P为劣弧EF与AM的交点时，PM取得最小值，为AM－1＝1；连接EM，PM的最大值为EM＝＝.所以－的取值范围是[－11，－9]，即·∈[－11，－9].
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