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第八章 实 数
8．1　平方根
第1课时　平方根
【教材分析】
学生已经学习了正整数、有理数等基本概念，以及乘方运算等基础知识，这为学习平方根提供了必要的认知前提．在教学过程中，一定要让学生理解平方根的真正含义，加深印象，将平方根与±对应起来，发展符号意识，培养抽象逻辑思维，养成严谨的数学思维习惯．
【情境导入】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在计算x2＝4时，小雪与小影出现了不同的看法，因为小雪认为22＝4，所以x＝2；小影则认为(－2)2＝2，所以x＝－2.聪明的你能判断两人谁说得对吗？
【说明与建议】　说明：由两位同学的认知冲突引出平方根的概念，两人的认识都存在着缺陷．建议：出示问题后由学生通过讨论确定两人说法的片面性，自然强调应当全面的认识问题，从而导入新课．
【教学设计】
课题 8.1　第1课时　平方根 授课人
素养目标 1.掌握平方根的概念．2．能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系．3．运用类比、化归等数学思想方法解决问题，提高对知识的迁移能力．4．培养探究能力和归纳问题的能力.
教学重点 掌握平方根的定义及性质，理解开方和乘方互为逆运算.
教学难点 会求非负数的平方根.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．注意(－3)2＝9中括号的作用. 这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．平方根的概念填表：
x21163649x　　师生活动：学生先独立填表，教师再引导学生总结出平方根的概念.
总结：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根．即如果x2＝a，那么x叫作a的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方.
2.平方根的性质
两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1，4，9的平方根，感知平方根的性质.
思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 通过填表中的x的值，进一步加深对“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备.
使学生对有理数的平方根有一个全面的认识，也是平方根概念的进一步深化.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．我们知道，正数a的正平方根可以用表示，读作“根号a”．正数a的负的平方根，可以用－表示，故正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．注意：只有当a≥0时有意义，当a＜0时无意义. 体验分类思想，巩固平方根的概念．加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　求下列各数的平方根：(1)100；　(2)；　(3)0.25.解：(1)因为(±10)2＝100，所以100的平方根是±10.(2)因为(±)2＝，所以的平方根是±.(3)因为(±0.5)2＝0.25，所以0.25的平方根是±0.5.例2　(教材第41页例2)下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由．(1)0.36；　(2)－5；　(3)(－4)2.解：(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±＝±0.6.(2)因为－5是负数，所以－5没有平方根．(3)因为(－4)2＝16是正数，所以(－4)2有两个平方根，±＝±＝±4.【变式训练】1．49的平方根是(A)A．±7 B．± C．7 D．－72．16的平方根是±4，的平方根是±2．3．求下列各数的平方根：(1)121；　(2)0.81；　(3)；　(4)0.解：(1)±＝±11.(2)±＝±0.9.(3)±＝±.(4)±＝0.4．一个正数的平方根分别为2a＋1和a－4，求这个数．解：由题意，得2a＋1＋a－4＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法. 通过例题和变式训练，学生学会如何计算一个非负数的平方根．教师注意强调书写规范，请学生理解一个非负数a的平方根用“±”表示，切不可忘记“±”.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法错误的是(D)A．负数没有平方根 B．±＝±0.5C．3是9的一个平方根 D．0没有平方根2．已知一个正数x的两个平方根是a＋1和a－3，则a的值是1．3．求下列各式中x的值．(1)9x2－25＝0；(2)(x－1)2＝36.解：(1)移项，得9x2＝25，两边都除以9，得x2＝，由平方根的定义，得x＝±.(2)由平方根的定义，得x－1＝±6，所以x＝7或x＝－5.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 通过课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂小结 1.课堂小结：(1)什么叫作一个数的平方根？(2)正数、0、负数的平方根有什么规律？(3)怎样求出一个数的平方根？数a的平方根怎样表示？2．布置作业：教材第41～42页练习第1，2，3题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
第2课时　算术平方根及其应用
【教材分析】
本课时在学方根的基础上，进一步学习算术平方根的概念及性质．算术平方根不仅是后续学习立方根的基础，更是连接代数与几何知识的桥梁．它是学习实数的过渡与衔接，为八年级学习二次根式做铺垫，提供知识积累，在整个代数学习中有着举足轻重的地位．　　　　　　　　　
【情境导入】
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．v的大小满足v2＝2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106 m．怎样求v呢？
【说明与建议】　“天问一号”是中国首次火星探测任务，具有重要的历史意义和科学价值．它标志着中国在深空探测领域取得了重大突破，成为世界上少数几个能够独立完成火星探测任务的国家之一．天问一号的成功发射和实施，不仅展示了中国在航天技术上的进步，也体现了中华民族对真理追求的坚韧与执着．此内容有感染力，使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣．建议：教师可借此公式引出如何求解v的值．
【教学设计】
课题 8.1　第2课时　算术平方根及其应用 授课人
素养目标 1.掌握算术平方根的意义和求法以及实际应用，了解算术平方根的非负性．2．独立思考，合作交流，经历从平方运算到求算术平方根的演变过程，体会二者的互逆关系，并会用算术平方根解决实际问题．3．培养合作探究的能力，建立初步的数感和符号意识，发展思维能力，提高实际应用能力．4．体会数学与实际生活紧密联系，培养善于发现问题和提出问题的习惯.
教学重点 了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
教学难点 掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾
正方形的边长120.5正方形的面积表1 通过求面积来复习平方运算，与本节课要学习的算术平方根为互逆运算，为本节课做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长是多少？ 通过实际问题进入新课，激发学生的学习兴趣，感受将生活问题转化为数学问题.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】
1.算术平方根的概念
正方形的面积191636正方形的边长表2
问题1　观察表1和表2，分别是什么运算？
问题2　这两种运算有什么关系？
表1：已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算.
表2：已知一个正数的平方，求这个正数.
这两种运算是互逆的.
归纳：我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根用来表示，规定：0的算术平方根是0，0的算术平方根也记为.
2.算术平方根的性质
中a可以取任何数吗？(思考：面积可以为负数吗？)
因为x2＝a，x2≥0，所以a≥0，故a只能为非负数.
a的算术平方根也是非负数，即≥0.
也就是说，非负数的算术平方根是非负数．负数不存在算术平方根，即当a<0时，无意义.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　归纳：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立．3．平方根与算术平方根的区别引导学生归纳平方根与算术平方根的区别和联系．联系：(1)包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．(2)只有非负数才有平方根和算术平方根．(3)0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：(1)个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．(2)表示方法不同：非负数a的平方根表示为±，而算术平方根表示为. 学生通过两个表格的对比，进一步体会求平方和算术平方根的过程，感受二者之间的互逆运算，进而归纳算术平方根的概念.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第42页例3)求下列各数的算术平方根：(1)100；　(2)；　(3)0.000 1.解：(1)因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即＝10.(2)因为()2＝，所以的算术平方根是，即＝.(3)因为0.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即＝0.01.例2　求下列各式的值：(1)；　(2)－；　(3)±.解：(1)因为62＝36，所以＝6.(2)因为0.92＝0.81，所以－＝－0.9.(3)因为()2＝，所以±＝±.例3　若|m－1|＋＝0，求m－n的算术平方根．解：因为|m－1|＋＝0，且|m－1|≥0，≥0，所以|m－1|＝0，＝0.所以m＝1，n＝－3.所以＝＝＝2，即m－n的算术平方根为2.【变式训练】已知3＋a的算术平方根是5，求a的值．解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5.所以3＋a＝25.所以a＝22.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法. 通过例题，学生学会如何计算一个数的算术平方根，理解算术平方根的非负性.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.的算术平方根是(A)A．2 B．±2 C．4 D．±42．下列说法正确的是(D)A.＝－3B.＝－3C．因为＝16，所以＝－4D．1的算术平方根是它本身3．已知一个正方体的表面积为24 dm2，则这个正方体的棱长为2dm.4．求下列各数的算术平方根：(1)121；　(2)0；　(3)；　(4)0.01.解：(1)11.(2)0.(3).(4)0.1.5．已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求y－x的算术平方根．解：由题意，得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以y－x＝2－1＝1.因为＝1，所以y－x的算术平方根为1.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课你有哪些收获？主要学习了哪些知识？(2)本节课还有哪些疑惑？2．布置作业：教材第43～44页练习第1，2，3题. 注重课堂小结，激发学生主动参与课堂总结，为每一个学生的发展与表现创造机会.
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
第3课时　用计算器求一个正数的算术平方根及估算
【教材分析】
在出现以前，学生已经知道乘方运算，通过观察的方法求出一些完全平方数的算术平方根，但对于像2这样的非完全平方数，如何求出它的算术平方根，对学生来说是一个问题．本节课通过折纸认识第一个无理数，探究“有多大”的问题过程中，体现了数学中“无限逼近”的思想，使学生体会无限不循环小数的含义，为后面学习实数做好铺垫．
【情境导入】
请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形．
因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a2＝2，那么a是多少？这个数是多大呢？
【说明与建议】　说明：学生动手操作后，教师引导学生根据正方形的面积公式及算术平方根的概念得出大正方形的边长为.建议：通过做数学试验让学生体会的大小．
【教学设计】
课题 8.1　第3课时　用计算器求一个正数的算术平方根及估算 授课人
素养目标 1.通过由正方形面积求边长，经历的估值过程，加深对算术平方根概念的理解，感受无理数，初步了解无限不循环小数的特点．2．会用计算器求一个数的算术平方根，能够估算一个数的算术平方根的大致范围．3．掌握估算的方法，比较两个数的算术平方根的大小，形成估算的意识．4．了解两个方向无限逼近的数学思想，锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.
教学重点 会估算一个正数的算术平方根.
教学难点 会用算术平方根的知识解决实际问题.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　正方形的面积等于4，它的边长等于2；正方形的面积等于1，它的边长等于1，＝2，＝1，那么等于多少呢？ 已知正方形的面积求边长，从学生较为熟悉的完全平方数过渡到非完全平方数，激发学生的好奇心与求知欲.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形．你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为x，则x2＝2，由算术平方根的意义可知，x＝，所以大正方形的边长为. 通过学生的操作，由大正方形的面积为2及算术平方根的概念引出大小的估算，自然过渡到本课时内容.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1.的大小由上面的试验我们认识了，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论的大小．因为12＝1，22＝4，所以1＜＜2.因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，所以1.4＜＜1.5.因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，所以1.41＜＜1.42.因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225，所以1.414＜＜1.415.……如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们称为无限不循环小数.＝1.414 213 56…师生活动：教师引导学生思考算术平方根的意义，利用平方运算来估算的大小．学生第一次接触这种两个方向向中间无限逼近的数学思想，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍. 在探究活动中加强培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受两个方向无限逼近的数学思想，发展学生的抽象思维，了解无限不循环小数的特征.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 ＝1.414 213 56…，是一个无限不循环小数，没有办法用小数全部表示出来，类似这样的数还有很多，比如，，等，圆周率π也是一个无限不循环小数．2．利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数)．(1)利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
………0.250.792.57.92579250…　　结论：从运算结果可以发现，被开方数扩大为原来的100倍(或缩小到原来的)时，它的算术平方根就扩大为原来的10倍(或缩小到原来的).
(2)用计算器计算(结果保留4个有效数字)，并利用你发现的规律写出，，的近似值．你能根据的值求出的值吗？
由≈1.732可得，≈0.173 2，≈17.32，≈173.2.
师生活动：学生独立利用计算器得出结果，发现规律．教师帮助总结，注意引导、强调易错点．由的值不能求出的值，因为规律是被开方数扩大为原来的100倍(或缩小到原来的)时，它的算术平方根才扩大为原来的10倍(或缩小到原来的)，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出. 通过用计算器求算术平方根，学生进一步体会无限不循环小数的现实性和存在性，发展数感.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第44页例4)用计算器求下列各式的值：
(1)；　(2)(结果保留小数点后三位).
解：(1)依次按键 ，显示：56.所以＝56.
(2)依次按键 ，显示：1.414 213 562.所以≈1.414.
注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同.
例2　(教材第45页例5)小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知道能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
根据边长与面积的关系，得3x·2x＝300，6x2＝300，x2＝50，
由边长的实际意义，得x＝.
因此长方形纸片的长为3 cm.因为50>49，所以>7.
由上可知3>21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.因为＝20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不同意小明的说法．小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 1.通过例题和变式训练，学生学会使用计算器来计算一个非负数的算术平方根，发展符号意识.
2.灵活运用估算来比较大小，确定范围，发展学生的数感.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式训练】1．一个边长为a的正方形的面积为28，则边长a满足(C)A．2＜a＜3 B．3＜a＜4C．5＜a＜6 D．7＜a＜82．通过估算比较下列各组数的大小：(1)与1.9；　(2)与1.5.解：(1)因为＞，所以＞2.所以＞1.9.(2)因为＞，所以＞2.所以＞＝1.5.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
活动四：课堂检测 【课堂检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.用计算器求的结果约为(D)A．12.17 B．±1.86 C．1.86 D．1.872．估算－2的值(C)A．在1和2之间 B．在2和3之间C．在3和4之间 D．在4和5之间3．若两个连续整数x，y满足x＜＋1＜y，则x＋y＝7．4．比较下列各组数的大小．(1)与9；　(2)与；　(3)－13与－；　(4)与1.解：(1)＜9.(2)＜.(3)－13＞－.(4)＜1.5．已知≈1.414，求，，，的值．解：≈0.141 4，≈0.014 14，≈14.14，≈141.4.师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结：(1)被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法求算术平方根的近似值；(2)利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值．2．布置作业：教材第46页练习第1，2，3题. 通过课堂小结的形式，学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.

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