资源简介

课时教学设计
课题 数学广角：重叠问题 课型：新授课 课时：一课时
授课时间 年 月 日 第 周 第 节
1.教材分析： 本课内容选自人教版小学数学三年级下册第九单元“数学广角——集合”，主要引导学生通过解决生活中常见的“重复”现象，初步理解集合思想，认识维恩图的结构与意义。教材以学生熟悉的获奖名单为情境，引出人数统计中的重复问题，帮助学生从具体到抽象地建立集合模型，掌握解决重叠问题的基本方法，为后续学习更复杂的分类与逻辑推理打下基础。
2.学情分析： 三年级学生已具备一定的观察、分析和归纳能力，能够进行简单的数据整理与计算。但在面对“重复计数”的实际问题时，容易忽略交叉部分的存在，导致直接相加得出错误结果。学生对图形化表达方式较为感兴趣，但尚未系统接触过集合概念和维恩图。因此，教学中应借助贴近生活的情境和直观图示，引导学生发现矛盾、提出问题，并通过动手画图、讨论交流等方式逐步构建集合思维，提升逻辑表达能力。
3.核心素养目标： ①情境与问题：创设“科技节获奖名单”“猜字谜”等真实生活情境，引导学生在具体问题中识别“重复参与”的现象，激发探究欲望，发展从现实情境中抽象出数学问题的能力，体会数学与生活的紧密联系； ②知识与技能：经历解决问题的全过程，了解简单的集合知识，能正确使用维恩图表示两个集合之间的关系，掌握“总数=各部分之和－重复部分”的计算方法，并能运用该策略解决类似的实际问题； ③思维与表达：通过画图分析、列式解答等活动，培养学生有序思考、逻辑推理的能力，学会用数学语言清晰表达解题思路，提升借助图形工具进行数学表征和问题解决的意识； ④交流与反思：在小组合作与全班交流中，乐于倾听他人观点，敢于表达自己的想法，养成勤于思考、善于总结的良好学习习惯，在不断反思中优化解题策略，增强数学学习的兴趣与信心。
4.学习重点难点： 重点：经历解决问题的过程，了解简单的集合知识，初步感受集合的意义。 难点：学会借助维恩图，运用集合思想解决较简单的实际问题。
5.教学准备：课件
6.学习活动设计：
教学环节一：学习目标
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 出示本节课的学习目标，逐条朗读并简要解释关键词含义。
2. 强调“重叠问题”是生活中常见的数学现象，鼓励学生带着目标进入学习状态。 1. 认真聆听教师宣读学习目标。
2. 明确本节课将要学习的内容与要求。 让学生清楚知道本节课的学习方向和预期达成的目标，增强学习的目的性和主动性。
教学环节二：情境导入
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 播放脑筋急转弯：“两位妈妈和两个女儿一同去看电影（每人都得买一张票），可是她们只买了3张票，便顺利地进了电影院。这是为什么？”
2. 提问启发：这三人之间是什么关系？你能说清楚吗？
3. 鼓励学生尝试用画图的方式表示人物关系。 1. 思考问题，尝试理解其中的逻辑关系。
2. 预设：奶奶、妈妈、女儿三人，妈妈既是女儿又是母亲，所以只有三人。
3. 尝试在练习本上画出三人关系图。 通过趣味性问题引发认知冲突，激发学生兴趣，初步感知“一人双重身份”即“重叠”现象的存在，为引入集合思想做铺垫。
1. 追问：“除了文字说明，还有什么方法可以更清楚地表示这种关系？”
2. 引导学生认识到图示法的直观优势。
3. 揭示课题：“今天我们就来学习如何用图形解决这类‘重叠’问题。” 1. 回忆以往学习中是否见过类似的图。
2. 预设：可以用圈圈画画的方式来表示谁属于哪一类。
3. 倾听教师讲解，明确本节课主题。 引导学生从具体情境中提炼数学问题，体会图示表达的优势，自然过渡到新知学习。
教学环节三：新知讲解
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 展示教材P102例题情境：某校科技节中三（1）班、三（2）班航空模型、机器人作品获奖学生名单。
2. 提问：“三（1）班航空模型获奖的有几人？机器人作品获奖的有几人？一共多少人？”
3. 组织学生独立填写答案。 1. 观察表格信息，分别数出两类获奖人数。
2. 预设：航空模型6人，机器人6人，共12人。
3. 独立完成填空。 引导学生回顾已有统计经验，建立初步的数量感知，为后续对比埋下伏笔。
1. 继续提问：“三（2）班航空模型获奖的有几人？机器人作品获奖的有几人？一共多少人？”
2. 引导学生核对名单，发现杨明、罗阳两人同时出现在两个项目中。
3. 设疑：“还能用‘6+6=12’计算总人数吗？为什么？” 1. 数出每类获奖人数。
2. 发现杨明、罗阳重复出现。
3. 预设：不能直接相加，因为有两个人重复了，会多算一次。 制造认知冲突，促使学生意识到“重复”会导致计数错误，激发寻找新方法的需求。
1. 提出任务：“你有什么办法能清楚地表示三（2）班获奖学生的情况？”
2. 鼓励学生尝试画图表达，提示可用不同颜色或区域区分。
3. 巡视指导，收集典型作品准备展示。 1. 动手尝试画图表示两类获奖情况。
2. 使用线条、方框、圆圈等方式尝试分类。
3. 部分学生开始尝试将重复的人放在中间位置。 鼓励学生自主探究，经历“从无到有”的图示建构过程，发展创新思维和动手实践能力。
1. 展示学生作品，重点呈现接近维恩图的画法。
2. 引入标准维恩图：用两个相交的圆圈分别表示“航空模型获奖”和“机器人作品获奖”。
3. 动态演示绘制过程：左边圆圈写只参加航空模型的学生，右边圆圈写只参加机器人的学生，中间重叠部分写两项都获奖的学生。 1. 观察同学的作品，比较异同。
2. 跟随教师演示，在课本或练习本上同步绘制维恩图。
3. 理解三个区域的含义：只参加一项、两项都参加。 通过对比优化，引出规范的维恩图表示法，帮助学生建立正确的集合图示模型，理解其结构与意义。
1. 提问：“现在你能列出算式求出三（2）班获奖总人数吗？”
2. 引导学生根据维恩图写出算式：6 + 6 – 2 = 10（人）。
3. 解释每一步的意义：6是航空模型人数，6是机器人人数，减去2是因为两人被重复计算了一次。 1. 观察维恩图，尝试列式计算。
2. 预设：6 + 6 – 2 = 10（人）。
3. 口述算式含义：减去重复的2人，避免多算。 引导学生由形入数，实现从图形表达到数量运算的转化，掌握解决重叠问题的核心算法。
1. 追问：“为什么三（2）班不能直接相加？生活中还有类似的例子吗？”
2. 举例引导：如有人同时参加美术班和舞蹈班；既喜欢语文又喜欢数学的同学等。
3. 归纳总结：当存在“既……又……”的情况时，就会出现重复，需减去重叠部分。 1. 思考生活中的类似现象。
2. 预设：班级里有同学既参加了跳绳比赛又参加了踢毽子比赛。
3. 预设：我爸爸既是老师又是篮球爱好者。
4. 加深对“重叠”普遍性的认识。 联系生活实际，拓展应用视野，帮助学生理解集合思想的广泛适用性，强化数学建模意识。
1. 介绍维恩图的历史背景：由英国数学家约翰·维恩发明，用于研究集合问题，也称文氏图。
2. 强调维恩图的作用：能清晰表示集合间的包含、相交关系，是解决重叠问题的重要工具。
3. 板书关键数量关系：
只参加A的人数 + 只参加B的人数 + A、B都参加的人 = 总人数
参加A的人数 + 参加B的人数 – A、B都参加的人 = 总人数 1. 聆听教师讲解，了解维恩图的来源。
2. 在笔记本上记录两种数量关系式。
3. 理解公式中每一项的实际意义。 丰富数学文化内涵，提升学习兴趣；系统梳理核心知识点，帮助学生形成完整的知识体系。
1. 总结解决重叠问题的策略：
方法一：两部分之和减去重叠部分；
方法二：先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分；
方法三：用一部分（不含重叠）+ 重叠部分 + 另一部分（不含重叠）。
2. 强调解题步骤：先分析条件 → 画维恩图 → 借助图思考 → 列式解答。 1. 跟随教师总结三种解法。
2. 理解不同方法的本质一致性。
3. 记录解题一般步骤，内化解题策略。 帮助学生提炼通用解题方法，形成可迁移的思维模式，提高解决同类问题的能力。
教学环节四：随堂小练
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 出示第一题：把下面动物的序号填写在合适的圈里（会游泳、会飞、既会游泳又会飞）。
2. 引导学生判断每种动物的能力特征。
3. 示范如何将序号填入维恩图相应区域。 1. 判断动物属性：
①青蛙—会游泳；②企鹅—会游泳；③燕子—会飞；④鸭子—会游泳；⑤海豚—会游泳；⑥天鹅—既会游泳又会飞；⑦老鹰—会飞；⑧鱼—会游泳；⑨海鸥—既会游泳又会飞；⑩蝙蝠—会飞。
2. 预设：既会游泳又会飞的是⑥和⑨。
3. 完成填图练习。 巩固维恩图的使用方法，训练学生根据属性进行分类的能力，加深对集合交集的理解。
1. 出示第二题：荣获“语文之星”和“数学之星”的名单。
2. 提问：（1）既荣获两项荣誉的有几人？（2）上光荣榜的一共有几人？
3. 引导学生画维恩图辅助解答。 1. 观察名单，找出重复名字。
2. 预设：既获“语文之星”又获“数学之星”的有6人。
3. 列式计算：9 + 15 – 6 = 18（人）。
4. 完成答题。 应用所学知识解决新的实际问题，检验学生对重叠问题解法的掌握程度，提升迁移应用能力。
教学环节五：当堂检测
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 出示题目：在大于50小于70和大于60小于80的两个数集中，填写符合条件的数字。
2. 引导学生先分别列出两个范围内的整数。
3. 提问：两个圈里都出现的数有哪些？用画图方式表示。 1. 列出大于50小于70的数：51~69共19个。
2. 列出大于60小于80的数：61~79共19个。
3. 找出公共部分：61~69共9个。
4. 绘制维恩图并填数。 将集合思想应用于数的认识领域，拓展维恩图的应用场景，培养学生跨知识点整合能力。
1. 提问：“你还能提出其他数学问题并解答吗？”
2. 引导学生提问如：“大于50小于80的数有多少个？”
3. 指导列式：10 + 10 + 9 = 29（个）或直接计算79 - 50 = 29（个）。 1. 尝试提出新问题。
2. 预设：大于50小于80的数有多少个？
3. 列式解答：前段（51~59）9个，中段（60）1个，后段（70~79）10个，加上重叠段（61~69）9个？修正为：51~59:9个，60:1个，61~69:9个，70~79:10个 → 合计9+1+9+10=29个。
4. 或简化为79 - 50 = 29（个）。 鼓励学生主动提问，培养问题意识和发散性思维，进一步深化对集合运算的理解。
1. 出示第三题：三位好朋友猜字谜。
小艺猜对15个，小华猜对7个，小路猜对11个。
小华猜对的7个，小艺都猜对了；小路猜对的有6个，小艺也猜对了。
（1）小艺和小华一共猜对几个？
（2）小艺和小路一共猜对几个？
2. 引导学生分别画出两组维恩图进行分析。 1. 分析第一问：小华猜对的都在小艺范围内，说明小华是小艺的子集。
2. 预设：小艺和小华一共猜对15个（因小华全部包含在小艺中）。
3. 分析第二问：小艺和小路有6个重复。
4. 列式：15 + 11 – 6 = 20（个）。
5. 完成作答。 设置更具挑战性的问题，考察学生对包含关系与相交关系的区别理解，提升综合分析与灵活应用能力。
教学环节六：课堂小结
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 提问：“通过本节课的学习，你有什么收获？”
2. 引导学生从知识、方法、思想三个方面总结。
3. 系统梳理：
- 学习了集合知识，认识了维恩图；
- 掌握了重叠问题的解法：总数 = A + B – 重叠；
- 学会了画图分析、有序思考的策略。 1. 积极举手发言分享收获。
2. 预设：我知道了有些人可以同时属于两个集体。
3. 预设：我学会了用两个交叉的圆圈来表示重叠情况。
4. 预设：以后遇到重复的问题就知道要减去多算的部分。 帮助学生回顾整节课的学习历程，梳理知识脉络，促进知识的系统化与内化，提升元认知能力。
7.作业设计 基础性作业：
1. 完成练习纸上第1题：根据班级兴趣小组报名情况，画出维恩图并计算总人数。
2. 口答：教室里有8人戴眼镜，10人扎辫子，其中有3人既戴眼镜又扎辫子，一共有多少人？ 提升性作业：
1. 小明读了8本故事书和5本科普书，其中有2本既是故事书又是科普书（如科学童话），他一共读了多少本书？请画图并列式解答。
2. 某小区有12户订牛奶，15户订报纸，其中5户既订牛奶又订报纸。这个小区至少有多少户人家？ 拓展性作业：
请你调查家里成员的兴趣爱好，比如有人喜欢唱歌，有人喜欢跳舞，有没有人既喜欢唱歌又喜欢跳舞？用维恩图画出来，并写出家庭总人数的计算过程。
8.板书设计 数学广角：重叠问题
维恩图的应用
三（2）班获奖情况：航空模型：6人 机器人：6人 重复：2人 总人数 = 6 + 6 – 2 = 10（人）
数量关系：总人数 = A + B – 重叠部分 总人数 = 只A + 只B + 共同
解题策略：1. 分析条件 2. 画维恩图 3. 借图思考 4. 列式解答
9.教学反思与改进： 成功之处：本节课以“脑筋急转弯”导入，迅速吸引学生注意力，有效激发学习兴趣。通过真实获奖名单引发认知冲突，使学生深刻体会到直接相加的不合理性，从而主动寻求解决方案。维恩图的引入循序渐进，从学生自主画图到规范呈现，再到动态演示，帮助学生顺利完成从具象到抽象的思维跃迁。练习设计层次分明，涵盖生活情境、数字集合、复杂关系等多种类型，充分巩固了所学知识，多数学生能准确识别重叠现象并正确列式解答。 不足之处：部分学生在绘制维恩图时仍存在区域划分不清的问题，尤其是对“只属于某一类”的理解不够到位。个别学生在面对“子集”关系（如小华全部包含于小艺）时仍习惯性地进行减法操作，反映出对集合关系本质理解尚不深入。课堂时间安排略显紧张，最后的拓展性问题未能充分展开交流，影响了高阶思维的深度发展。 改进措施：在下次教学中可增加一组对比练习，专门区分“相交”与“包含”两种集合关系，强化辨析能力。对于绘图困难的学生，提供半成品模板辅助完成。适当压缩前面简单练习的时间，留出更多空间用于开放性问题的讨论与展示，鼓励学生大胆质疑与表达，进一步提升课堂生成质量。同时考虑将拓展作业纳入下一节课的分享环节，形成持续探究的学习闭环。

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